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第4章中心极限定理与参数估计.1中心极限定理2
抽样分布.3参数的点估计4参数的区间估计1
4.1中心极限定理2切贝谢夫不等式2
大数定律3中心极限定理1
切比雪夫不等式设X为随机变量,且存在数学期望和方差
0,??对有：
2
2
{},
{}1,
DXPXEX
DXPXEX
??
??
???
????
或：34
~(10000,0.8)
100000.88000
100000.80.21600
XB
EXnp
DXnpq
????
?????
2
{78008200}
{8000200}
160010.96
200
PX
PX
??
???
???5
例6切比雪夫不等式的应用?对于任意分布形态的数据，至少有1-/k2的数据落在k个标准差之内。其中是大于任意值，但不一定是整数
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7?对于k=2，3，4，该不等式的含义是至少有75%的数据落在平均数加减2个标准差的范围之内至少有89的数据落在平均数加减3个标准差的范围之内?至少有4的数据落在平均数加减4个标准差的范围之内切比雪夫不等式的应用大量随机试验中2大数定律大量抛掷硬币正面出现频率字母使用频率生产过程中的废品率…???有稳定性测量值的算术平均值具某一常数事件发生频率稳定于8
伯努利设Xn是重贝努里试验中事件A发生的次数，p事件发生的概率，是事件发生的频率.
事件发生的频率是否具有稳定性？
贝努里大数定律9设Xn是次独立重复试验中事件A发生的次数，p事件在每次生
概率则对于任意正数ε>0，有
定理（贝努里大数定律）lim{||}1P??????
贝努里证明~(,)nXbp(),nEDp
，1()()??，10
贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率n/将无限接近于A的概率p，贝努里大数定律是使用频率估计概率理论依据
2/{||}1nXpqnP??????lim||???1切比谢夫大数定律切比雪夫
则对任意的ε>0，有
12,,nX??设随机变量，相互独立，且具有相同的数学期望和方差：12(),()(,)?kEDk????1}|{|lim????????niXPlim{||}nPX????1?2
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n个随机变量的算术平均1Xnk??
n??当时依概率收敛于其数学期望13
切比谢夫大数定律1lim{||}iPXn?????证????????nkXE1由于???n1k)(D22??
由切比雪夫不等式11??nnPk??????????
上式中令??得}|{|lim??iX4
例：要估计某地区的平均亩产量，要收割某些有代表性块，例如n块地.计算其平均亩产量则当较大时，可用它作为整个地区平均亩
产量的一个估计.15
切比谢夫大数定律切比谢夫大数定律：
使用样本平均值估计总体平均值的理论依据。大数定律
大数定律以严谨的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一?
???2)(??kXDE),(~pnbAlim{||}1nPp?????贝努里大数定律大数定律切比雪夫|1|li???i????16
２中心极限定理林－莱
中心极限定理拉普斯中心极限定理17
中心极限定理的客观背景在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机因素的综合（或和)影响所形成的.
例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因
素（如瞄准，空气阻力，炮弹或炮身结构等）综合影响的.每个随机因素的对着点（随机变量和所起作用都是很小.
那么弹服从怎样分布哪？18
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如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因素的综合影响所造成，而每一个别因素对这种综合影响中所起的作用不大.则这种随机变量一般都服
从或近似服从正态分布该问题相当于是独立随机变量之和的概率分布的问题
自从高斯发现正态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见.高斯
当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？19
随机变量之和标准化????nkXDEY1)(
中心极限定理：和的极限分布是正态分布
1(,)nkkX?的和20
21,0,...)2,1(,,.......2221???????，机变量，是一列独立同分布的随，，引理：设iDXEXXXXiin证毕。,211?nDXXDniinii???????nEXXEniinii??????11证明：1,()0,()1niiXnXEXDXn????????设则??nXDnXEniinii??????11,)1(:则１林－莱中心极限定理??????????????xnXPxFin??1lm)(li12221,,,(),()(1,2,)(,)nkknkkXXXEXDXkXNnn????????????设随机变量相互独立，服从同一分布，，，则随机变量之和近似服从正态分布Y?F的分布函数满足)(??223
解设Xi表示“第i次轰炸中击中炮弹数量”,则80次轰炸中弹的总数量为：24
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例检查员逐个地检查某产品,每次花10秒钟检查一个,但也可能有的产品需要再花秒种重新检查一次假设每个产品需要复检的概率为.5求在8小时内检查员检查的个数多于190个的概率是多少？
解设Xi表示“检查第i产品花费的时间”(秒),即
??
