抛物线练习（定点定值垂直等）例1.已知是抛物线上的两点，且．求证：（1）求AB两点的横坐标之积和纵坐标之积;（2）直线AB恒过定点;（3）求
弦中点的轨迹方程;（4）求面积的最小值；（5）在上的射影轨迹方程.思考1：若将O点改为抛物线上任意点，AB直线是否仍过定点？思考
2：本题中，，即表示OA、OB斜率之积为-1，若kOAkOB=m(m为不为零的常数),直线AB是否过定点，试先举特例研究，再做一
般性研究；思考3：若kOA+kOB=n(n为非零常数),直线AB过定点吗？试先举特例研究，再做一般性研究；思考4：把问题3
和问题4中的O点改为抛物线上任意点，是否也有类似性质？思考5：上述结论在椭圆中成立吗？例2.在专题7例1中，椭圆上任找一点A，作两
条斜率之和为0的直线，分别交椭圆与另外亮点B和C,有BC斜率为定值（简称一定二动斜率定值）试着以抛物线上点A（4，4）,作两条斜率
之和为0的弦AB,AC分别交抛物线于B、C两点，证明：BC斜率为定值。例3.类比于专题7例4---例6已知抛物线，过焦点F的直线与
抛物线交于A、B两点，试问轴上是否存在点，使平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。思考1：若上述问题改为过求出的定点P，
做两条直线，分别交抛物线于点A,B且满足直线AP与BP斜率之和为0，且A、B不关于x轴对称，证明直线AB过定点.思考2：若上述问题
改为过求出的定点P，做一条直线，交抛物线于点A,B探究的关系。思考3：若题中出现的点不是焦点，是否有类似规律,如下题：已知定点，动
点在轴上，动点在轴的正半轴上，动点满足:，.设动点M的轨迹为曲线，过定点的直线与曲线相交于两点．（1）求曲线的方程；（2）若点的
坐标为，求证：；（3）是否存在实数使得以为直径的圆截直线所得的弦长恒为定值？若存在求出实数的值；若不存在，请说明理由.例4：类比于
专题8：在椭圆中，将准线和焦点结合，有很多垂直，共线的结论，试证明：如图：若是过抛物线焦点的弦，是的中点,是抛物线的准线,，为垂
足，,,,为垂足.证明：（1）；即以AB为直径的圆和抛物线的准线相切．（2）；（3）；（4）A、O、D三点共线；（能否推广？F(a
,0),）思考：若是过抛物线焦点的弦，过A和B分别做抛物线的切线，切线交于点M，试着猜想M的轨迹并证明；（参考专题8例3）抛物线
练习（定点定值垂直等）例1.已知是抛物线上的两点，且．求证：（1）求AB两点的横坐标之积和纵坐标之积;（2）直线AB恒过定点;（3
）求弦中点的轨迹方程;（4）求面积的最小值；（5）在上的射影轨迹方程.（1）（2）（3）（5）思考1：若将O点改为抛物线上任意点
，AB直线是否仍过定点？思考2：本题中，，即表示OA、OB斜率之积为-1，若kOAkOB=m(m为不为零的常数),直线AB是否过
定点，试先举特例研究，再做一般性研究；过定点。思考3：若kOA+kOB=n(n为非零常数),直线AB过定点吗？试先举特例研究，
再做一般性研究；直线过定点思考4：把问题3和问题4中的O点改为抛物线上任意点，是否也有类似性质？思考5：上述结论在椭圆中成立吗？例
2.在专题7例1中，椭圆上任找一点A，作两条斜率之和为0的直线，分别交椭圆与另外亮点B和C,有BC斜率为定值（简称一定二动斜率定值
）试着以抛物线上点A（4，4）,作两条斜率之和为0的弦AB,AC分别交抛物线于B、C两点，证明：BC斜率为定值。,一般情况下A()
，结论为例3.类比于专题7例4---例6已知抛物线，过焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，试问轴上是否存在点，使平分？若存在，求出
点的坐标；若不存在，说明理由。（-1，0）思考1：若上述问题改为过求出的定点P，做两条直线，分别交抛物线于点A,B且满足直线AP与
BP斜率之和为0，且A、B不关于x轴对称，证明直线AB过定点.思考2：若上述问题改为过求出的定点P，做一条直线，交抛物线于点A,B
探究的关系。思考3：若将P改为x轴负半轴上的其它点，是否有类似规律,如下题：已知定点，动点在轴上，动点在轴的正半轴上，动点满足:，
.设动点M的轨迹为曲线，过定点的直线与曲线相交于两点．（1）求曲线的方程；（2）若点的坐标为，求证：；（3）是否存在实数使得以为
直径的圆截直线所得的弦长恒为定值？若存在求出实数的值；若不存在，请说明理由.22、解：（Ⅰ）设,且,.………………………………
………………4分∴动点M的轨迹C是以O（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线（除去原点）.…………………………………………
5分（Ⅱ）解法一：（1）当直线垂直于轴时，根据抛物线的对称性，有；……………6分BADFxOyHGE（2）当直线与轴不垂直时，依
题意，可设直线的方程为，，则A，B两点的坐标满足方程组消去并整理，得,.……………7分设直线AE和BE的斜率分别为，则:＝.
…………………9分,,，.综合（1）、（2）可知.…………………10分BADFxOyHGE
解法二：依题意，设直线的方程为，，则A，B两点的坐标满足方程组:消去并整理，得,.……………7分设直线AE和BE的斜率分别为，则
:＝.…………………9分,,，.……………………………………………………10分（Ⅲ）假设存在满足条件的直线，其
方程为，AD的中点为，与AD为直径的圆相交于点F、G，FG的中点为H，则，点的坐标为.,,.
…………………………12分,令，得此时，.∴当，即时，（定值）.∴当时，满足条件的直线存在，其方程为；当时，满足条件的直线不存在.
…………………………14分例4：类比于专题8：在椭圆中，将准线和焦
点结合，有很多垂直，共线的结论，试证明：如图：若是过抛物线焦点的弦，是的中点,是抛物线的准线,，为垂足，,,,为垂足.证明：（1）；即以AB为直径的圆和抛物线的准线相切．（2）；（3）；（4）A、O、D三点共线；（能否推广）思考1：若是过抛物线焦点的弦，过A和B分别做抛物线的切线，切线交于点M，试着猜想M的轨迹并证明；（参考专题8例3）抛物线专题第3页 |
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