-1-
教师版高中数学必修+选修知识点归纳
引言
1.课程内容：
必修课程由5个模块组成：
必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、
对、幂函数）
必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。
必修3：算法初步、统计、概率。
必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、
三角恒等变换。
必修5：解三角形、数列、不等式。
以上是每一个高中学生所必须学习的。
上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础
知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、
函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初
步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打
好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、
发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做
过高的要求。
此外，基础内容还增加了向量、算法、概
率、统计等内容。
选修课程有4个系列：
系列1：由2个模块组成。
选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、
导数及其应用。
选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩
充与复数、框图
系列2：由3个模块组成。
选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、
空间向量与立体几何。
选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系
的扩充与复数
选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列，
统计案例。
系列3：由6个专题组成。
选修3—1：数学史选讲。
选修3—2：信息安全与密码。
选修3—3：球面上的几何。
选修3—4：对称与群。
选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。
选修3—6：三等分角与数域扩充。
系列4：由10个专题组成。
选修4—1：几何证明选讲。
选修4—2：矩阵与变换。
选修4—3：数列与差分。
选修4—4：坐标系与参数方程。
选修4—5：不等式选讲。
选修4—6：初等数论初步。
选修4—7：优选法与试验设计初步。
选修4—8：统筹法与图论初步。
选修4—9：风险与决策。
选修4—10：开关电路与布尔代数。
2．重难点及考点：
重点：函数，数列，三角函数，平面向量，
圆锥曲线，立体几何，导数
难点：函数、圆锥曲线
高考相关考点：
⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻
辑、充要条件
⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、
值域与最值、反函数、三大性质、函
数图象、指数与指数函数、对数与对
数函数、函数的应用
⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数
列、数列求和、数列的应用
⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、
和、差、倍、半公式、求值、化
简、证明、三角函数的图象与性
质、三角函数的应用
⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、
数量积及其应用
⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式
的证明、不等式的解法、绝对值不
等式、不等式的应用
⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位
置关系、线性规划、圆、
直线与圆的位置关系
⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直
线与圆锥曲线的位置关系、
轨迹问题、圆锥曲线的应用
⑼直线、平面、简单几何体：空间直线、直线
与平面、平面与平面、棱柱、
棱锥、球、空间向量
-2-
⑽排列、组合和概率：排列、组合应用题、二
项式定理及其应用
⑾概率与统计：概率、分布列、期望、方差、
抽样、正态分布
⑿导数：导数的概念、求导、导数的应用
⒀复数：复数的概念与运算
必修1数学知识点
第一章：集合与函数概念
§1.1.1、集合
1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总
体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无
序性。
2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个
集合相等。
3、常见集合：正整数集合：N或N，整数集合：
Z，有理数集合：Q，实数集合：R.
4、集合的表示方法：列举法、描述法.
§1.1.2、集合间的基本关系
1、一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任
意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是
集合B的子集。记作BA.
2、如果集合BA，但存在元素Bx，且Ax，
则称集合A是集合B的真子集.记作：AB.
3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作：.并规定：
空集合是任何集合的子集.
4、如果集合A中含有n个元素，则集合A有n2个子
集，21n个真子集.
§1.1.3、集合间的基本运算
1、一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成
的集合，称为集合A与B的并集.记作：BA.
2、一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素
组成的集合，称为A与B的交集.记作：BA.
3、全集、补集？{|,}UCAxxUxU且
§1.2.1、函数的概念
1、设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应
关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集
合B中都有惟一确定的数xf和它对应，那么就
称BAf:为集合A到集合B的一个函数，记
作：Axxfy,.
2、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值
域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完
全一致，则称这两个函数相等.
§1.2.2、函数的表示法
1、函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.
§1.3.1、单调性与最大（小）值
1、注意函数单调性的证明方法：
(1)定义法：设2121],,[xxbaxx、那么
],[)(0)()(21baxfxfxf在上是增函数；
],[)(0)()(21baxfxfxf在上是减函数.
步骤：取值—作差—变形—定号—判断
格式：解：设baxx,,21且21xx，则：
21xfxf=,
(2)导数法：设函数)(xfy在某个区间内可导，
若0)(xf，则)(xf为增函数；
若0)(xf，则)(xf为减函数.
§1.3.2、奇偶性
1、一般地，如果对于函数xf的定义域内任意一个
x，都有xfxf，那么就称函数xf为
偶函数.偶函数图象关于y轴对称.
2、一般地，如果对于函数xf的定义域内任意一个
x，都有xfxf，那么就称函数xf为
奇函数.奇函数图象关于原点对称.
知识链接：函数与导数
1、函数)(xfy在点0x处的导数的几何意义：
函数)(xfy在点0x处的导数是曲线)(xfy在
))(,(00xfxP处的切线的斜率)(0xf，相应的切线方
程是))((000xxxfyy.
2、几种常见函数的导数
①''C0；②1'')(nnnxx；
③xxcos)(sin''；④xxsin)(cos''；
⑤aaaxxln)(''；⑥xxee'')(；
⑦
axxaln
1)(log''；⑧
xx
1)(ln''
3、导数的运算法则
（1）''''''()uvuv.
（2）''''''()uvuvuv.
-3-
（3）
''''
''
2()(0)
uuvuvv
vv.
4、复合函数求导法则
复合函数(())yfgx的导数和函数
(),()yfuugx的导数间的关系为xuxyyu，
即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的
乘积.
解题步骤:分层—层层求导—作积还原.
5、函数的极值
(1)极值定义：
极值是在0x附近所有的点，都有)(xf＜)(0xf，
则)(0xf是函数)(xf的极大值；
极值是在0x附近所有的点，都有)(xf＞)(0xf，
则)(0xf是函数)(xf的极小值.
(2)判别方法：
①如果在0x附近的左侧)(''xf＞0，右侧)(''xf＜0，
那么)(0xf是极大值；
②如果在0x附近的左侧)(''xf＜0，右侧)(''xf＞0，
那么)(0xf是极小值.
6、求函数的最值
(1)求()yfx在(,)ab内的极值（极大或者极小值）
(2)将()yfx的各极值点与(),()fafb比较，其中
最大的一个为最大值，最小的一个为极小值。
注：极值是在局部对函数值进行比较（局部性质）；
最值是在整体区间上对函数值进行比较(整体性质)。
第二章：基本初等函数（Ⅰ）
§2.1.1、指数与指数幂的运算
1、一般地，如果axn，那么x叫做a的n次方根。
其中Nnn,1.
2、当n为奇数时，aann；
当n为偶数时，aann.
3、我们规定：
⑴mnm
n
aa
1,,,0mNnma；
⑵01n
aan
n；
4、运算性质：
⑴Qsraaaasrsr,,0；
⑵Qsraaarssr,,0；
⑶Qrbabaabrrr,0,0.
§2.1.2、指数函数及其性质
1、记住图象：1,0aaayx
2、性质：
§2.2.1、对数与对数运算
1、指数与对数互化式：logxaaNxN；
2、对数恒等式：logaNaN.
3、基本性质：01loga，1logaa.
4、运算性质：当0,0,1,0NMaa时：
⑴NMMNaaalogloglog；
⑵NM
N
M
aaalogloglog；
⑶MnManaloglog.
1a10a
图
象
-1
-4-20
1
-1
-4-2
0
1
性
质
(1)定义域：R
（2）值域：（0，+∞）
（3）过定点（0，1），即x=0时，y=1
（4）在R上是增函数（4）在R上是减函数
(5)0,1xxa;
0,01xxa
(5)0,01xxa;
0,1xxa
01
1
y=ax
o
y
x
-4-
5、换底公式：abb
c
c
alog
loglog
0,1,0,1,0bccaa.
6、重要公式：loglogn
m
aa
mbb
n
7、倒数关系：ab
b
alog
1log1,0,1,0bbaa.
§2..2.2、对数函数及其性质
1、记住图象：1,0logaaxya
2、性质：
§2.3、幂函数
1、几种幂函数的图象：
第三章：函数的应用
§3.1.1、方程的根与函数的零点
1、方程0xf有实根
函数xfy的图象与x轴有交点
函数xfy有零点.
2、零点存在性定理：
如果函数xfy在区间ba,上的图象是连续不断
的一条曲线，并且有0bfaf，那么函数
xfy在区间ba,内有零点，即存在bac,，
使得0cf，这个c也就是方程0xf的根.
§3.1.2、用二分法求方程的近似解
1、掌握二分法.
§3.2.1、几类不同增长的函数模型
§3.2.2、函数模型的应用举例
1、解决问题的常规方法：先画散点图，再用适当的函
数拟合，最后检验.
必修2数学知识点
第一章：空间几何体
1、空间几何体的结构
⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：
圆柱、圆锥、圆台、球。
⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且
每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围
成的多面体叫做棱柱。
⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与
截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。
2、空间几何体的三视图和直观图
把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影
的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫
平行投影，平行投影的投影线是平行的。
3、空间几何体的表面积与体积
⑴圆柱侧面积；lrS2侧面
1a10a
图
象
2.5
1.5
0.5
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-10
1
1
2.5
1.5
0.5
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-10
1
1
性
质
(1)定义域：（0，+∞）
（2）值域：R
（3）过定点（1，0），即x=1时，y=0
（4）在（0，+∞）上是增函数（4）在（0，+∞）上是减函数
(5)0log,1xxa；
0log,10xxa
(5)0log,1xxa；
0log,10xxa
0
a>1
1
y=logax
o
y
x
-5-
⑵圆锥侧面积：lrS侧面
⑶圆台侧面积：lRlrS侧面
⑷体积公式：
hSV柱体；hSV31锥体；
hSSSSV下下上上台体31
⑸球的表面积和体积：
32
3
44RVRS
球球，.
