“分析方法”在高中物理解题中的应用（二）
如前所述，我们分别讨论了“分析-综合思维”，“分析方法”以及“形象分析方法”在解题中的应用，本文我们继续对“逻辑分析法”、‘“数理分析法”、“系统分析法”等在解题中的应用进一步展开讨论。
四．“逻辑分析法”在解题中的应用
在高中物理解题研究中，我们把利用物理概念、规律，对形象思维的结果——形象情景（或“内象”）实行的分析-综合法，简称为“逻辑分析法”。例如通过逻辑分析可知，在运动过程中包含着力、速度、牛顿定律、功能关系，在电学过程中包含着电功、电势能及其相互关系、电磁感应定律等等。
实际上，逻辑思维起始于对形象思维确认-递升而来的“形象图景”，或者形象图景就是逻辑思维的起点，或切入点、突破口。逻辑分析的目的，进一步弄清物理实体、状态、过程的内部本质，发现和构建已知量、待求量的必然联系，亦即对已知量、待求量做物理层面的各种分析过程，如受力分析、运动分析、功能分析、冲动分析、量子分析和系统的能量、动量、质量、电荷等是否守恒的分析等等。进而，根据概念的物理含义和适用范围，判断所需概念是否正确，根据规律的适用条件，确定某个物理规律是否可用。在比较、归类基础上，应用由因导果、执果索因、简单模仿、类比模型、变换等效等方式，搜索和打通解题思路；根据物理原理、定理、定律、公式、二级结论等，发现和确定已知量、过渡量、待求量等的关系，最终获得解题所需的具体方程、不等式等组合。
仿前所述，以逻辑分析环节为起点的逻辑思维阶段，实则为了解决一个所求习题的“定性”问题。
具体地，逻辑思维（构思）阶段，即通过对“习题反映”提供的图景信息的深入分析和比较，根据用恰当的物理概念、规律，发现、抽取联系已知量、未知量的本质特性及其联系，目的在于构建起诸如运动学公式、牛二定律式、能量守恒式、动量守恒式等组合。
为了以后方便讨论，我们把这种“组合”，试称为破解习题的“逻辑方案”，或视为逻辑思维成果的“意象”。
例如；一根长为l的轻绳，一端固定在O点，另一端拴一个质量为m的小球.用外力把小球提到图示位置，使绳伸直，并在过O点的水平面上方，与水平面成30°角.从静止释放小球，求小球通过O点正下方时绳的拉力大小.
如所示为零；A-B段加速；B点速度达到,方向向下；C点最大速度，水平向左。
如何变化：在A-B段，直线“加速”；B-C，B-C，圆周变速。
⑸能量状态1：在A点，重力势能；B点，（转动）动能加重力势能；C点，与B点类似。
如何变化2：在A-B段，动能增加，势能减少；在B点，机械能损失（速度减小）；B-C段与A-B段类似。
至于逻辑比较：亦主要是指习题负载与解题经验的比较，有比较才有鉴别。（讨论从略）
2．逻辑抽象：
⑴概念抽象：已知条件、，由此挖掘出下落高度（隐含条件）；至B点，绳长为圆半径，速度突变后仅余，的“正交”分力（直觉判断）；待求未知为“小球通过O点正下方时绳的拉力大小等。
⑵规律抽象：机械能守恒,速度分解，向心力公式。
⒊逻辑推理：即对抽象所得组合框架进行逻辑推理。在A-B段，由于满足重力做功的条件，因而可用机械能守恒定律，对应上式可以执行；在B点，则执行正交分解的规律；在B-C段，执行向心力公式去推演等。
由此，在⑴⑶子过程，由于只有重力做功，机械能守恒mgl=mvB2/2①
mvB′2/2+mgl(1-cos60°)=mvC2/2②
在⑵子过程，由速度分解可得
vB′=vBcos30°③
在C点由牛二定律得④
⒋逻辑应变（修正）：联立以上四式成方程组，即得破解此题的——逻辑方案，确认无误提交给数理思维部分“求解”。
若缺乏层层深入的分析，忽视悬绳“从伸直到对小球施加拉力”的暂态过程中机械能的损失，而是对小球“从初位置到末位置”的渐进过程，直接用机械能守恒定律求最低点速度，则必将导致解题的出错。
这样是否无事生非，小题大做呢？
