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1４-３参数的点估计推断统计的基本方法参数估计假设检验2定义4.3设总体X的未知参数为?，(随机变量),称为样本的估计量数值值估计量与估计值(estimaor&tiedvalu)复习设1,2…n为来自总体的样本,若样本函数中不含任何未知参数则称为统计量3ni122iX()Sn???
1样本均值：2样本方差：
3样本标准差：
常用的统计量XEX????
,,)(4
22()()ESDX???定理4.42ii,)()ijijEX??????证明：ni1ini1???????????????nj
）（??i2ii2)(X）（n1i2)()()1(])([??????????????ESn
点估计的标准１一致估计
２无偏３有效估计512
12
?:(,,...,).0,
?lim{||}1
?(,,...,).
nn
n
n
XXX
P
XXX
???
???
??
??
?
???
定义4.4设为的估计量若对于任意总有
则称为参数的一致估计
１一致估计6
一致性：随着样本容量的增大,一个估计量的值稳定于待估参数的真值.
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7切比谢夫大数定律1}|1{|lim?????????niXPlim{||}nPX?????样本均值是总体均值的一致估计2无偏估计121212?:(,,...,).?[(,,...,)],?(,,...,)..nnnXXXEXXXXXX?????????????定义4.5设为的估计量若则称为的无偏估计否则称为有偏的8???,,)22()()ESDX???样本均值是总体均值的无偏估计样本方差是总体方差的无偏估计922()(ESDX????
n2
ii1
n2
ii1
2
1(X)
11(X)
1
11()
EXn
nEX
nn
nnESDX
nn
?
?
?????
??
???????
???
????
?
?
n2
ii1
1(X)()XDX
n???不是的无偏估计10
1212:,(1)
[]
XXXX
EX
??
?
??例设是总体的一个样本，则是
=的无偏估计
12
12
:((1)
()(1)()
()(1)()
()
EXX
EXEX
EXEX
EX
??
??
??
??
??
???
?
证明)
=
３有效估计
11122212
1212
???:(,,...,)(,,...,)
????,()(),
nnXXXXXX
DD
????
?????
??
?
定义设与都是
的无偏估计量若则称是比更有较的估计量1
例:设12,,,nXXXL是来自该总体的一个样本，其中2.n?证明：(1)
X?1??和??21221?XX???都是EX的无偏估计量;(2)
1??比2??更有效.证明
(1)显然
(2)()DXn?1?()D?
)2()?(212XXDD???()2DX?
)?()?(21??DD?由2n?得从而
1??比2??更有效12
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1312121212:1(1)[]22(1)2XXXXEXXXXX???????????例（）和都是=的无偏估计（）比更有效??122222(1)()(1)()(1)()DXXDXDXDX?????????????=证明1=2?当，达到最小。.?,??321都有效较且???)?()?()?(321???EEE??显然有1332121?;613121?;?XXXXX?????????例:设(,)是来自总体的一个样本,证明下面的三个估计量都总体均值()无偏估计量证明3/)()()?(1XDXDD???且36/)(14)6/3/2/()?(3212XDXXXDD?????)()()?(13XDXDD???.?,??),?()?()?(321321有效较所以故有??????DDD??154.
参数的区间估计例：单正态总体的均值的区间估计
()1
1
()
PXXnn
XXXnnn
??????
??
??????
??????
?
???
的以为置信度的置信区间为：
，或记为：
?为标准正态分布的双侧分位数16
区间估计(Intervalstim)
??()1LUP????????
interval)e(confidenc)?,?(：置信区间UL??
)confidenceof(degree1：置信度??
样本统计量:?,?UL???可靠度：置信水平(或称置信度)=-?
精确区间的长度。17
点估计与区间估计?点估计(pointesma)
：用一个估计量的值去估计总体未知参数，可靠度和精确度一无所知?
有矩估计法、顺序统计量法、最大似然法、最小二乘法，略。
?区间估计(intervalstime)：估计总体未知参数在一
定范围（区间）?可靠度和精确度是可以研究的。18
总体参数的区间估计总体均值、总体方差的区间估计
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190~(0,1)XZnN????01XPn????????????????0()1XPn????????????()1PXXnn?????????????(,)XXnn??????2021
分析：正态总体且?已知，采用：x
n
???解：已知Ｘ~N(?，32)，=0,1-?.9，λ=2.58。总体均
值在1-置信水平下的置信区间为：??
3202.58
30
201.4
18.6,21.4
xn??????
??
?2
【例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产量质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检以分析每袋重是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产重量的分布服从正态分布，且总体标准差为10g试估计该批产品平均重量的置
信区间置信水平为95%2袋食品的重量1.3..06786012.954.5.829分析：正态总体且?已知
，采用：
xn???23
解：已知Ｘ~N(?，102)，n=5,-?9%，λ=1.6。总体均值在-置信水平下的置信区间为：??28.109,4365.2????nzx?
该食品平均重量的置信区间为.g~109.8
.24sxn??证明：
()()1XPnPTS????????????????
()1SSPXXnn???????????
,t当自由度超过所给分布表的范围采用正态分布近似
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25155.3=3.499x??，??5.8155.33.499155.37.2148.1,162.58sxn????????26【例】已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中随机抽取16只，测得其使用寿命(小时)如下。建立该批灯泡平均使用寿命95%的置信区间16灯泡使用寿命的数据50248093157分析：总体正态分布，方差未知，采用t：sxn??27
解：已知Ｘ~N(?，?2)，n=16,-?95%，λ=2.13根据样本数据计算得：??
24.7714902.131
16
149013.2
1476.8,1503.2
sx
n?????
??
?该种灯泡平均使用寿命的置信区间为.小时～小时
x?s
总体正态分布，方差未知
总体均值在-置信水平下的置信区间为28????
22
2
21
11nsns?
??
????
?总体方差在-?置信水平下的置信区间为:????
2
2
2
1~1nSn?
?
??理论根据29
卡方分布分位点?λ1自由度为n-1的?2分布λ230
1215.0=0.484,=11.143x???，????
2
2
510.058510.058
11.1430.484
0.0210.479
?
?
??????
???
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31【例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，现从某天生产的批中随机抽取了25，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布。以95%的置信水平建立该种食品重量方差的置信区间袋食品的重量12.50.13.02.1.6795856..4...384932解:已知n＝25，1-?＝9%,计算得:s2=93.1112.401??239.364??????39.180.56.152???????该企业生产的食品总体重量标准差的置信区间为7.4g~的置信度为的置信区间为
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