圆锥曲线中的定值、定点问题
一、常见基本题型：
在几何问题中，有些几何量和参数无关，这就构成定值问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的。
（1）直线恒过定点问题
例1.已知动点在直线上，过点分别作曲线的切线，切点为、,求证：直线恒过一定点，并求出该定点的坐标；
解：设，
整理得：
同理可得：
，又
，.
例2、已知点是椭圆上任意一点，直线的方程为，直线过P点与直线垂直，点M（-1，0）关于直线的对称点为N，直线PN恒
过一定点G，求点G的坐标。
解：直线的方程为，即
设关于直线的对称点的坐标为
则，解得
直线的斜率为
从而直线的方程为：
即
从而直线恒过定点
（2）恒为定值问题
例3、已知椭圆两焦点、在轴上，短轴长为，离心率为，是椭圆在第一象限弧上一点，且，过P作关于直线F1P对称的两条直线PA、PB分别交椭
圆于A、B两点。
（1）求P点坐标；
（2）求证直线AB的斜率为定值；
解：（1）设椭圆方程为，由题意可得
，所以椭圆的方程为
则，设
则
点在曲线上，则
从而，得，则点的坐标为。
（2）由（1）知轴，直线PA、PB斜率互为相反数，
设PB斜率为，则PB的直线方程为：
由得
设则
同理可得，则
所以直线AB的斜率为定值。
例4、已知动直线与椭圆相交于、两点,已知点
，求证：为定值.
解:将代入中得
，
，
所以
。
二、针对性练习
1.在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点.
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）若?，求证：直线过定点；
解：（Ⅰ）由题意:设直线,
由消y得:,
设A、B,AB的中点E,则由韦达定理得:
=,即,,
所以中点E的坐标为,
因为O、E、D三点在同一直线上，
所以，即，解得，
所以=,当且仅当时取等号,即的最小值为2.
（Ⅱ）证明:由题意知:n>0,因为直线OD的方程为,
所以由得交点G的纵坐标为,
又因为,,且?，所以,
又由（Ⅰ）知:,所以解得,所以直线的方程为,
即有,令得,y=0,与实数k无关,
所以直线过定点(-1,0).
2.已知点为曲线上若，是否存在垂直轴的直线被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．的中点为，垂直于轴的直线方程为，
以为直径的圆交于两点，的中点为．
，
所以，令，则对任意满足条件的，
都有（与无关），即为定值．
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用心爱心专心
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