第二章：点、直线、平面之间的位置关系
1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条
直线在此平面内。
2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它
们有且只有一条过该点的公共直线。
4、公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.
5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这
两个角相等或互补。
6、线线位置关系：平行、相交、异面。
7、线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直
线和平面相交。
8、面面位置关系：平行、相交。
9、线面平行：
⑴判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则
该直线与此平面平行（简称线线平行，则线面平行）。
⑵性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一
平面与此平面的交线与该直线平行（简称线面平行，则
线线平行）。
10、面面平行：
⑴判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，
则这两个平面平行（简称线面平行，则面面平行）。
⑵性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么
它们的交线平行（简称面面平行，则线线平行）。
11、线面垂直：
⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，
那么就说这条直线和这个平面垂直。
⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
则该直线与此平面垂直（简称线线垂直，则线面垂直）。
⑶性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。
12、面面垂直：
⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面
角，就说这两个平面互相垂直。
⑵判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个
平面垂直（简称线面垂直，则面面垂直）。
⑶性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的
直线垂直于另一个平面。（简称面面垂直，则线面垂直）。
第三章：直线与方程
1、倾斜角与斜率：
12
12tan
xx
yyk
2、直线方程：
⑴点斜式：00xxkyy
⑵斜截式：bkxy
⑶两点式：121
121
yyyy
xxxx
⑷截距式：1xy
ab
⑸一般式：0CByAx
3、对于直线：
222111:,:bxkylbxkyl有：
⑴
21
21
21//bb
kkll
；
⑵1l和2l相交12kk；
⑶1l和2l重合
21
21
bb
kk；
⑷12121kkll.
4、对于直线：
0:
,0:
2222
1111
CyBxAl
CyBxAl有：
⑴
1221
1221
21//CBCB
BABAll
；
-6-
⑵1l和2l相交1221BABA；
⑶1l和2l重合
1221
1221
CBCB
BABA
；
⑷0212121BBAAll.
5、两点间距离公式：
2
12
2
1221yyxxPP
6、点到直线距离公式：
22
00
BA
CByAxd
7、两平行线间的距离公式：
1l：01CByAx与2l：02CByAx平行，
则
22
21
BA
CCd
第四章：圆与方程
1、圆的方程：
⑴标准方程：222rbyax
其中圆心为(,)ab，半径为r.
⑵一般方程：022FEyDxyx.
其中圆心为(,)
22
DE，半径为2214
2
rDEF.
2、直线与圆的位置关系
直线0CByAx与圆222)()(rbyax
的位置关系有三种:
0相离rd;
0相切rd;
0相交rd.
弦长公式：222drl
22
12121()4kxxxx
3、两圆位置关系：21OOd
⑴外离：rRd；
⑵外切：rRd；
⑶相交：rRdrR；
⑷内切：rRd；
⑸内含：rRd.
3、空间中两点间距离公式：
2
12
2
12
2
1221zzyyxxPP
必修3数学知识点
第一章：算法
1、算法三种语言：
自然语言、流程图、程序语言；
2、流程图中的图框：
起止框、输入输出框、处理框、判断框、流程线等
规范表示方法；
3、算法的三种基本结构：
顺序结构、条件结构、循环结构
当型循环结构
直到型循环结构
⑴顺序结构示意图：
（图1）
⑵条件结构示意图：
①IF-THEN-ELSE格式：
（图2）
②IF-THEN格式：
语句n+1
语句n
满足条件？
语句1语句2
是
否
满足条件？
是
-7-
（图3）
⑶循环结构示意图：
①当型（WHILE型）循环结构示意图：
（图4）
②直到型（UNTIL型）循环结构示意图：
（图5）
4、基本算法语句：
①输入语句的一般格式：INPUT“提示内容”；变量
②输出语句的一般格式：PRINT“提示内容”；表达式
③赋值语句的一般格式：变量＝表达式
（“=”有时也用“←”）.
④条件语句的一般格式有两种：
IF—THEN—ELSE语句的一般格式为：
IF—THEN语句的一般格式为：
⑤循环语句的一般格式是两种：
当型循环（WHILE）语句的一般格式：
直到型循环（UNTIL）语句的一般格式：
⑹算法案例：
①辗转相除法—结果是以相除余数为0而得到
利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：
ⅰ）：用较大的数m除以较小的数n得到一个商0S和
一个余数0R；
ⅱ）：若0R＝0，则n为m，n的最大公约数；若0R
≠0，则用除数n除以余数0R得到一个商1S和一个余
数1R；
ⅲ）：若1R＝0，则1R为m，n的最大公约数；若1R≠
0，则用除数0R除以余数1R得到一个商2S和一个余数
2R；,,
依次计算直至nR＝0，此时所得到的1nR即为所求
的最大公约数。
②更相减损术—结果是以减数与差相等而得到
利用更相减损术求最大公约数的步骤如下：
ⅰ）：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。
若是，用2约简；若不是，执行第二步。
ⅱ）：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与
所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直
到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的
最大公约数。
③进位制
十进制数化为k进制数—除k取余法
IF条件THEN
语句1
ELSE
语句2
ENDIF
IF条件THEN
语句
ENDIF（图3）
（图2）
WHILE条件
循环体
WEND
（图4）
DO
循环体
LOOPUNTIL条件
（图5）
满足条件？
循环体
是
否
满足条件？
循环体
是
否
-8-
k进制数化为十进制数
第二章：统计
1、抽样方法：
①简单随机抽样（总体个数较少）
②系统抽样（总体个数较多）
③分层抽样（总体中差异明显）
注意：在N个个体的总体中抽取出n个个体组成样本，
每个个体被抽到的机会（概率）均为
N
n。
2、总体分布的估计：
⑴一表二图：
①频率分布表——数据详实
②频率分布直方图——分布直观
③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势
注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。
⑵茎叶图：
①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据
的分布，以及中位数、众位数等。
②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大
书写，相同的数据重复写。
3、总体特征数的估计：
⑴平均数：
n
xxxxxn321；
取值为nxxx,,,21的频率分别为nppp,,,21，则其
平均数为nnpxpxpx2211；
注意：频率分布表计算平均数要取组中值。
⑵方差与标准差：一组样本数据nxxx,,,21
方差：
2
1
2)(1
n
i
ixxns；
标准差：
2
1
)(1
n
i
ixxns
注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。
平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的
稳定水平。
⑶线性回归方程
①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；
②制作散点图，判断线性相关关系
③线性回归方程：abxy（最小二乘法）
1
22
1
n
ii
i
n
i
i
xynxy
b
xnx
aybx
注意：线性回归直线经过定点),(yx。
第三章：概率
1、随机事件及其概率：
⑴事件：试验的每一种可能的结果，用大写英文字母
表示；
⑵必然事件、不可能事件、随机事件的特点；
⑶随机事件A的概率：1)(0,)(AP
n
mAP.
2、古典概型：
⑴基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果；
⑵古典概型的特点：
①所有的基本事件只有有限个；
②每个基本事件都是等可能发生。
⑶古典概型概率计算公式：一次试验的等可能基本事
件共有n个，事件A包含了其中的m个基本事件，则
事件A发生的概率
n
mAP)(.
3、几何概型：
⑴几何概型的特点：
①所有的基本事件是无限个；
②每个基本事件都是等可能发生。
⑵几何概型概率计算公式：
的测度
的测度
D
dAP)(；
其中测度根据题目确定，一般为线段、角度、面积、
体积等。
4、互斥事件：
⑴不可能同时发生的两个事件称为互斥事件；
⑵如果事件nAAA,,,21任意两个都是互斥事件，则称
事件nAAA,,,21彼此互斥。
⑶如果事件A，B互斥，那么事件A+B发生的概率，
等于事件A，B发生的概率的和，
即：)()()(BPAPBAP
⑷如果事件nAAA,,,21彼此互斥，则有：
)()()()(2121nnAPAPAPAAAP
⑸对立事件：两个互斥事件中必有一个要发生，则称
这两个事件为对立事件。
①事件A的对立事件记作A
)(1)(,1)()(APAPAPAP
-9-
②对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是对立事
件。
必修4数学知识点
第一章：三角函数
§1.1.1、任意角
1、正角、负角、零角、象限角的概念.
2、与角终边相同的角的集合：
Zkk,2.
§1.1.2、弧度制
1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度
的角.
2、
r
l.
3、弧长公式：RRnl
180
.
4、扇形面积公式：lRRnS
2
1
360
2
.
§1.2.1、任意角的三角函数
1、设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点
yxP,，那么：xyxytan,cos,sin
2、设点,Axy为角终边上任意一点，那么：（设
22rxy）
siny
r
，cosx
r
，tany
x
，cotx
y
3、sin，cos，tan在四个象限的符号和三角
函数线的画法.
正弦线：MP;
余弦线：OM;
正切线：AT
5、特殊角0°，30°，45°，60°，
90°，180°，270等的三角函数值.
0
6432
2
3
3
4
3
2
2
sin
cos
tan
§1.2.2、同角三角函数的基本关系式
1、平方关系：1cossin22.
2、商数关系：
cos
sintan.
3、倒数关系：tancot1
§1.3、三角函数的诱导公式
（概括为“奇变偶不变，符号看象限”Zk）
1、诱导公式一：
.tan2tan
,cos2cos
,sin2sin
k
k
k
（其中：Zk）
2、诱导公式二：
.tantan
,coscos
,sinsin
3、诱导公式三：
.tantan
,coscos
,sinsin
4、诱导公式四：
.tantan
,coscos
,sinsin
5、诱导公式五：
.sin
2
cos
,cos2sin
6、诱导公式六：
.sin2cos
,cos2sin
§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质
1、记住正弦、余弦函数图象：
1
-1
y=sinx
-3
2
-5
2
-7
2
7
2
5
2
3
2
2
-2
-4-3-2432-o
y
x
T
MAO
P
x
y
-10-
2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定
义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、
奇偶性、单调性、周期性.