答案是否定的。“分析方法”往往不是停留在单纯、机械、狭隘意义上，而是“广义”的，且贯穿于整个解题过程，与比较、抽象、推断、修正等环节交织在一起。通常所谓“学会分析和解决物理问题”中的“分析”，意义亦在于此。逻辑分析，就是从物理本身的角度或视野出发，对当前“习题反映”（负载）的逻辑信息做“化整为零”处理，以便于弄清过程的状态、细节，不至于挂一漏万、导致解题的失败或遗憾。这就是说，无论做什么，有其利则必有其弊，把逻辑思维过程分成四个环节，有时却较难界定。如此多的文字，看来繁琐，却是人脑思维活动的细致描述，许多如概念、规律抽象和推理的“意念”，实则一闪而过，平时解题没必要写出，日久天长一旦实现格式化、熟练化，实行起来必将产生极大的解题效益。我们千万不要钻牛角尖，以为把问题搞的愈发复杂了。
应该再次强调，由于绝大部分物理概念和物理规律，皆可用物理定义式、公式和方程表达，为方便讨论起见，故把物理概念和物理规律统称“物理公式”
逻辑分析（仍称分析-综合），以物理的概念、定律、定理、原理，以及法则、定义式、公式和方程等“物理公式”为思维对象，目的或任务即分析物理量和物理量之间的联系，进而借助于逻辑加工获取一个解题所必需的“物理公式组”——逻辑方案。
还应指出，单纯、孤立的逻辑分析，对解题而言是没太大意义的（如对矢量分解与合成、匀变速直线运动的位移、电磁感应规律等“物理公式”逻辑的分析）。逻辑分析是逻辑思维加工的基础或必要条件，没有逻辑分析，也就不能顺利进行逻辑加工。形象分析常与形象加工相互协作和密切联系在一起，两者同属于完整思维过程的第二层次。
如由牛二定律导出分量式、由电磁感应定律导出分列式等包含着逻辑分析思维、由平抛运动分位移公式导出、物理公式组中未知量的消减等包含着逻辑综合思维。
【例题解析】
⑴“力-动”分析
这里的受力分析，是指关于力的“定性”的分解与合成。目的，最终解决一个应用律的问题。【例题】如图所示，质量分别为mA、mB的两个物体A、B，用细绳相连跨过光滑的滑轮，将A置于倾角为θ的斜面上，B悬空．设A与斜面、斜面与水平地面间均是光滑的，A在斜面上沿斜面加速下滑，求斜面受到高出地面的竖直挡壁的水平方向作用力的大小．
【析】首先，逻辑分析表明，在沿斜面方向物体A因受两个力作用产生加速度绳中张力为FT，A、B运动的加速度的大小为a。对A，在沿斜面方向由牛顿第二定律得mAgsinθ-FT=mAa
然后，对B，在竖直方向由牛顿第二定律又得
FT-mBg=mBa
联立上两式求的大小
a=
FT=
接下来，此时A对斜面的压力为FN1=mAgcosθ，斜面体的受力如图所示（形象分析），在水平方向可得
F+FTcosθ=FN1sinθ
不难求出，斜面受到高出地面的竖直挡壁的水平方向的作用力F=。
⑵“功能”分析
.下面一例，分析和研究的全过程应用动能定理30°的自动扶梯，该扶梯在电压为380的电动机带动0.4m/s的恒定速率向斜上方移动，电动机的最大输出功率为49kW。不载人5A，若载人时扶梯的移动速率与不载人时相同，则这台自动(设人的平均质量为60，10m/s2)
【解析】??首先，对功、能和功能关系的“逻辑分析”、比较抽象等表明，?忽略电动机内阻的热损耗，电动机的输入功率和输出功率相等。即空载时维持扶梯运行的电功率为
①
故可用于载送乘客的多余功率为
②
由①②式即可求出多余功率为的大小。
然后，对力、运动和力动关系的“逻辑分析”、比较抽象等表明，扶梯斜向上作匀速运动，故每位乘客受重力mg和支持力作用，且mg③
电动机通过扶梯支持力对人做功，其功率为P′那么
P′=Fvcosa=mgcos(90°-30°)④
故同时乘载的最多人数为
⑤
再联立③④⑤式，即可求得多余功率
,
以及承载最多人数
人。
