三角函数公式及证明基本定义1.任意角的三角函数值：在此单位圆中，弧AB的长度等于；B点的横坐标，纵坐标；（由三角形OBC面积<弧形OAB
的面积<三角形OMA的面积可得：（））2.正切：基本定理1.勾股定理：1.正弦定理：===2R（R为三角形外接圆半径）2
.余弦定理：a=b+c-2bc3.诱导公试:奇变偶不变，符号看相线4.正余弦和差公式:①②推导结论基本结论正切和差公式：3
.二倍角公式（包含万能公式）：4.半角公式：（符号的选择由所在的象限确定）5.积化和差公式：6.和差化积公式：①②
③④7.三角形面积公式S⊿=a=ab=bc=ac==2R====pr=(海伦公式，证明见下文)(其中,r为三角形内切圆半径)
定理结论的证明勾股定理的证明：本证明选自《几何原本》(欧几里得)第I卷命题47.正弦定理的证明：做三角形外接圆进行证明；需利用
结论同弧所对的圆周角相等，及直径所对圆周角为直角；同弧所对圆周角相等的证明：本证明选自《几何原本》(欧几里得)第III卷命题20
.直径所对圆周角为直角的证明：本证明选自《几何原本》(欧几里得)第III卷命题31.余弦定理的证明：本证明选自《几何原本》(欧几
里得)第II卷命题12,13.诱导公式的证明：同理可证本证明选自人教版高中数学教材.5.正余弦和差公式的证明:可得的结论本证明选
自人教版高中数学教材.海伦公式的证明:三角函数基础诱导公式（）。记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限。（一）（二）（三）
（四）（五）（六）（七）（八）（九）只需抓住以下三个特点，即可由左边写出右边：诱导公式右
边都是角的三角函数；判断函数名是否改变。判断依据：括号内与相加减的角，若为的偶数倍，则函数名不变；若为的奇数倍，则正变余，余变正（
只能弦、切、割内部变换。如，只能正弦变余弦，余弦变正弦，不能由弦变切或割）；判断正、负号。判断依据：将看作锐角时，左边的函数值该取
什么符号（正号或负号），就在右边的函数名前加上同样的符号。正弦定理和余弦定理都是描述边角关系的非常重要的定理。如图所示：任意中，,
,所对的边分别为，则正弦定理：（为外接圆半径）余弦定理：推论：正弦定理与余弦定理是等价的，具体参见文献：《对正弦定理、余弦定理
一节的两点建议》求任意面积的两种方法：1．由右图容易看出此结论。2．利用海伦公式。海伦公式：设任意三边长分别为，半周长，则有辅
助角公式，其中，的象限由的符号确定。弧度制把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。1弧度记作：.当圆心角为圆周时，所对的弧
长，故即一个圆周的角度——角度制；一个圆周的角度——弧度制。使用弧度制的好处是，用弧度制表示的角度与实数一一对应。角的
弧度数的绝对值：2.弧长：扇形面积：3.任意角的三角函数及其符号规律任意角的三角函数：设是一个任意大小的角，角的终边上非
原点的任意一点的坐标是，与原点的距离是，则可定义角的三角函数：正弦：余弦：正切：余切：正割：余割：2.三角函数符号规律。
口诀：“函弦切余”说明：（1）符号规律见右图，第一象限角的各三角函数值均取正，第二象限只有正弦函数（及其倒数余割）取正，第三象限
只有正、余切函数取正，第四象限只有余弦函数（及其倒数正割）取正。归纳起来，由第一象限至第四象限，取正的函数分别为“函弦切余”。（2
）由三角函数的定义及个象限内点的坐标的符号即可确定各三角函数在各象限的符号。三角函数重要公式和差的三角函数积化和差公式证明：①
②①+②，得①-②得：另两式证明方法相同。倍角、半角的三角函数将上面两式左右两边分别相除，得：（证明：）和差化积公式证明：①
②①+②，得③令，则，代人③式，得另三式证明方法相同。万能公式三倍角公式附件诱导公式目录·http://www.zd9999.