3、会用五点法作图.
sinyx在[0,2]x上的五个关键点为：
30010-120
22（，）（，，）（，，）（，，）（，，）.
§1.4.3、正切函数的图象与性质
1、记住正切函数的图象：
y=tanx
3
22-
3
2
--
2
o
y
x
2、记住余切函数的图象：
y=cotx
3
22
2--
2
o
y
x
3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.
周期函数定义：对于函数xf，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有
xfTxf，那么函数xf就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质
xysinxycosxytan
图象
定义域RR},2|{Zkkxx
值域[-1,1][-1,1]R
最值
max
min
2,1
2
2,1
2
xkkZy
xkkZy
时，
时，
max
min
2,1
2,1
xkkZy
xkkZy
时，
时，
无
周期性2T2TT
奇偶性奇偶奇
1
-1
y=cosx
-3
2
-5
2
-7
2
7
2
5
2
3
2
2
-2
-4
-3
-24
3
2
-
o
y
x
-11-
单调性
Zk
在[2,2]
22kk
上单调递增
在3[2,2]
22kk
上单调递减
在[2,2]kk上单调递增
在[2,2]kk上单调递减
在(,)
22kk
上单调递增
对称性
Zk
对称轴方程：
2
xk
对称中心(,0)k
对称轴方程：xk
对称中心(,0)
2k
无对称轴
对称中心,0)(
2
k
§1.5、函数xAysin的图象
1、对于函数：
sin0,0yAxBA有：振幅A，周
期2T，初相，相位x，频率21Tf.
2、能够讲出函数xysin的图象与
sinyAxB的图象之间的平移伸缩变
换关系.
①先平移后伸缩：
sinyx平移||个单位sinyx
（左加右减）
横坐标不变sinyAx
纵坐标变为原来的A倍
纵坐标不变sinyAx
横坐标变为原来的1||倍
平移||B个单位sinyAxB
（上加下减）
②先伸缩后平移：
sinyx横坐标不变sinyAx
纵坐标变为原来的A倍
纵坐标不变sinyAx
横坐标变为原来的1||倍
平移个单位sinyAx
（左加右减）
平移||B个单位sinyAxB
（上加下减）
3、三角函数的周期，对称轴和对称中心
函数sin()yx，x∈R及函数cos()yx，
x∈R(A,,为常数，且A≠0)的周期2
||T；函
数tan()yx，,
2xkkZ
(A,ω,为
常数，且A≠0)的周期
||T.
对于sin()yAx和cos()yAx来
说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.
求函数sin()yAx图像的对称轴与对称中心，
只需令()
2
xkkZ与()xkkZ
解出x即可.余弦函数可与正弦函数类比可得.
4、由图像确定三角函数的解析式
利用图像特征：maxmin
2
yyA，maxmin
2
yyB.
要根据周期来求,要用图像的关键点来求.
§1.6、三角函数模型的简单应用
1、要求熟悉课本例题.
第三章、三角恒等变换
§3.1.1、两角差的余弦公式
记住15°的三角函数值：
sincostan
124
26
4
2632
§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1、sincoscossinsin
2、sincoscossinsin
-2-
3、sinsincoscoscos
4、sinsincoscoscos
5、tantan1tantantan.
6、tantan1tantantan.
§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式
1、cossin22sin，
变形：12sincossin2.
2、22sincos2cos
1cos22
2sin21.
变形如下：
升幂公式：
2
2
1cos22cos
1cos22sin
降幂公式：
2
2
1cos(1cos2)
2
1sin(1cos2)
2
3、2
tan1
tan22tan.
4、sin21cos2tan
1cos2sin2
§3.2、简单的三角恒等变换
1、注意正切化弦、平方降次.
2、辅助角公式
)sin(cossin22xbaxbxay
（其中辅助角所在象限由点(,)ab的象限决
定,tanb
a
).
第二章：平面向量
§2.1.1、向量的物理背景与概念
1、了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.
2、既有大小又有方向的量叫做向量.
§2.1.2、向量的几何表示
1、带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三
个要素：起点、方向、长度.
2、向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称
模），记作AB；长度为零的向量叫做零向量；长
度等于1个单位的向量叫做单位向量.
3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共
线向量）.规定：零向量与任意向量平行.
§2.1.3、相等向量与共线向量
1、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
§2.2.1、向量加法运算及其几何意义
1、三角形加法法则和平行四边形加法法则.
2、ba≤ba.
§2.2.2、向量减法运算及其几何意义
1、与a长度相等方向相反的向量叫做a的相反向量.
2、三角形减法法则和平行四边形减法法则.
§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义
1、规定：实数与向量a的积是一个向量，这种运
算叫做向量的数乘.记作：a，它的长度和方向
规定如下：
⑴aa,
⑵当0时,a的方向与a的方向相同；当
0时,a的方向与a的方向相反.
2、平面向量共线定理：向量0aa与b共线，当
且仅当有唯一一个实数，使ab.
§2.3.1、平面向量基本定理
-3-
1、平面向量基本定理：如果21,ee是同一平面内的两
个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量a，
有且只有一对实数21,，使2211eea.
§2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示
1、yxjyixa,.
§2.3.3、平面向量的坐标运算
1、设2211,,,yxbyxa，则：
⑴2121,yyxxba，
⑵2121,yyxxba，
⑶11,yxa，
⑷1221//yxyxba.
2、设2211,,,yxByxA，则：
1212,yyxxAB.
§2.3.4、平面向量共线的坐标表示
1、设332211,,,,,yxCyxByxA，则
⑴线段AB中点坐标为222121,yyxx，
⑵△ABC的重心坐标为33321321,yyyxxx.
§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义
1、cosbaba.
2、a在b方向上的投影为：cosa.
3、
22
aa.
4、
2
aa.
5、0baba.
§2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
1、设2211,,,yxbyxa，则：
⑴2121yyxxba
⑵2121yxa
⑶121200ababxxyy
⑷1221//0ababxyxy
2、设2211,,,yxByxA，则：
2
12
2
12yyxxAB.
3、两向量的夹角公式
1212
2222
1122
cosxxyyab
abxyxy
4、点的平移公式
平移前的点为(,)Pxy（原坐标），平移后的对应点
为(,)Pxy（新坐标），平移向量为(,)PPhk，
则.xxhyyk
函数()yfx的图像按向量(,)ahk平移后的
图像的解析式为().ykfxh
§2.5.1、平面几何中的向量方法
§2.5.2、向量在物理中的应用举例
知识链接：空间向量
空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.
下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行
总结归纳.
1、直线的方向向量和平面的法向量
⑴．直线的方向向量：
若A、B是直线l上的任意两点，则AB为直线l的
一个方向向量；与AB平行的任意非零向量也是直线l
的方向向量.
⑵．平面的法向量：
若向量n所在直线垂直于平面，则称这个向量
垂直于平面，记作n，如果n，那么向量n
叫做平面的法向量.
-4-
⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）：
①建立适当的坐标系．
②设平面的法向量为(,,)nxyz．
③求出平面内两个不共线向量的坐标
123123(,,),(,,)aaaabbbb．
④根据法向量定义建立方程组0
0
na
nb
.
⑤解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量.
（如图）
2、用向量方法判定空间中的平行关系
⑴线线平行
设直线12,ll的方向向量分别是ab、，则要证明1l∥
2l，只需证明a∥b，即()akbkR.
即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线。
⑵线面平行
①（法一）设直线l的方向向量是a，平面的法向
量是u，则要证明l∥，只需证明au，即0au.
即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面
的法向量垂直且直线在平面外
②（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可
以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线
向量即可.
⑶面面平行
若平面的法向量为u，平面的法向量为v，要
证∥，只需证u∥v，即证uv.
即：两平面平行或重合两平面的法向量共线。
3、用向量方法判定空间的垂直关系
⑴线线垂直
设直线12,ll的方向向量分别是ab、，则要证明
12ll，只需证明ab，即0ab.
即：两直线垂直两直线的方向向量垂直。
⑵线面垂直
①（法一）设直线l的方向向量是a，平面的法向
量是u，则要证明l，只需证明a∥u，即au.
②（法二）设直线l的方向向量是a，平面内的两
个相交向量分别为mn、，若0,.
0
aml
an
则
即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的
法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线
直线的方向向量都垂直。
⑶面面垂直
若平面的法向量为u，平面的法向量为v，要
证，只需证uv，即证0uv.
即：两平面垂直两平面的法向量垂直。
4、利用向量求空间角
⑴求异面直线所成的角
已知,ab为两异面直线，A，C与B，D分别是,ab
上的任意两点，,ab所成的角为，
则cos.ACBD
ACBD
⑵求直线和平面所成的角
①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成
的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角
②求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量
为u，直线与平面所成的角为，a与u的夹角为，
则为的余角或的补角
的余角.即有：
coss.in
au
au
⑶求二面角
①定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，
-5-
其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个
半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面
角的棱，每个半平面叫做二面角的面
二面角的平面角是指在二面角l的棱上
任取一点O，分别在两个半平面内作射线
lBOlAO,，则AOB为二面角l的平
面角.
如图：
②求法：设二面角l的两个半平面的法向量
分别为mn、，再设mn、的夹角为，二面角
l的平面角为，则二面角为mn、的夹角
或其补角.
根据具体图形确定是锐角或是钝角：
◆如果是锐角，则coscos
mn
mn
，
即arccos
mn
mn
；
◆如果是钝角，则coscos
mn
mn
，
即arccos
mn
mn
.