【点拨】本题取自日常社会生活问题，怎样把我们所熟悉的实际问题转化为物理模型，从而运用功、能以及功能关系等物理知识来求解，的确体现出物理知识的水平和实际应用的能力。
【例】人从一定高度落地容易造成骨折一般成人胫骨的极限抗压强度约为1.5×107N/m2，胫骨最小横截面积大约为3.2cm2假若一质量为50kg的人从一定高度直膝双足落地，落地时其重心又约下降1cm，试计算一下这个高度超过多少米时，就会导致胫骨骨折？【析】双脚胫骨面积最小处能承受冲击力的最大值
F＝pS下落的安全极限高度为h1，触地后重心又下降的高度为h2设人的质量为m，对全过程由动能定理得
mg（h1＋h2）－F·h2＝0
由此求出
h1＝
h1＝2.7m小球由离地面h高处由静止开始下落，落地时与地面碰撞后即以原速率竖直反弹，如果小球运动中所受空气阻力大小恒定为重力的K倍（K＜１）小球第一次反弹的高度为多大？若不计小球的大小，小球总共运动的路程为多大？
小球由下落开始直到反弹到最高点（离地面高度设为h1）的过程初末动能皆为0，。此过程中，物体受重力、空气阻力和地面作用力，题设与地面碰撞后以原速率反弹，即碰撞时小球动能变，地面作用力做功为0；重力做功与途径无关，只由起点与终点两点高度差决定，即WG=mg（h-h1）；空气阻力大小不变，在两段路程上皆做负功，即。所以合外力功为
类似地，依动能定理，
由以上两式可求出小球第一次反弹的高度。
⑵然后，再求第二问小球不断下落和反弹，只需研究小球下落开始，直到最终停地面的全过程即可。所研究过程首末两态动能皆为0，。此过程只有重力和空气阻力做功，为总路程。可得
mgh-kmgs=0
由此，即可求出小球总共运动的路程。
【点拨】若换一个角度考虑，物体重力势能减少mgh，用克服摩擦阻力做功，mgh=kmgs，也可求出相同的结果。
小球A用不可伸长的轻绳系于O点，在O点正下方有一固定的钉子B。开始时，将球A拉到与悬点O同高处无初速释放，若绳长为L，则当B与悬点O的距离d满足什么条件时，球A摆下后将如图所示，绕B点做完整的圆周运动？
【析】球A由摆下到绳遇到钉B之后作圆周运动的全过程中，受绳拉力和垂力，绳拉力不做功，只有重力做功，球A的机械能守恒。研究球A由开始释放至运动到圆周上最高位置C之过程，其重力势能减少了，动能增加了，其中，机械能守恒，①
而C必须满足条件②
由图可见d=L-R③，值的下限。
自然d还应d＜L距离d满足条件。
实际上，从动能定理机械能守恒等来分析解决物理问题，不涉及物理过程的具体细节，因此也就更简捷。
【例题6】质量为60kg的建筑工人，不慎从空中跌落，由于弹性安全带的保护，使他悬挂起来。已知安全带原长5m，缓冲时间为1.2s，则安全带对工人的平均冲力是多少？（g=10m/s2）
【析】人跌落后在重力作用下做自由落体运动，绳拉直后又受安全带的作用，在重力和弹力共同作用下做变速直线运动，某瞬时速度变为零。
由得自由落体时间：
设安全带对工人的平均冲力为F，人下落的全过程应用动量定理得：
联立以上两式代入数据
【例题7】如图3—2—6所示，小车A的质量M=2kg，置于光滑水平面上，初速度为v0=14m/s.带正电荷q=0.2C的可视为质点的物体B，质量m=0.1kg，轻放在小车A的右端，在A、B所在的空间存在着匀强磁场，方向垂直纸面向里，磁感应强度B=0.5T，物体与小车之间有摩擦力作用，设小车足够长，求：
⑴B物体的最大速度？
⑵小车A的最小速度？
⑶在此过程中系统增加的内能？（g=10m/s2）
【析与解】⑴类似地，对B物体：fB+FN==mg,
当B速度最大时，有FN=0，
即vmax==10m/s.
⑵类似地，A、B系统动量守恒：Mv0=Mv+mvmax,
∴v=13.5m/s，即为A的最小速度.
⑶Q=ΔE=Mv02/2-Mv2/2-mvmax2/2=8.75J.