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式联想记忆·http://www.zd9999.com/slh/detail.asp?id=655和差化积公式·http://ww
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h/detail.asp?id=655和差化积公式推导诱导公式★诱导公式★常用的诱导公式有以下几组：公式一：设α为任意角，终边相同
的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2k
π＋α）＝cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）
＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－
sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的
三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cot
α公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π
/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2
－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝
－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（3π/2－α
）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα(以上k∈z)h
ttp://www.zd9999.com/slh/detail.asp?id=655诱导公式记忆口诀※规律总结※上面这些诱导公式可
以概括为：对于k·π/2±α(k∈z)的个三角函数值，①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；②当k是奇数时，得到α相
应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.（奇变偶不变）然后在前面加上把α看成锐角时原函数
值的符号。（符号看象限）例如：sin(2π－α)＝sin(4·π/2－α)，k＝4为偶数，所以取sinα。当α是锐角时，2π－α∈
(270°，360°)，sin(2π－α)＜0，符号为“－”。所以sin(2π－α)＝－sinα上述的记忆口诀是：奇变偶不变，符号
看象限。公式右边的符号为把α视为锐角时，角k·360°+α（k∈z），-α、180°±α，360°-α所在象限的原三角函数值的符号
可记忆水平诱导名不变；符号看象限。各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦；三为切；四余弦”．这十二
字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”；第二象限内只有正弦是“＋”，其余全部是“－”；第三象限内
切函数是“＋”，弦函数是“－”；第四象限内只有余弦是“＋”，其余全部是“－”．其他三角函数知识：http://www.zd99
99.com/slh/detail.asp?id=655同角三角函数基本关系⒈同角三角函数的基本关系式倒数关系:tanα·cot
α＝1sinα·cscα＝1cosα·secα＝1商的关系：sinα/cosα＝tanα＝secα/cscαcosα/sinα
＝cotα＝cscα/secα平方关系：sin^2(α)＋cos^2(α)＝11＋tan^2(α)＝sec^2(α)1＋cot^2
(α)＝csc^2(α)http://www.zd9999.com/slh/detail.asp?id=655同角三角函数关系六角
形记忆法六角形记忆法：（参看图片或参考资料链接）构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型。（1）倒数关系：对
角线上两个函数互为倒数；（2）商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。（主要是两条虚线两端的三角
函数值的乘积）。由此，可得商数关系式。（3）平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三
角函数值的平方。http://www.zd9999.com/slh/detail.asp?id=655两角和差公式⒉两角和与差的三
角函数公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）
＝cosαcosβ－sinαsinβcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ??tanα＋tanβtan（α＋β）＝—
—————?1－tanα·tanβ?tanα－tanβtan（α－β）＝——————?1＋tanα·tanβhttp://w
ww.zd9999.com/slh/detail.asp?id=655倍角公式⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）sin
2α＝2sinαcosαcos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α)2tanα
tan2α＝—————1－tan^2(α)http://www.zd9999.com/slh/detail.asp?id=655
半角公式⒋半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）?1－cosαsin^2(α/2)＝—————??21＋cosαcos^2(
α/2)＝—————?2?1－cosαtan^2(α/2)＝—————?1＋cosαhttp://www.zd9999.com/s
lh/detail.asp?id=655万能公式⒌万能公式?2tan(α/2)sinα＝——————?1＋tan^2(α/2)?1
－tan^2(α/2)cosα＝——————?1＋tan^2(α/2)?2tan(α/2)tanα＝——————?1－tan^2(
α/2)http://www.zd9999.com/slh/detail.asp?id=655万能公式推导附推导：sin2α=2s
inαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......，（因为cos^2(α)+sin^2(α)
=1）再把分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α＝tan2α/(1＋tan^2(α))然后用α/2代替α即可。同理可推导余
弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。http://www.zd9999.com/slh/detail.asp?id=
655三倍角公式⒍三倍角的正弦、余弦和正切公式sin3α＝3sinα－4sin^3(α)cos3α＝4cos^3(α)－3cosα
?3tanα－tan^3(α)tan3α＝——————1－3tan^2(α)http://www.zd9999.com/slh
/detail.asp?id=655三倍角公式推导附推导：tan3α＝sin3α/cos3α＝(sin2αcosα＋cos2αsi
nα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)＝(2sinαcos^2(α)＋cos^2(α)sinα－sin^3(α))/(
cos^3(α)－cosαsin^2(α)－2sin^2(α)cosα)上下同除以cos^3(α)，得：tan3α＝(3tanα－
tan^3(α))/(1-3tan^2(α))sin3α＝sin(2α＋α)＝sin2αcosα＋cos2αsinα＝2sinαc
os^2(α)＋(1－2sin^2(α))sinα＝2sinα－2sin^3(α)＋sinα－2sin^2(α)＝3sinα－4s
in^3(α)cos3α＝cos(2α＋α)＝cos2αcosα－sin2αsinα＝(2cos^2(α)－1)cosα－2cos
αsin^2(α)＝2cos^3(α)－cosα＋(2cosα－2cos^3(α))＝4cos^3(α)－3cosα即sin3α＝
3sinα－4sin^3(α)cos3α＝4cos^3(α)－3cosαhttp://www.zd9999.com/slh/det
ail.asp?id=655三倍角公式联想记忆记忆方法：谐音、联想正弦三倍角：3元减4元3角（欠债了(被减成负数)，所以要“挣
钱”(音似“正弦”)）余弦三倍角：4元3角减3元（减完之后还有“余”）☆☆注意函数名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角
都用余弦表示。http://www.zd9999.com/slh/detail.asp?id=655和差化积公式⒎三角函数的和差化
积公式?α＋β??????α－βsinα＋sinβ＝2sin—----·cos—---?2????????2?α＋β
????α－βsinα－sinβ＝2cos—----·sin—----?2????????2α＋β????α
－βcosα＋cosβ＝2cos—-----·cos—-----2????????2α＋β????α－βcos
α－cosβ＝－2sin—-----·sin—-----2????????2http://www.zd9999.com/
slh/detail.asp?id=655积化和差公式⒏三角函数的积化和差公式sinα·cosβ＝0.5[sin（α＋β）＋si
n（α－β）]cosα·sinβ＝0.5[sin（α＋β）－sin（α－β）]cosα·cosβ＝0.5[cos（α＋β）＋c
os（α－β）]sinα·sinβ＝－0.5[cos（α＋β）－cos（α－β）]http://www.zd9999.com/
slh/detail.asp?id=655和差化积公式推导附推导：首先,我们知道sin(a+b)=sinacosb+cosas
inb,sin(a-b)=sinacosb-cosasinb我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina
cosb所以,sinacosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2同理,若把两式相减,就得到cosasinb=(si
n(a+b)-sin(a-b))/2同样的,我们还知道cos(a+b)=cosacosb-sinasinb,cos(a-b)=
cosacosb+sinasinb所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosacosb所以
我们就得到,cosacosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2同理,两式相减我们就得到sinasinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2这样,我们就得到了积化和差的四个公式:sinacosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2cosasinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2cosacosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2sinasinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:sinx+siny=2sin((x+y)/2)cos((x-y)/2)sinx-siny=2cos((x+y)/2)sin((x-y)/2)cosx+cosy=2cos((x+y)/2)cos((x-y)/2)cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)sin((x-y)/2) |
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