5、利用法向量求空间距离
⑴点Q到直线l距离
若Q为直线l外的一点,P在直线l上，a为直线l的
方向向量，b=PQ，则点Q到直线l距离为
221(||||)()
||hababa
⑵点A到平面的距离
若点P为平面外一点，点M为平面内任一点，
平面的法向量为n，则P到平面的距离就等于
MP在法向量n方向上的投影的绝对值.
即cos,dMPnMP
nMP
MP
nMP
nMP
n
⑶直线a与平面之间的距离
当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平
面的距离相等。由此可知，直线到平面的距离可转化
为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。
即.
nMP
d
n
⑷两平行平面,之间的距离
利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平
面间的距离转化为求点面距离。
即.
nMP
d
n
⑸异面直线间的距离
设向量n与两异面直线,ab都垂直，,,MaPb
则两异面直线,ab间的距离d就是MP在向量n方向
上投影的绝对值。
即.
nMP
d
n
6、三垂线定理及其逆定理
⑴三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个
平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂
直
推理模式：
,
,
POO
PAAaPA
aaOA
OA
B
O
A
B
l
a
P
O
A
-6-
2
1A
B
D
C
概括为：垂直于射影就垂直于斜线.
⑵三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果
和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的
射影垂直
推理模式：
,
,
POO
PAAaAO
aaAP
概括为：垂直于斜线就垂直于射影.
7、三余弦定理
设AC是平面内的任一条直线，AD是的一条
斜线AB在内的射影，且BD⊥AD，垂足为D.设AB与
(AD)所成的角为1，AD与AC所成的角为2，AB
与AC所成的角为．则12coscoscos.
8、面积射影定理
已知平面内一个多边形的面积为SS原，它在
平面内的射影图形的面积为SS射，平面与平
面所成的二面角的大小为锐二面角，则
''
cos=.SSSS射
原
9、一个结论
长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射
影长分别为123lll、、，夹角分别为123、、,则有
2222
123llll
222
123coscoscos1
222
123sinsinsin2.
（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.
必修5数学知识点
第一章：解三角形
1、正弦定理：
R
C
c
B
b
A
a2
sinsinsin
.
（其中R为ABC外接圆的半径）
2sin,2sin,2sin;aRAbRBcRC
sin,sin,sin;
222
abcABC
RRR
::sin:sin:sin.abcABC
用途：⑴已知三角形两角和任一边，求其它元素；
⑵已知三角形两边和其中一边的对角，求其它
元素。
2、余弦定理：
222
222
222
2cos,
2cos,
2cos.
abcbcA
bacacB
cababC
222
222
222
cos,2
cos,2
cos.2
bcaA
bc
acbB
ac
abcC
ab
用途：⑴已知三角形两边及其夹角，求其它元素；
⑵已知三角形三边，求其它元素。
做题中两个定理经常结合使用.
3、三角形面积公式：
BacAbcCabSABCsin21sin21sin21
4、三角形内角和定理：
在△ABC中，有()ABCCAB
222
CAB222()CAB.
5、一个常用结论：
在ABC中，sinsin;abABAB
若sin2sin2,.
2ABABAB则或
特别注意，
在三角函数中，sinsinABAB不成立。
第二章：数列
1、数列中na与nS之间的关系：
1
1
,(1)
,(2).nnn
Sna
SSn
注意通项能否合并。
2、等差数列：
⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前
一项的差等于同一个常数，即na－1na=d，（n≥
2，n∈N），
那么这个数列就叫做等差数列。
⑵等差中项：若三数aAb、、成等差数列
-7-
2
abA
⑶通项公式：1(1)()nmaandanmd
或(napnqpq、是常数）.
⑷前n项和公式：
1
1
1
22
n
n
nnnaaSnad
⑸常用性质：
①若Nqpnmqpnm,,,，则
qpnmaaaa；
②下标为等差数列的项,,,2mkmkkaaa，仍组成
等差数列；
③数列ban（b,为常数）仍为等差数列；
④若{}na、{}nb是等差数列，则{}nka、{}nnkapb
(k、p是非零常数)、{}(,)pnqapqN、，,也成等
差数列。
⑤单调性：na的公差为d，则：
ⅰ）0dna为递增数列；
ⅱ）0dna为递减数列；
ⅲ）0dna为常数列；
⑥数列{na}为等差数列napnq（p,q是常数）
⑦若等差数列na的前n项和nS，则kS、kkSS2、
kkSS23,是等差数列。
3、等比数列
⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前
一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等
比数列。
⑵等比中项：若三数ab、G、成等比数列2,Gab
（ab同号）。反之不一定成立。
⑶通项公式：11nnmnmaaqaq
⑷前n项和公式：11
1
11
n
n
n
aqaaq
Sqq
⑸常用性质
①若Nqpnmqpnm,,,，则
mnpqaaaa；
②,,,2mkmkkaaa为等比数列，公比为kq(下标成
等差数列,则对应的项成等比数列)
③数列na（为不等于零的常数）仍是公比为q的
等比数列；正项等比数列na；则lgna是公差为
lgq的等差数列；
④若na是等比数列，则2nncaa，，1
na
，
()rnarZ是等比数列，公比依次是21.rqqq
q
，，，
⑤单调性：
110,10,01aqaq或na为递增数列；
110,010,1naqaqa或为递减数列；
1nqa为常数列；
0nqa为摆动数列；
⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。
⑦若等比数列na的前n项和nS，则kS、kkSS2、
kkSS23,是等比数列.
4、非等差、等比数列通项公式的求法
类型Ⅰ观察法：已知数列前若干项，求该数列
的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从
而根据规律写出此数列的一个通项。
类型Ⅱ公式法：若已知数列的前n项和nS与na
的关系，求数列na的通项na可用公式
1
1
,(1)
,(2)nnn
Sna
SSn
构造两式作差求解。
用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一
分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即1a和na
合为一个表达，（要先分1n和2n两种情况分别进
行运算，然后验证能否统一）。
-8-
类型Ⅲ累加法：
形如)(1nfaann型的递推数列（其中)(nf是关
于n的函数）可构造：
1
12
21
(1)
(2)
..
(1
.
)
nn
nn
aafn
aafn
aaf
将上述1n个式子两边分别相加，可得：
1(1)(2)...(2)(1),(2)nafnfnffan
①若()fn是关于n的一次函数，累加后可转化为等差
数列求和;
②若()fn是关于n的指数函数，累加后可转化为等
比数列求和;
③若()fn是关于n的二次函数，累加后可分组求和;
④若()fn是关于n的分式函数，累加后可裂项求和.
类型Ⅳ累乘法：
形如1()nnaafn1()n
n
afn
a
型的递推数列（其
中)(nf是关于n的函数）可构造：
1
1
2
2
1
(1)
(
.
2)
(1
..
)
n
n
n
n
afn
a
afn
a
af
a
将上述1n个式子两边分别相乘，可得：
1(1)(2)...(2)(1),(2)nafnfnffan
有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这
种方法求解。
类型Ⅴ构造数列法：
㈠形如qpaann1（其中,pq均为常数且0p）
型的递推式：
（1）若1p时，数列{na}为等差数列;
（2）若0q时，数列{na}为等比数列;
（3）若1p且0q时，数列{na}为线性递推数列，
其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有
如下两种：
法一：设1()nnapa,展开移项整理得
1(1)nnapap,与题设1nnapaq比较系
数（待定系数法）得
1,(0)()111nn
qqqpapa
ppp
1()11nn
qqapa
pp
,即
1n
qa
p
构成
以1
1
qa
p
为首项，以p为公比的等比数列.再利用
等比数列的通项公式求出
1n
qa
p
的通项整理可
得.na
法二：由qpaann1得1(2)nnapaqn两式
相减并整理得1
1
,nn
nn
aap
aa
即1nnaa构成以
21aa为首项，以p为公比的等比数列.求出
1nnaa的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求
出.na
㈡形如1()nnapafn(1)p型的递推式：
⑴当()fn为一次函数类型（即等差数列）时：
法一：设1(1)nnaAnBpaAnB，
通过待定系数法确定AB、的值，转化成以1aAB
为首项，以p为公比的等比数列naAnB，再利
用等比数列的通项公式求出naAnB的通项整
理可得.na
法二：当()fn的公差为d时，由递推式得：
-9-
1()nnapafn，1(1)nnapafn两式相减
得：11()nnnnaapaad，令1nnnbaa得：
1nnbpbd转化为类型Ⅴ㈠求出nb，再用类型Ⅲ
（累加法）便可求出.na
⑵当()fn为指数函数类型（即等比数列）时：
法一：设1()(1)nnafnpafn，通过
待定系数法确定的值，转化成以1(1)af为首项，
以p为公比的等比数列()nafn，再利用等比数
列的通项公式求出()nafn的通项整理可得.na
法二：当()fn的公比为q时，由递推式得：
1()nnapafn——①，1(1)nnapafn，两
边同时乘以q得1(1)nnaqpqaqfn——②，由
①②两式相减得11()nnnnaaqpaqa，即
1
1
nn
nn
aqap
aqa
，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出.na
法三：递推公式为nnnqpaa1（其中p，q均
为常数）或1nnnaparq（其中p，q,r均为常数）
时，要先在原递推公式两边同时除以1nq，得：
qq
a
q
p
q
a
n
n
n
n1
1
1，引入辅助数列
nb（其中
n
n
nq
ab），得：
qbq
pb
nn
1
1再应用类型Ⅴ㈠的方
法解决。
⑶当()fn为任意数列时，可用通法：
在1()nnapafn两边同时除以1np可得到
1
11
()nn
nnn
aafn
ppp，令
n
nn
ab
p，则11
()
nnn
fnbb
p，
在转化为类型Ⅲ（累加法），求出nb之后得nnnapb.