【例题18】如图所示，在磁感应强度大小为B、方向垂直向上的匀强磁场中，有一上、下两层均与水平面平行的“U”型光滑金属导轨，在导轨面上各放一根完全相同的质量为m的匀质金属杆A1和A2，开始时两根金属杆位于同一竖起面内且杆与轨道垂直。设两导轨面相距为H，导轨宽为L，导轨足够长且电阻不计，金属杆单位长度的电阻为r。现有一质量为的不带电小球以水平向右的速度v0撞击杆A1的中点，撞击后小球反弹落到下层面上的C点。C点与杆A2初始位置相距为S。求：
⑴回路内感应电流的最大值；
⑵整个运动过程中感应电流最多产生了多少热量。
【解析】①
又s＝vt②
③
联立①②③三式解得：
④
而对回路的电流、电阻、电动势以及电磁感应规律的“逻辑分析”、比较、抽象等表明，回路内感应电动势的最大值E＝BLv1⑤
回路内感应电流的最大值⑥
联立④⑤⑥三式解得：
⑵类似地，两棒组成的系统，对它们从开始作用到达到共同速度的全过程由动量守恒定律得：
mv1＝2mv2
由能量守恒定律，整个运动过程中感应电流最多产生热量为：
【例题9】质量为m，的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上。平衡时，弹簧的压缩量为，如图3—2—8所示。一物块从钢板正上方距离为的A处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连。它们到达最低点后又向上运动。已知物块质量也为m时，它们恰能回到O点。若物块质量为2m，仍从A处自由落下，则物块与钢板回到O点时，还具有向上的速度。求物块向上运动到达的最高点与O点的距离。
【解析】
①
物块m与钢板碰撞后的共同速度为，因碰时内力远大于外力，动量守恒，有
②
刚碰完时弹簧的弹性势能为，回到O点时动能和弹性势能皆为零，由系统机械能守恒，有
③
设物块2m与钢板碰撞后的共同速度为，则有
④
它们回到O点时速度为，由机械能守恒，有
⑤
由于物块与钢板不粘连，一过O点，钢板在弹簧的作用下便与物块2m分离，物块以速度竖直上抛，则上抛距O点的最大高度为
⑥
联立①~⑥式解得
【点拨】此例解答需用自由落体、竖直上抛、动量守恒、能量守恒等知识，深刻挖掘隐含条件，因此必须具有较完备的知识储备和解决问题的综合能力。临场时，若我们不把复杂的物理过程分开来逐层分析，弄不清过程的状态及需用的规律，导致错误将不可避免。
一般而言，高考试题大多有立意高、情境新、设问巧等特点。我们能否借助于物理图景，对复杂的物理过程和状态做清晰认识和精到分析，则是解题的重点、难点和一项不可缺少的基本功。
⑷电路分析
【例题10】如图7所示，厚度均匀的矩形金属薄片边长ab＝10cm，bc＝5cm.当将A与B接入电压为U的电路中时，电流为1A；若将C与D接入同一电路中，则电流为()
A．4AB．2A C.A D.A/4
【解析】首先计算出沿A、B方向和沿C、D方向电阻的比值，再利用欧姆定律求出两种情况下的电流比．设沿A、B方向的横截面积为S1，沿C、D方向的横截面积为S2，则，A、B接入线路中时的电阻为R1，C、D接入电路中时的电阻为R2，则有.两种情况下电流之比为＝＝，故I2＝4I1＝4A．选A。
【例题】(10重庆模拟)汽车电动机启动时车灯会瞬时变暗，如图所示，在打开车灯的情况下，电动机未启动时电流表读数为10A，电动机启动时电流表读数为58A，若电源电动势为12.5V，内阻为0.05Ω.电流表内阻不计，则因电动机启动，车灯的电功率降低了()
A．35.8W B．43.2W
C．48.2W D．76.8W
【解析】电动机未启动时，通过灯泡电流为I＝10A，
电压U1＝12.5V－10×0.05V＝12V.
所以灯泡电阻为R＝＝Ω＝1.2Ω.
电动机启动时，灯泡两端的电压
U2＝12.5V－58×0.05V＝9.6V.
故车灯的电功率降低了ΔP＝－＝43.2W．故B正确．
【例题】两个等长的单摆，一个放在地面上，另一个放在高空，当第一个摆振动n次的同时，第二个摆振动了(n－1)次．如果地球半径为R，求第二个摆离地面的高度．
【解析】设第二个摆离地面的高度为h，则距地心为(R＋h)，此处的重力加速度为g，地球表面的重力加速度为g，由万有引力定律：
G＝mg，G＝mg′，得＝，
由单摆周期公式：
，
所以.