??
,20
,10
iX
不需复检,需复检.1900,2,1??i则‥n相互独立同分布检
查9个产品所花费的时间为：19001iiXX???
,155.0205.010?????iEX.25])[(2???iiiEXXEDX
1900
1
{83600}{28800}i
i
PXPX
?
?????
1900
1
19001528800190015
{}5190051900ii
X
P?
????
???
1900
1
285006
{}(1.376)0.91559501919ii
X
P?
?
??????故8小时内检查的个数多于个的概率是.227
1
1
0
,
,,,
i
i
n
i
i
ii
iAX
XiA
XXXnA
EXpDXpqEXnpDXnpq
?
???
?
?
????
?
若第次试验中发生设，
否则
则为第次试验中发生的次数
记则为次试验中共发生的次数
２棣莫佛—拉普斯中心极限定理设随机变量Ｘ为次贝努里概型中事件发生的次数,则Ｘ~B(,p)
二项随机变量Ｘ可以分解成个独立同分布的０－１之和28
(,)XNnpnpq?根据林莱中心极限定理，近似服从
,x对任意实数有棣莫佛—拉普斯中心极限定理
：若X~B(n,p)当充分大，X近似服从N(np,q)
2
21lim()(1)2
tx
n
XnpPxedtx
npp?
?
????
???????????
??????29
二项分布的正态近似计算?设X~B(n,p)当满足：np≥5且q?????????)1(xΦP????????????)()()(21pnxpnxX30解设X表示“同一时间使用终端个数
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31323
（3）保险公司亏本的概率
31)
1)0
?
?
??
???
120-60（）P{1000(120-X)<0}=P(X>120)(
7.72
(7.773435
【例】10台机床彼此独立地工作，每台机床的实际工作时间占全部工作时间的8%。求()任一刻有7～6台机床在工作的概率2时台以上
解：设X表示机床中工作着的机床数，则X~B(10,.8)。现用正态分布近似计算，np=0，q927.)5.(.146487)67(?????????????P(2).00)(????????X1)36
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例银行为支付某日即将到期的债券准备一笔现金,已知这批债券共发放了50张,每张需付本息10元,设持券人(1券)到期到银行领取本息的概率为.4问银行于该日应准备多少现金才能以9.%的把握满足客户的兑换？
解设X为该日到银行领取本息的总人数,则
),4.0,500(~BX所需支付现金为1设银行该日应准备现金x元
{1000}0.999.PXx??
{1000}{}1000xPXxPX???37
5000.45000.41000{}
5000.40.65000.40.6
200200000200000{}()0.999.
120200030200030
xX
P
XxxP
??????
????
????????
2000003.1,
200030
x??
.799.233958?x因此银行于该日应准备现金240元才能以9.%的把握满足客户的兑换.3839
例.在进行加法运算时，为简便起见，每个加数取整数（按四舍五入取最为接近它的整数）。可以认为各的误差是相互独立的，并且们都服从[–0.5，]上的均匀分布。求1将30个数相加，误差总和的绝对值超过1的概率；2最多几在一起，其误差总和的绝对值小于0的概率不小于9%
12
1(-0.5)]-0.5[
12
1,02???
ii
i
DXEX
iX误差。个加数进行相加产生的为第解：设
25121300)(,0)(,,1300
1
??????
?
XDXEXXX
i
i且近似服从正态分布）设（
0026.0)]3(1[2)3()2501525
0
()15(
300
1300
1
????????
?
?????
?
ZP
X
PXPii
i
i
12
1)(,0)(,2
1
?????
?
kXDXEXXkk
i
i个数相加，记）设有（40
)10(
1
??
?
n
ii
XP)12/10()12/01012/
0
12/
010(1
nZPnn
X
nP
n
i
i??????????
?
,95.0)1210(9.01)1210(2???????nn
个数相加。至多可得查表443,5.443,645.11210,95.0)645.1(????nn41
习题4.
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