类型Ⅵ对数变换法：
形如1(0,0)qnnapapa型的递推式：
在原递推式1qnapa两边取对数得
1lglglgnnaqap，令lgnnba得：
1lgnnbqbp，化归为qpaann1型，求出nb
之后得10.nbna（注意：底数不一定要取10，可根据
题意选择）。
类型Ⅶ倒数变换法：
形如11nnnnaapaa（p为常数且0p）的递推
式：两边同除于1nnaa，转化为
1
11
nn
paa形式，
化归为qpaann1型求出1
na
的表达式，再求na；
还有形如1nn
n
maa
paq
的递推式，也可采用取倒数方
法转化成
1
11
nn
mm
aqap
形式，化归为qpaann1
型求出1
na
的表达式，再求na.
类型Ⅷ形如nnnqapaa12型的递推式：
用待定系数法，化为特殊数列}{1nnaa的形式
求解。方法为：设)(112nnnnkaahkaa，比较
系数得qhkpkh,，可解得hk、，于是
1{}nnaka是公比为h的等比数列，这样就化归为
qpaann1型。
总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上
-10-
不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，
可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式.na
5、非等差、等比数列前n项和公式的求法
⑴错位相减法
①若数列na为等差数列，数列nb为等比数列，
则数列nnab的求和就要采用此法.
②将数列nnab的每一项分别乘以nb的公比，
然后在错位相减，进而可得到数列nnab的前n项
和.
此法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方
法.
⑵裂项相消法
一般地，当数列的通项
12()()
n
ca
anbanb
12(,,,abbc为常数）时，往往可将na变成两项的差，
采用裂项相消法求和.
可用待定系数法进行裂项：
设
12
naanbanb，通分整理后与原式相
比较，根据对应项系数相等得
21
c
bb
，从而可得
122112
11=().
()()()
cc
anbanbbbanbanb
常见的拆项公式有：
①111
(1)1nnnn
；
②1111();
(21)(21)22121nnnn
③11();ab
abab
④11;mmmnnnCCC
⑤!(1)!!.nnnn
⑶分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，
若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常
见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两
步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组.
⑷倒序相加法
如果一个数列na，与首末两项等距的两项之和等于
首末两项之和，则可用把正着写与倒着写的两个和式
相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为
倒序相加法。特征：121...nnaaaa
⑸记住常见数列的前n项和：
①(1)123...;
2
nnn
②2135...(21);nn
③22221123...(1)(21).
6nnnn
第三章：不等式
§3.1、不等关系与不等式
1、不等式的基本性质
①（对称性）abba
②（传递性）,abbcac
③（可加性）abacbc
（同向可加性）dbcadcba,
（异向可减性）dbcadcba,
④（可积性）bcaccba0,
bcaccba0,
⑤（同向正数可乘性）0,0abcdacbd
（异向正数可除性）0,0ababcd
cd
⑥（平方法则）0(,1)nnababnNn且
⑦（开方法则）0(,1)nnababnNn且
⑧（倒数法则）
babababa
110;110
2、几个重要不等式
①222abababR，,（当且仅当ab时取
-11-
""号）.变形公式：
22
.2abab
②（基本不等式）
2
abababR，,（当
且仅当ab时取到等号）.
变形公式：2abab
2
.2abab
用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最
大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.
③（三个正数的算术—几何平均不等式）
3
3
abcabc()abcR、、（当且仅当
abc时取到等号）.
④222abcabbccaabR，
（当且仅当abc时取到等号）.
⑤3333(0,0,0)abcabcabc
（当且仅当abc时取到等号）.
⑥0,2baab
ab若则（当仅当a=b时取等号）
0,2baabab若则（当仅当a=b时取等号）
⑦
b
a
nb
na
ma
mb
a
b1
其中(000)abmn，，
规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.
⑧220;axaxaxaxa当时，或
22.xaxaaxa
⑨绝对值三角不等式.ababab
3、几个著名不等式
①平均不等式：
22
11
2
22
ababab
ab
abR，,（当且仅当ab时取""号）.
（即调和平均几何平均算术平均平方平均）.
变形公式：
222
;22ababab
2
22().
2
abab
②幂平均不等式：
2222
1212
1...(...).
nnaaaaaan
③二维形式的三角不等式：
222222
11221212()()xyxyxxyy
1122(,,,).xyxyR
④二维形式的柯西不等式：
22222()()()(,,,).abcdacbdabcdR当且
仅当adbc时，等号成立.
⑤三维形式的柯西不等式：
2222222
123123112233()()().aaabbbababab
⑥一般形式的柯西不等式：
222222
1212(...)(...)nnaaabbb
2
1122(...).nnababab
⑦向量形式的柯西不等式：
设,是两个向量，则,当且仅当
是零向量，或存在实数k，使k时，等号成
立.
⑧排序不等式（排序原理）：
设1212...,...nnaaabbb为两组实
数.12,,...,nccc是12,,...,nbbb的任一排列，则
12111122......nnnnnabababacacac
1122....nnababab（反序和乱序和顺序和）
当且仅当12...naaa或12...nbbb时，反序
和等于顺序和.
-12-
⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）
若定义在某区间上的函数()fx,对于定义域中任
意两点1212,(),xxxx有
12121212()()()()()().
2222
xxfxfxxxfxfxff或
则称f(x)为凸（或凹）函数.
4、不等式证明的几种常用方法
常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、
分析法；
其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，
函数单调性法，数学归纳法等.
常见不等式的放缩方法：
①舍去或加上一些项，如22131()();
242aa
②将分子或分母放大（缩小），如
2
11,
(1)kkk2
11,
(1)kkk
2212(),
21kkkkkk
12(,1)
1
kNk
kkk
等.
5、一元二次不等式的解法
求一元二次不等式20(0)axbxc或
2(0,40)abac解集的步骤：
一化：化二次项前的系数为正数.
二判：判断对应方程的根.
三求：求对应方程的根.
四画：画出对应函数的图象.
五解集：根据图象写出不等式的解集.
规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.
6、高次不等式的解法：穿根法.
分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿
（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的
解集.
7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
()0()()0
()
()()0()0
()0()
fxfxgx
gx
fxgxfx
gxgx
（“或”时同理）
规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.
8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解
⑴2()0()(0)
()
fxfxaa
fxa
⑵2()0()(0)
()
fxfxaa
fxa
⑶
2
()0()0
()()()0()0
()[()]
fxfx
fxgxgxgx
fxgx
或
⑷
2
()0
()()()0
()[()]
fx
fxgxgx
fxgx
⑸
()0
()()()0
()()
fx
fxgxgx
fxgx
规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在
于从“小”的一边分析求解.
9、指数不等式的解法：
⑴当1a时,()()()()fxgxaafxgx
⑵当01a时,()()()()fxgxaafxgx
规律：根据指数函数的性质转化.
10、对数不等式的解法
⑴当1a时,
()0
log()log()()0
()()
aa
fx
fxgxgx
fxgx
⑵当01a时,
()0
log()log()()0.
()()
aa
fx
fxgxgx
fxgx
规律：根据对数函数的性质转化.
-13-
11、含绝对值不等式的解法：
⑴定义法：(0).
(0)
aaa
aa
⑵平方法：22()()()().fxgxfxgx
⑶同解变形法，其同解定理有：
①(0);xaaxaa
②(0);xaxaxaa或
③()()()()()(()0)fxgxgxfxgxgx
④()()()()()()(()0)fxgxfxgxfxgxgx或
规律：关键是去掉绝对值的符号.
12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：
规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中
取交集，最后取各段的并集.
13、含参数的不等式的解法
解形如20axbxc且含参数的不等式时，要
对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：
⑴讨论a与0的大小；
⑵讨论与0的大小；
⑶讨论两根的大小.
14、恒成立问题
⑴不等式20axbxc的解集是全体实数（或恒成
立）的条件是：
①当0a时0,0;bc
②当0a时0
0.
a
⑵不等式20axbxc的解集是全体实数（或恒成
立）的条件是：
①当0a时0,0;bc
②当0a时0
0.
a
⑶()fxa恒成立max();fxa
()fxa恒成立max();fxa
⑷()fxa恒成立min();fxa
()fxa恒成立min().fxa
15、线性规划问题
⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断：
法一：取点定域法：
由于直线0AxByC的同一侧的所有点的
坐标代入AxByC后所得的实数的符号相同.所
以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特
殊点00(,)xy（如原点），由00AxByC的正负即可
判断出0AxByC(或0)表示直线哪一侧的
平面区域.
即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选
原点.
法二：根据0AxByC(或0)，观察B的
符号与不等式开口的符号，若同号，0AxByC(
或0)表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上
方的区域.即：同号上方，异号下方.
⑵二元一次不等式组所表示的平面区域：
不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的
平面区域的公共部分.
⑶利用线性规划求目标函数zAxBy(,AB为常
数）的最值：
法一：角点法：
如果目标函数zAxBy（xy、即为公共区域
中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都
在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标
代入目标函数，得到一组对应z值，最大的那个数为
目标函数z的最大值，最小的那个数为目标函数z的
最小值
法二：画——移——定——求：
第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，
作直线0:0lAxBy，平移直线0l（据可行域，将
直线0l平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解
-14-
(,)xy；第四步，将最优解(,)xy代入目标函数
zAxBy即可求出最大值或最小值.
第二步中最优解的确定方法：
利用z的几何意义：Azyx
BB,
z
B
为直线的
纵截距.
①若0,B则使目标函数zAxBy所表示直
线的纵截距最大的角点处，z取得最大值，使直线的
纵截距最小的角点处，z取得最小值；
②若0,B则使目标函数zAxBy所表示直
线的纵截距最大的角点处，z取得最小值，使直线的
纵截距最小的角点处，z取得最大值.