解得
而机械波问题，还应切实注意到横波传播的双向性。
【例题】如图所示中实线是一列简谐横波在t1＝0时刻的波形，虚线是这列波在t2＝0.5s时刻的波形，这列波的周期T符合：3T＜t2－t1＜4T，问：
(1)若波速向右，波速多大？
(2)若波速向左，波速多大？
(3)若波速大小为74m/s，波速方向如何？
【解析】由图象：λ＝8m，又因为3T＜t2－t1＜4T，
(1)当波向右传播时，t2－t1＝3T＋T，
所以T＝＝s＝s，
由v＝得v＝m/s＝54m/s.
(2)当波向左传播时t2－t1＝3T＋T，
所以T＝＝s＝s，
由v＝得v＝m/s＝58m/s.
(3)当波速为74m/s时，在0.5s内波传播的距离为s＝74×0.5m＝37m＝4λ，故此波向左传播．
内壁光滑的导热汽缸竖直浸入在盛有冰水混合物的水槽中，用不计质量的活塞封闭压强为1.0×105Pa，体积为2.0×10－3m3的理想气体，现在活塞上缓慢倒上沙子，使封闭气体的体积变为原来的一半．
(1)求汽缸内气体的压强；
(2)若封闭气体的内能仅与温度有关，在上述过程中外界对气体做功145J，封闭气体吸收还是放出热量？热量是多少？
(1)封闭气体（一定质量的理想气体做等温变化，由玻意耳定律p1V1＝p2V2，
得气体的压强p2＝＝Pa＝2.0×105Pa.
(2)做等温变化，内能不变，即ΔU＝0
根据热力学第一定律ΔU＝W＋Q，
得热量Q＝－W＝－145J
说明封闭气体放出热量，热量为145J.
物理学家帕平发明了高压锅，高压锅与普通锅不同，锅盖通过几个牙齿似的锅齿与锅体镶嵌旋紧，加上锅盖与锅体之间有橡皮制的密封圈，所以锅盖与锅体之间不会漏气，在锅盖中间有一排气孔，上面再套上类似砝码的限压阀，将排气孔堵住．当加热高压锅，锅内气体压强增加到一定程度时，气体就把限压阀顶起来，这时蒸气就从排气孔向外排出．由于高压锅内的压强大，温度高，食物容易煮烂．若已知排气孔的直径为0.3cm，外界大气压为1.0×105Pa，温度为20℃，要使高压锅内的温度达到120℃，则限压阀的质量应为多少？(g取10m/s2)
【解析】类似地，选锅内气体为研究对象，则
初状态：T1＝293K，p1＝1.0×105Pa
末状态：T2＝393K
由查理定律得
p2＝＝Pa＝1.34×105Pa
对限压阀受力分析可得mg＝p2S－p1S＝(p2－p1)S
＝(p2－p1)π·
＝(1.34×105－1.0×105)×3.14×N
＝0.24N
所以m＝0.024kg.
S1、S2为两个相干光源，发出的光的频率为7.5×1014Hz，光屏上A点与S1、S2的光程差为1.8×10－6m.
(1)若S1、S2的振动步调完全一致，则A点出现什么条纹？
(2)若S1、S2的振动步调完全相反，则A点出现什么条纹？
(1)先对光的传播作逻辑分析，由λ＝得λ＝m＝4×10－7m＝＝4.5，即路程差为半波长的奇数倍，若S1、S2的振动步调完全相同，则A点出现暗条纹．
(2)若S1、S2的振动步调完全相反，则路程差为半波长的奇数倍时应为加强点，A点出现亮条纹．
数理分析的实质和目的，即通过对数理信息的分析，完成物理表达到数学表达的“物-数”形式意义上的转换（尽管这种转换在人脑中瞬间即可完成），实际则可理解为比例式、分式、不等式、方程或方程组等等，弄清它们之间的各种关系，为习题解决所需要的的数理推演，提供必要地基础平台和重要支持。
还应该说明，由于绝大部分物数学概念和数学规律，皆可用物数学定义式、公式、方程表达，为方便讨论起见，故把物数学概念和数学规律统称“数学公式”
数理分析，或称分解-合成，以数学的概念、原理、定理、法则、定义式、公式和方程等“数学公式”为思维对象，目的或任务即利用“理数转换”所得“数学公式组”——数理成果，分析各种数学量和数学量之间的联系，进而借助于变换、演算、推导等数理加工，最终获取习题的答案。
数理分析是数理思维加工的基础或必要条件，没有数理分析，也就不能顺利进行数理加工。单纯、孤立地数理分析（如矢量分解与合成、匀变速直线运动的速度、带电粒子再匀强磁场中的轨道半径等“数学公式”的数理分析）是没太大意义的，数理分析与数理加工相互协作和密切联系，两者同属于完整思维过程的第三层次。
如因式分解与其逆变、矢量分解与合成、积化和差与和差化积等过程，皆包括一种数理分析与综合过程。
初步归纳，数理分析应有算术分析、几何分析、代数分析、三角分析、矢量分析以及微积分分析等等。
下面，通过一些典型实例的解答过程，说明数理分析法的具体应用。
【例题解析】
㈠算术分析:
关于算术分析，主要包括比、比例与比例、算术平均值、近似值、特殊值等四则运算的有关问题。下面，是简单电路的计算中两个有关比例运算的物理习题。详情参见“比例法”。
【例题1】如图3—3—1所示，电源电动势保持不变，内阻可忽略，R1=2R2，开关S断开时，电流表的示数为I1，R1消耗的功率为P1；开关S闭合时，电流表的示数为I2，R2消耗的功率为P2，则（）A．I1：I2=1：1 P1：P2=3：1
B．I1：I2=1：3 P1：P2=1：2
C．I1：I2=3：1 P1：P2=1：1
D．I1：I2=1：1 P1：P2=1：3
分析原电路并画出其等效电路，可得R1、R2并联电阻
已知R1=2R2，从而就有下列比例运算
类似地，依公式，在电压相等时，电阻R1和R2消耗的功率之比等于电阻的反比
即。
【例题2】在用电高峰时，某家庭用户的电压比220V降低了10％，此时正在工作的“220V100W”白炽灯的实际功率是____________W。（不考虑温度对灯丝电阻的影响）
【解析】类似地，若不考虑温度对灯丝电阻的影响，近似认为灯丝的电阻保持不变，则本题的“等量”是“电阻不变”。对电路中电流、电压、电功率及其关系的“数理分析”，再联系比较抽象等，进而可得电功率与电压的平方成正比，根据电功率公式，即
因此，代入已知数据，白炽灯的实际功率为
。
【点拨】高中物理的比例运算，除电路计算外，在万有引力与航天、电、磁场、电磁感应、交变电能的传输、热学、光学等也有重要应用，也可以说，几乎涵盖高中物理习题解决的所有领域，初学者应该给以高度的关注。
㈡代数分析
关于代数分析，主要包括代数式、分式、约分、通分、因式分解、方程、方程组、一元二次三项式、不等式等数理分析的内容。下面，介绍两个简单的例子，详情参见“下文”有关章节。
【例题3】用一个力作用在A物体上产生的加速度为a1,作用于B物体上产生的加速度为a2，若将该力同时作用在A、B两物体上时，则A、B的加速度有多大？
【解析】设该力同时作用在A、B两物体时，A、B的加速度为。从而，由牛二定律，分别对于三种情况可得下列三元一次方程组
①
②
③
联立①②③“逻辑关系”式，不难求出
从而得到下面的物理结果亦即
由于各量无具体数值、单位，物理结果即本例最后结论。
【例题4】如所示，位于水平面的两条金属导轨AB、CD相距为L，按图所示与电动势为E的电源和定值电阻R相连接，金属棒MN垂直置于导轨上，并在上面滑动，其他所有电阻不计，并加有竖直向下的匀强磁场B，通电金属棒在磁场力的作用下由静止开始向左运动，最后以速度v匀速运动，设摩擦力不变且大小为f，问B多大时v有最大值，v的最大值是多少？设最大速度为v,金属棒的电流为I，感应电动势为E1，磁场力为F
???当v具有最大值即
这是一个含有参数v的关于B的一元二次方程。
要使上式有意义判别式必须大于或等于零
进一步分析可知取等于零通电金属棒最大速度
??再代回上述关于B的表达式，
【点拨】在高中物理习题解决领域中，方程、方程组、不等式等，应用十分重要，而具有普遍意义，欲做解决物理习题的行家里手，必须非常熟通晓和牢固把握这部分知识以利于熟练应用。
㈢三角分析
关于三角分析，包括初级三角函数及其变换、和差化积、积化和差、倍（半）角公式等的数理分析的内容。类似处理，下面介绍两个简单的例子，详情请关注“下文”有关章节。
【例题5】如图3—3—3所示，质点A沿着直线MN以速度做匀速运动开始时质点B与A相距为a与MN间的垂直距离为b则质点B沿什幺方向做匀速直线运动能以最小的速度与质点A相遇最小速度为多大?