⑷常见的目标函数的类型：
①“截距”型：;zAxBy
②“斜率”型：yz
x或
;ybz
xa
③“距离”型：22zxy或22;zxy
22()()zxayb或22()().zxayb
在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线
性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.
选修数学知识点
专题一：常用逻辑用语
1、命题：可以判断真假的语句叫命题；
逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑
联结词；
简单命题：不含逻辑联结词的命题;
复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题.
常用小写的拉丁字母p，q，r，s，,,表示命
题.
2、四种命题及其相互关系
四种命题的真假性之间的关系：
⑴、两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
⑵、两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性
没有关系．
3、充分条件、必要条件与充要条件
⑴、一般地，如果已知pq，那么就说：p是q的
充分条件，q是p的必要条件；
若pq，则p是q的充分必要条件，简称充要条件．
⑵、充分条件，必要条件与充要条件主要用来区分命
题的条件p与结论q之间的关系：
Ⅰ、从逻辑推理关系上看：
①若pq，则p是q充分条件，q是p的必要条件；
②若pq，但qp，则p是q充分而不必要条件;
③若pq，但qp，则p是q必要而不充分条件;
④若pq且qp，则p是q的充要条件；
⑤若pq且qp，则p是q的既不充分也不必要
条件.
Ⅱ、从集合与集合之间的关系上看：
已知Axx满足条件p，Bxx满足条件q：
①若AB,则p是q充分条件；
②若BA,则p是q必要条件；
③若AB，则p是q充分而不必要条件;
④若BA，则p是q必要而不充分条件;
⑤若AB，则p是q的充要条件；
⑥若AB且BA，则p是q的既不充分也不必要
条件.
4、复合命题
⑴复合命题有三种形式：p或q（pq）；p且q
（pq）；非p（p）.
-15-
⑵复合命题的真假判断
“p或q”形式复合命题的真假判断方法：一真必真；
“p且q”形式复合命题的真假判断方法：一假必假；
“非p”形式复合命题的真假判断方法：真假相对.
5、全称量词与存在量词
⑴全称量词与全称命题
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称
量词，并用符号“”表示.含有全称量词的命题，叫
做全称命题.
⑵存在量词与特称命题
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做
存在量词，并用符号“”表示.含有存在量词的命题，
叫做特称命题.
⑶全称命题与特称命题的符号表示及否定
①全称命题p：,()xpx，它的否定p：
00,().xpx全称命题的否定是特称命题．
②特称命题p：00,(),xpx，它的否定p：
,().xpx特称命题的否定是全称命题.
专题二：圆锥曲线与方程
1．椭圆
焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上
图形
标准方程
22
2210
xyab
ab
22
2210
yxab
ab
第一定义到两定点21FF、的距离之和等于常数2a，即21||||2MFMFa（212||aFF）
第二定义与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e，即(01)MFee
d
范围axa且bybbxb且aya
顶点
1,0a、2,0a
10,b、20,b
10,a、20,a
1,0b、2,0b
轴长长轴的长2a短轴的长2b
对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称
焦点1,0Fc、2,0Fc10,Fc、20,Fc
焦距222122()FFccab
离心率
2222
2221(01)
ccabbee
aaaa
准线方程
2a
x
c
2a
y
c
-2-
焦半径
0,0()Mxy
左焦半径：10MFaex
右焦半径：20MFaex
下焦半径：10MFaey
上焦半径：20MFaey
焦点三角形面积
12
2
12tan()2MFFSbFMF
通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：
2b
HHa
（焦点）弦长公式1,12,2(),()AxyBxy，22212121211()4ABkxxkxxxx
焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上
图形
标准方程
22
2210,0
xyab
ab
22
2210,0
yxab
ab
第一定义到两定点21FF、的距离之差的绝对值等于常数2a，即21||||2MFMFa（2102||aFF）
第二定义与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e，即(1)MFee
d
范围xa或xa，yRya或ya，xR
顶点1,0a、2,0a10,a、20,a
轴长实轴的长2a虚轴的长2b
对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称
焦点1,0Fc、2,0Fc10,Fc、20,Fc
焦距222122()FFccab
离心率
2222
2221(1)
ccabbee
aaaa
准线方程
2a
xc
2a
yc
渐近线方程byxaayxb
-3-
2．双曲线
3．抛物线
焦半径
0,0()Mxy
M在右支10
20
MFexa
MFexa
左焦：
右焦：
M在左支10
20
MFexa
MFexa
左焦：
右焦：
M在上支10
20
MFeya
MFeya
左焦：
右焦：
M在下支10
20
MFeya
MFeya
左焦：
右焦：
焦点三角形面积
12
2
12cot()2MFFSbFMF
通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：
2b
HHa
图形
标准方程
22ypx
0p
22ypx
0p
22xpy
0p
22xpy
0p
定义与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)
顶点0,0
-4-
关于抛物线焦点弦的几个结论：
设AB为过抛物线22(0)ypxp焦点的弦，1122(,)(,)AxyBxy、，直线AB的倾斜角为，则
⑴
2
2
1212,;4
pxxyyp⑵
2
2;
sin
pAB
⑶以AB为直径的圆与准线相切；
⑷焦点F对AB、在准线上射影的张角为
2
；
⑸112.
||||FAFBP
专题三：定积分
1、定积分的概念
如果函数()fx在区间[,]ab上连续，用分点
011iinaxxxxxb,,将区间[,]ab
等分成n个小区间，在每个小区间1[,]iixx上任取一点
(1,2,,)iin,，作和式
11
()(),
nn
nii
ii
baLfxf
n
，当n时，上
述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()fx在
区间[,]ab上的定积分.记作
b
adxxf)(
，即
1
()lim()
nb
ian
i
bafxdxf
n
，这里，a与b分别叫
做积分下限与积分上限，区间[,]ab叫做积分区间，函
离心率1e
对称轴x轴y轴
范围0x0x0y0y
焦点,02pF,02pF0,2pF0,2pF
准线方程
2
px
2
px
2
py
2
py
焦半径
0,0()Mxy
02
pMFx
02
pMFx
02
pMFy
02
pMFy
通径过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：2HHp
焦点弦长
公式12ABxxp
参数p的几
何意义参数p表示焦点到准线的距离，p越大，开口越阔
-2-
数()fx叫做被积函数，x叫做积分变量，()fxdx叫
做被积式.
说明：
（1）定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零；
（2）用定义求定积分的四个基本步骤：①分割；②
近似代替；③求和；④取极限.
2、微积分基本定理(牛顿-莱布尼兹公式)
如果()()Fxfx，且()fx在],[ba上可积，则
()()()()bba
a
fxdxFxFbFa，
【其中()Fx叫做()fx的一个原函数，因为
()()()FxCFxfx】
3、常用定积分公式
⑴0dxc（c为常数）
⑵1dxxc
⑶
1
(1)1xxdxc
⑷1lndxxc
x
⑸xxedxec
⑹(0,1)
ln
x
xaadxcaa
a
⑺sincosxdxxc
⑻cossinxdxxc
⑼1sincos(0)axdxaxca
a
⑽1cossin(0)axdxaxca
a
4、定积分的性质
⑴
b
a
b
adxxfkdxxkf)()(（
k为常数）；
⑵
b
a
b
a
b
adxxgdxxfdxxgxf)()()()(；
⑶()()()
bcb
aac
fxdxfxdxfxdx（其中)acb;
⑷利用函数的奇偶性求定积分:若()fx是[,]aa上
的奇函数,则0dx)x(fa
a
;若()fx是[,]aa上的偶
函数,则
a
0
a
adx)x(f2dx)x(f.
5、定积分的几何意义
定积分()
b
afxdx
表示在区间[,]ab上的曲线
()yfx与直线xa、xb以及x轴所围成的平面
图形（曲边梯形）的面积的代数和，即
()
b
axxfxdxSS轴上方轴下方－
.（在x轴上方的面积取
正号,在x轴下方的面积取负号）
6、求曲边梯形面积的方法与步骤
⑴画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致
图像；
⑵借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积
分的上、下限；
⑶写出定积分表达式；
⑷求出曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和.
7、定积分的简单应用
⑴定积分在几何中的应用：
几种常见的曲边梯形面积的计算方法:
（1）x型区域：
①由一条曲线）其中0)()((xfxfy与直线
)(,babxax以及x轴所围成的曲边梯形的面
积：()bSfxdxa＝（如图（1））；
图（1）
②由一条曲线）其中0)()((xfxfy与直线
)(,babxax以及x轴所围成的曲边梯形的面
积：
b
a
b
a
dxxfdxxfS)()(＝－＝（如图（2））；
-3-
图（2）
③由一条曲线()yfx
【当axc时，()0()0;c
a
fxfxdx
当cxb时，()0()0.
b
cfxfxdx
】
与直线)(,babxax以及x轴所围成的曲边梯形
的面积：()()cb
acSfxdxfxdx
＝
()().cb
acfxdxfxdx
＝（如图（3））；
图（3）
④由两条曲线()()yfxygx，（()())fxgx与
直线)(,babxax所围成的曲边梯形的面积：
()()()().
bbb
aaaSfxdxgxdxfxgxdx
（如
图（4））
图（4）
（2）y型区域：
①由一条曲线）其中0xxfy)((与直线
)(,babyay以及y轴所围成的曲边梯形的面积,
可由)(xfy得)(yhx，然后利用
b
adyyhS)(＝求
出（如图（5））；
图（5）
②由一条曲线）其中0xxfy)((与直线
)(,babyay以及y轴所围成的曲边梯形的面
积，可由)(xfy先求出)(yhx，然后利用
b
a
b
a
dyyhdyyhS)()(＝－＝求出（如图（6））；
图（6）
③由两条曲线)()(xgyxfy，与直线
)(,babyay所围成的曲边梯形的面积，可由
)()(xgyxfy，先分别求出)(yhx1，
)(yhx2，然后利用
b
adyyhyhS|)()(|21
－＝求出（如
图（7））；
图（7）
⑵定积分在物理中的应用：
①变速直线运动的路程
作变速直线运动的物体所经过的路程S，等于其速
度函数()(()0)vvtvt在时间区间,ab上的定积
分，即().
b
aSvtdt.