B沿与BC夹θ
对上式整理后而将u表为θ的函数为
针对这一函数作“代数方法”处理可得：当
时，质点B的速度u取得最小值，为
【例题6】如图3—3—4所示，一条形磁铁放在水平桌面上在其左上方固定一根与磁铁垂直的长直导线，当导线通以如图所示方向电流时（）
A．磁铁对桌面的压力减小，且受到向左的摩擦力
B．磁铁对桌面的压力减小，且受到向右的摩擦力
C．磁铁对桌面的压力增大，且受到向左的摩擦力
D．磁铁对桌面的压力增大，且受到向右的摩擦力
【解析】导线所在处磁场的方向沿磁感线的切线方向斜向下，对其沿水平竖直方向分解，如图3—3—5所示。对导线而言，应用分力的三角函数式、左手定则可得，Bx产生的效果是磁场力方向竖直向上；By产生的效果是磁场力方向水平向左。
依牛三定律，可知导线对磁铁有向下的作用力，因而磁铁对桌面压力增大；导线对磁铁有向右的作用力．因而磁铁有向右的运动趋势，由此判定桌面对磁铁的摩擦力方向水平向左．
易得（解略）本题答案：C。
㈣数列分析
这里的数列分析，是应用等差、等比数列的知识进行的数理分析。类似地，也粗略讨论两例。
【例题7】如图3—3—6所示，小球从长为l的光滑斜面顶端自由下滑，滑到底端时与挡板碰撞并反弹而回，若每次与挡板碰撞后的速度大小为碰撞前的4/5，求小球从开始下滑到最终停止于斜面下端时，物体一共通过的路程.
【解析】物体在斜面上下滑和反弹而回的加速度相等，设为a.物体第一次碰撞前后速度及反弹路程分别为：
１
再设常数物体第二次碰撞前后速度及反弹路程分别为：
………………
以上各式用速度公式、速度-位移关系是针对多次碰撞分解（演绎）获得。
物体第n次碰撞前后的速度及反弹路程分别为
,
以上速度、位移等各通项式是对多次碰撞合成（归纳）的结果，此结果起始于“数理分析”，再加数理比较、抽象、综合等而获得。同理，物体n＋１次碰撞挡板时所经历的总路程：
当n趋于无限大时，，此即物体最终停在斜面底端时通过的总路程。
【点拨】本例为了清晰和节省纸面，我们预先设置了常数，解题时若该数（或量）事先尚不清楚，则宜采用下面的解答形式。
【例题8】如图3-3-7所示，m=2kg的平板车后端放M=3Kg的小铁块，铁块和平板车之间的动摩擦因数μ=0.5，开始时，车和铁块共同以速度v0=3m/s向右在光滑水平面上运动，车与竖直墙正碰（不损失机械能），碰撞时间极短，车身足够长，铁块始终不与墙相碰，求小车与墙第一次相碰后小车所走的总路程。g取10m/s2.
【解析】设向右为正方向，第一次碰撞后，m以-3m/s速度向左运动，而其加速度，m逐渐减速至零，这段位移的值x1为：
，
此后m在M的摩擦力作用下向右加速运动，直至与M速度相同，由动量守恒定律
M(+3)+m(-3)=(M+m)v1，则
类似地，第二次碰撞后，m以速度向左运动，重复以上分析，得
随后M与m不断重复以上运动，有
，
此通项式的导出，也是数理的分析（演绎）、比较、抽象，再经综合（归纳）的结果。自然，可设n为无穷大，则小车所走的总路程为：
【点拨】实际上，数列知识在高中物理解题中应用是十分重要和非常广泛的，如匀变速直线运动连续相等时间内的位移就构成一个等差数列，小球与地面的碰撞导致的多次反弹运动的总位移也可构成一个等比数列。他如在匀速圆运动、振动和波、带电粒子在电磁场中运动等章节习题中，由于其运动本身所有的时间和空间的周期性，因而也往往需用已知条件归纳某个物理量的通项表达式，然后应用数列的有关知识求解。
㈤解析分析
解析分析部分，大致包括向量、坐标系（或参考系）、两点距离公式、直线的斜率、直线方程、二次曲线（抛物线、椭圆、双曲线）、参数方程等的数理分析的内容。类似地，下面也粗略讨论两例。
【例题9】排球场长18m，球网高2m，运动员在3m线处水平击球，求：
?（1）当他击球的高度低于某值时，不是触网就是越界，求此高度？?