②变力作功
物体在变力()Fx的作用下做直线运动，并且物体沿
着与()Fx相同的方向从xa移动到()xbab，
那么变力()Fx所作的功()
b
aWFxdx.
专题四：推理与证明
-4-
1、归纳推理
把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归
纳推理(简称归纳).
简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般
的推理。
归纳推理的一般步骤：
通过观察个别情况发现某些相同的性质；
从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题
（猜想）；
证明（视题目要求，可有可无）.
2、类比推理
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的
某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推
理称为类比推理（简称类比）．
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.
类比推理的一般步骤：
找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，
从而得出一个猜想；
检验猜想。
3、合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观
察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提
出猜想的推理.
归纳推理和类比推理统称为合情推理，通俗地说，
合情推理是指“合乎情理”的推理.
4、演绎推理
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结
论，这种推理称为演绎推理．
简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.
演绎推理的一般模式———“三段论”，包括
⑴大前提-----已知的一般原理；
⑵小前提-----所研究的特殊情况；
⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．
用集合的观点来理解：若集合M中的所有元素都
具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素
也都具有性质P.
从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正
确，有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都
正确的前提下，得到的结论一定正确.
5、直接证明与间接证明
⑴综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定
理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明
的结论成立.
框图表示：
要点：顺推证法；由因导果.
⑵分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立
的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定
一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理
等）为止.
框图表示：
要点：逆推证法；执果索因.
⑶反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的
推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明
了原命题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法.
反证法法证明一个命题的一般步骤：
(1)（反设）假设命题的结论不成立；
(2)（推理）根据假设进行推理,直到导出矛盾为止；
(3)（归谬）断言假设不成立；
(4)（结论）肯定原命题的结论成立.
6、数学归纳法
数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法.
用数学归纳法证明命题的步骤;
（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值00()nnN
时命题成立；
（2）（归纳递推）假设0(,)nkknkN时命
题成立，推证当1nk时命题也成立.
只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从0n开
始的所有正整数n都成立.
用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学
命题，其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、几
何中的计算问题等.
专题五：数系的扩充与复数
1、复数的概念
⑴虚数单位i；
推
理
与
证
明
推理
证明
合情推理
演绎推理
直接证明
数学归纳法
间接证明
比较法
类比推理
归纳推理
分析法
综合法
反证法
知识结构
M
·aS
-5-
⑵复数的代数形式(,)zabiabR；
⑶复数的实部、虚部，虚数与纯虚数.
2、复数的分类
复数,zabiabR
(0)
(0,0)(0)
(0,0)
b
abb
ab
实数
纯虚数虚数
非纯虚数
3、相关公式
⑴dcbadicbia且,
⑵00babia
⑶22babiaz
⑷zabi
zz，指两复数实部相同，虚部互为相反数（互为共
轭复数）.
4、复数运算
⑴复数加减法：idbcadicbia；
⑵复数的乘法：
abicdiacbdbcadi；
⑶复数的除法：
abicdiabi
cdicdicdi
222222
acbdbcadiacbdbcadi
cdcdcd
（类似于无理数除法的分母有理化虚数除法的分
母实数化）
5、常见的运算规律
(1);(2)2,2;zzzzazzbi
2222(3);(4);(5)zzzzabzzzzzR
41424344(6),1,,1;nnnniiiiii
2
2111(7)1;(8),,
112
iiiiiiii
ii
)9(设231i是1的立方虚根，则
012，1,,332313nnn
6、复数的几何意义
复平面：用来表示复数的直角坐标系，其中x轴叫
做复平面的实轴，y轴叫做复平面的虚轴.
zabiZ一一对应复数复平面内的点（a,b)
zabiOZ一一对应复数平面向量
专题六：排列组合与二项式定理
1、基本计数原理
⑴分类加法计数原理：(分类相加)
做一件事情，完成它有n类办法，在第一类办法中有
1m种不同的方法，在第二类办法中有2m种不同的方
法,,在第n类办法中有nm种不同的方法.那么完成
这件事情共有nmmmN21种不同的方法.
⑵分步乘法计数原理：(分步相乘)
做一件事情，完成它需要n个步骤，做第一个步骤有
1m种不同的方法，做第二个步骤有2m种不同的方
法,,做第n个步骤有nm种不同的方法.那么完成这
件事情共有nmmmN21种不同的方法.
2、排列与组合
⑴排列定义：一般地，从n个不同的元素中任取
nmm个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从
n个不同的元素中任取m个元素的一个排列.
⑵组合定义：一般地，从n个不同的元素中任取
nmm个元素并成一组，叫做从n个不同的元素中
任取m个元素的一个组合.
⑶排列数：从n个不同的元素中任取nmm个元素
的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素中任取m
个元素的排列数，记作mnA.
⑷组合数：从n个不同的元素中任取nmm个元素
的所有组合的个数，叫做从n个不同的元素中任取m
个元素的组合数，记作mnC.
⑸排列数公式：
①121mnnnnAmn
-6-
!mn
nAm
n
！；
②!nAnn，规定1!0.
⑹组合数公式：
①
!
121
m
mnnnnCm
n或
!!mnm
nCm
n
！；
②mnnmnCC，规定10nC.
⑺排列与组合的区别：排列有顺序，组合无顺序.
⑻排列与组合的联系：mmmnmnACA，即排列就是先
组合再全排列.
(1)(1)!()
(1)21!!
m
mn
nm
m
AnnnmnCmn
Ammmnm
⑼排列与组合的两个性质性质
排列11mnmnmnmAAA；组合11mnmnmnCCC.
⑽解排列组合问题的方法
①特殊元素、特殊位置优先法（元素优先法：先考虑
有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优
先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他
位置）.
②间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再
把不符合条件的所有情况去掉）.
③相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”
为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，
最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）.
④不相邻(相间)问题插空法（某些元素不能相邻或某
些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好
没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素
按要求插入排好的元素之间）.
⑤有序问题组合法.
⑥选取问题先选后排法.
⑦至多至少问题间接法.
⑧相同元素分组可采用隔板法.
⑨分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，
平均分成n组问题别忘除以n！.
3、二项式定理
⑴二项展开公式：
011222nnnnrnrr
nnnnabCaCabCabCab
nn
nCbnN.
⑵二项展开式的通项公式：
NnNrnrbaCTrrnrnr,,01.主要用途
是求指定的项.
⑶项的系数与二项式系数
项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当
二项式的两个项的系数都为1时，系数就是二项式系
数.如
在()naxb的展开式中，第1r项的二项式系数
为rnC，第1r项的系数为rnrrnCab；而1()nx
x的
展开式中的系数等于二项式系数；二项式系数一定为
正，而项的系数不一定为正.
⑷nx1的展开式：
0221101xCxCxCxCxn
n
n
n
n
n
n
n
n，
若令1x，则有
n
nnnn
nnCCCC210211.
二项式奇数项系数的和等于二项式偶数项系数
的和.即131202nnnnnCCCC
⑸二项式系数的性质：
（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项
式系数相等，即mnnmnCC；
（2）增减性与最大值：当1
2
nr时，二项式系
数Crn的值逐渐增大，当1
2
nr时,Cr
n的值逐渐减小，
且在中间取得最大值。当n为偶数时，中间一项（第
2
n
＋1项）的二项式系数2
n
nC取得最大值.当n为奇数时，
中间两项（第
2
1n和
2
1n＋1项）的二项式系数
11
22
nn
nnCC相等并同时取最大值.
⑹系数最大项的求法
设第r项的系数rA最大，由不等式组1
1
rr
rr
AA
AA
可确定r.
⑺赋值法
若2012()...,nnnaxbaaxaxax
-7-
则设()().nfxaxb有：
①0(0);af
②012...(1);naaaaf
③0123...(1)(1);nnaaaaaf
④0246(1)(1)...;
2
ffaaaa
⑤1357(1)(1)....
2
ffaaaa
专题七：随机变量及其分布
1、基本概念
⑴互斥事件：不可能同时发生的两个事件.
如果事件ABC、、，其中任何两个都是互斥事
件，则说事件ABC、、彼此互斥.
当AB、是互斥事件时，那么事件AB发生（即
AB、中有一个发生）的概率，等于事件AB、分别发
生的概率的和，即
()()(PABPAPB.
⑵对立事件：其中必有一个发生的两个互斥事件.事件
A的对立事件通常记着A.
对立事件的概率和等于1.()1()PAPA.
特别提醒：“互斥事件”与“对立事件”都是就
两个事件而言的，互斥事件是不可能同时发生的两个
事件，而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件，
因此，对立事件必然是互斥事件，但互斥事件不一定
是对立事件，也就是说“互斥”是“对立”的必要但
不充分的条件.
⑶相互独立事件：事件A（或B）是否发生对事件B
（或A）发生的概率没有影响，（即其中一个事件是
否发生对另一个事件发生的概率没有影响）.这样的两
个事件叫做相互独立事件.
当AB、是相互独立事件时，那么事件AB发生
（即AB、同时发生）的概率，等于事件AB、分别发
生的概率的积.即
()()()PABPAPB.
若A、B两事件相互独立，则A与B、A与B、A
与B也都是相互独立的.
⑷独立重复试验
①一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为
n次独立重复试验.
②独立重复试验的概率公式
如果在1次试验中某事件发生的概率是p，那么
在n次独立重复试验中这个试验恰好发生k次的概率
()(1)0,12,.,kknknnPknkCpp
⑸条件概率：对任意事件A和事件B，在已知事件A
发生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率.记作
P(B|A)，读作A发生的条件下B发生的概率.
公式：()(),()0.
()
PABPBAPA
PA
2、离散型随机变量
⑴随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量
来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用
字母,,,XY等表示.
⑵离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可
以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型
随机变量.
⑶连续型随机变量:对于随机变量可能取的值，
可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续
型随机变量.
⑷离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联
系:离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表
示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以
按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可
以一一列出.
若X是随机变量，(,YaXbab是常数）则Y
也是随机变量并且不改变其属性（离散型、连续型）.
3、离散型随机变量的分布列
知识结构
-8-
⑴概率分布（分布列）
设离散型随机变量X可能取的不同值为
12,xx，,，ix，,，nx，
X的每一个值ix（1,2,,in）的概率
()iiPXxp，则称表
X1x2x,ix,nx
P1p2p,ip,np
为随机变量X的概率分布，简称X的分布列.
性质：①0,1,2,...;ipin②
1
1.
n
i
i
p
⑵两点分布
如果随机变量X的分布列为
则称X服从两点分布，并称(1)pPX为成功概
率.
⑶二项分布
如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在
n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是
()(1).kknknPXkCpp
其中0,1,2,...,,1knqp，于是得到随机
变量X的概率分布如下：
X01,k,n
P
00n
nCpq
111n
nCpq,
kknk
nCpq,
0nn
nCpq
我们称这样的随机变量X服从二项分布，记作
pnBX,~，并称p为成功概率.
判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三点：
①对立性：即一次试验中事件发生与否二者必居其一；
②重复性：即试验是独立重复地进行了n次;
③等概率性：在每次试验中事件发生的概率均相等.
注：⑴二项分布的模型是有放回抽样；
⑵二项分布中的参数是,,.pkn
⑷超几何分布
一般地,在含有M件次品的N件产品中，任取
n件,其中恰有X件次品数,则事件Xk发生的
概率为()(0,1,2,,)
knk
MNM
n
N
CCPXkkm
C,于
是得到随机变量X的概率分布如下：
其中min,mMn,,,,,nNMNnMNN≤≤.
我们称这样的随机变量X的分布列为超几何分布列,
且称随机变量X服从超几何分布.
注:⑴超几何分布的模型是不放回抽样；
⑵超几何分布中的参数是,,.MNn其意义分别是
总体中的个体总数、N中一类的总数、样本容量.
4、离散型随机变量的均值与方差
⑴离散型随机变量的均值
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X1x2x,ix,nx
P1p2p,ip,np
则称
1122iinnEXxpxpxpxp为离散型
随机变量X的均值或数学期望（简称期望）.它反映了
离散型随机变量取值的平均水平.
性质：①()().EaXbaEXb
②若X服从两点分布，则().EXp
③若pnBX,~，则().EXnp
⑵离散型随机变量的方差
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X1x2x,ix,nx
P1p2p,ip,np
则称
X01
P1pp
X01,m
P
00n
MNM
n
N
CC
C
11n
MNM
n
N
CC
C
,
mnm
MNM
n
N
CC
C
-9-
2
1
()(())
n
ii
i
DXxEXp为离散型随机变量X的
方差，并称其算术平方根()DX为随机变量X的标
准差.它反映了离散型随机变量取值的稳定与波动，集
中与离散的程度.
()DX越小，X的稳定性越高，波动越小，取值
越集中；()DX越大，X的稳定性越差，波动越大，
取值越分散.
性质：①2()().DaXbaDX
②若X服从两点分布，则()(1).DXpP
③若pnBX,~，则()(1).DXnpP
5、正态分布
正态变量概率密度曲线函数表达式：
Rxexf
x
,
2
12
2
2，其中,是参数，
且,0.记作2(,).N如下图：
专题八：统计案例
1、回归分析
回归直线方程bxay?，
其中
11
222
11
nn
iiii
ii
nn
ii
ii
xxyyxynxy
b
xxxnx
aybx
相关系数：1
22
11
n
ii
i
nn
ii
ii
xxyy
r
xxyy
1
2222
11
n
ii
i
nn
ii
ii
xynxy
xnxyny
2、独立性检验
假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分另为{x1,
x2}和{y1,y2}，其样本频数22列联表为：
y1y2总计
x1aba+b
x2cdc+d
总计a+cb+da+b+c+d
若要推断的论述为H1：“X与Y有关系”，可以利
用独立性检验来考察两个变量是否有关系，并且能较
精确地给出这种判断的可靠程度.
具体的做法是，由表中的数据算出随机变量2K的
值
2
2()
()()()()
nadbcK
abcdacbd
，其中
nabcd为样本容量，K2的值越大，说明“X
与Y有关系”成立的可能性越大.
随机变量2K越大，说明两个分类变量，关系越强；
反之，越弱。
23.841K时，X与Y无关；23.841K时，X
与Y有95%可能性有关；26.635K时X与Y有99%
可能性有关.
专题九：坐标系与参数方程
1、平面直角坐标系中的伸缩变换
设点),(yxP是平面直角坐标系中的任意一点，在
变换).0(,yy
0),(x,x
:的作用下，点),(yxP对
应到点),(yxP，称为平面直角坐标系中的坐标伸
缩变换，简称伸缩变换。
2、极坐标系的概念
在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引
一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角
度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方
向)，这样就建立了一个极坐标系。
xO
图1
M(,)
-10-
点M的极坐标：设M是平面内一点，极点O与
点M的距离||OM叫做点M的极径，记为；以极
轴Ox为始边，射线OM为终边的xOM叫做点M
的极角，记为。有序数对),(叫做点M的极坐标，
记为),(M.
注：
极坐标),(与)Z)(2,(kk表示同一个
点。极点O的坐标为)R)(,0(.
若0,则0,规定点),(与点),(
关于极点对称，即),(与),(表示同一点。
如果规定0,02，那么除极点外，平
面内的点可用唯一的极坐标),(表示（即一一对应
的关系）；同时，极坐标),(表示的点也是唯一确定
的。
极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面
上一个点，在极坐标系下，一对有序实数、对应
惟一点P(，)，但平面内任一个点P的极坐标不
惟一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律
可循的，P(，)（极点除外）的全部坐标为(,
＋k2)或（，＋)12(k），(kZ)．极点的
极径为0，而极角任意取．若对、的取值范围加
以限制．则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，
如限定>0，0≤＜2或<0，＜≤等．
极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点
与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一
多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的．
3、极坐标与直角坐标的互化
设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(,)xy，
极坐标是(,)，从图中可以得出：
222
cos,sin
,tn(0).
xy
yxyax
x
4、简单曲线的极坐标方程
⑴圆的极坐标方程
①以极点为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是
a；（如图1）
②以(,0)a)0(a为圆心，a为半径的圆的极坐标方
程是cos2a；（如图2）
③以(,)
2a)0(a
为圆心，a为半径的圆的极坐标方
程是sin2a；（如图4）
⑵直线的极坐标方程
①过极点的直线的极坐标方程是)0(和
(0).（如图1）
②过点)0)(0,(aaA，且垂直于极轴的直线l的极坐
标方程是acos.化为直角坐标方程为xa.
（如图2）
③过点(,)
2
Aa且平行于极轴的直线l的极坐标方程
是sina.化为直角坐标方程为ya.（如图
4）
cosx
siny
222yx
)0(tanx
x
y
y
y
x
O
M
H
N
cos2a
axO
M
图2
sin2a
a
xO
M
图4
sin2a
a
xO
M
图5
cos2a
axO
M
图3
a
a
xO
M
图1
),(a
)cos(2a
a
xO
M
图6
-11-
5、柱坐标系与球坐标系
⑴柱坐标：空间点P的直角坐标(,,)xyz与柱坐标
(,,)z的变换关系为：
cos
sin
x
y
zz
.
⑵球坐标系
空间点P直角坐标),,(zyx与球坐标),,(r的变
换关系：
2222
sincos
sinsin
cos
xyzr
xr
yr
zr
.
6、参数方程的概念
在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标
yx,都是某个变数t的函数),(
),(
tgy
tfx并且对于t的
每一个允许值，由这个方程所确定的点),(yxM都在
这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方
程，联系变数yx,的变数t叫做参变数，简称参数。
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方
程叫做普通方程。
7、常见曲线的参数方程
（1）圆222()()xaybr的参数方程为
cos
sin
xar
ybr（为参数）；
（2）椭圆
22
221(0)
xyab
ab的参数方程为
cos
sin
xa
yb（为参数）；
椭圆
22
221(0)
yxab
ab
的参数方程为
cos
sin
xb
ya（为参数）；
（3）双曲线
22
221(0)
xyab
ab
的参数方程
sec
tan
xa
yb（为参数）；
双曲线
22
221(0)
yxab
ab的参数方程
cot
csc
xb
ya（为参数）；
（4）抛物线22ypx参数方程
22
2
xpt
ypt(t
为参
数，1
tant）；
参数t的几何意义：抛物线上除顶点外的任意一点
与原点连线的斜率的倒数.
（6）过定点),(00yxP、倾斜角为()
2的直线
的参数方程
sin
cos
0
0
tyy
txx（t为参数）.
8、参数方程与普通方程之间的互化
在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取
值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使yx,
的取值范围保持一致.
参数方程化为普通方程的关键是消参数，并且要保
证等价性。若不可避免地破坏了同解变形，则一定要
通过)(),(tgytfx。根据t的取值范围导出yx,
的取值范围.
0
0
xO
M
图1
（，）
cos
a
aO
M
图2
cos
a
aO
M
图3
sin
a
O
M
图4
a
sin
a
O
M图5
a),(a
)cos(
a
O
M
p
N
图6
（，）
a
-1-
|
|