?（2）若击球高度H=2．5m，求既不触网也不越界的初速度范围。
【解析】以排球抛出点为坐标原点，建立如图所示坐标系平抛运动的轨迹方程平抛运动的轨迹方程为：
?
?（1）设击球的高度为h时，就不是触网就是越界，所以轨迹曲线应该从球网上端飞过后落在球的边界上。将球网上端A（6，h－2）和球场边界B（12，h）代入轨迹方程得
和
由此求出
。
（2）当H=2．5m，速度最小时，球恰好从球网上端越过，将球网上端A（6，2．5－2）代入轨迹方程得，。
?当H=2．5m，速度最大时，球恰好从球场边界越过，将球场边界B（15，2．5）代入轨迹方程得，。
?球既不触网也不越界的初速度的范围为18．97m/s
式中是焦点参数，
是离心率。由于离心率，故粒子的运动轨道是一双曲线,而原子核Ze在其一焦点上人造地球卫星在地球引力场中运动,行星的轨道运行是在万有引力(平方反比有心力)作用下的运动,轨道的具体形状由离心率的数值而定,分别为圆、椭圆、抛物线和双曲线,这是人所共知的事实,毋需赘述”的方法（或思维方式）、思路、过程、策略和技巧等，所实行的多角度、多方位、多层次地分析-综合法。
实际上，在高中物理解题中，这种分析-综合，既应对习题解决所得题解的求同和求异发散而言，更重要的是对解题（或思维）方法的求异和求同的发散思维而言，如一题多解和一题多变，和求异和求同的收敛思维如多解选优和多题一解等等。类似地，可把发散-收敛思维，简称为发散思维法或发散法。
发散思维的对象，主要针对习题答案、解题方法等方面的内容。系统分析的实质和目的，即通过对习题所涉及系统信息的分析，应用系统发散——收敛思维，对所解习题进行题解验讨、一题多解、一题多变、多解选优、多题一解等深入的研究和探讨。
在对解题过程和方法等多解选优、多题一解的过程中，势必包括着系统的比较和鉴别思维活动，舍此也就没有选优、归一的思维成果。因此，也就没有在选优成果基础上产生的思维转换和等效思维方法，更没有由归一成果基础上产生的模型思维方法。
接下来，系统思维的等效法和模型法等的应用、推广，以及新的解题理论的产生，就失去充分、必要条件或重要的前提。
从另一角度着眼，系统思维的全过程，出发散-收敛外，还包括产生于发散-收敛基础上的系统抽象、概括、推广、理论以及理论方法的应变和决断问题，所谓量变导致质变，终将产生思维品质和能力的飞跃和提升。注：系统思维的结果可试称虚（务虚之“虚”）象。
说白了，所谓系统分析，即以思维方法的思路、步骤、策略、技巧等“思维方法”为思维对象，目的或任务即分析各种思维方法及其优劣或类同联系，进而为灵活、明确选择或敏捷、熟练应用解题所需的物理模型做准备和铺垫。
还应指出，系统分析是系统思维加工的基础或必要条件，没有系统分析，也就不能顺利进行系统加工（方法的归类或对比）。系统分析与系统加工相互协作和密切联系在一起，两者同属于完整思维过程的第四层次。
下面，通过一些典型物理习题的解答，说明系统分析法（或发散-收敛法）的具体应用。
【例题解析】
㈠习题题解的检验（即发散）
题解的发散问题，即题解的检验问题。这种检验分为实验检验（实验）和理论证明（论证）等两类多种方法。
【例题1】如右图所示，相互接触的两个物体A和B，以相同的加速度沿固定斜面下滑，已知两物体与斜面间的滑动摩擦系数均为μ（μ
假设A，B两物体间有相互作用的弹力，其大小为F先选物体A为研究对象，根据牛顿第二定律有
解得
再选物体B为研究对象，有
解得
比较①②两式可知：αA>αB,这与已知条件“以相同加速度沿固定斜面下滑”相矛盾；所以原假设错误，A，B两物体之间无弹力作用。
行星的平均密度是ρ，靠近行星表面的卫星的周期是T，的表达式。
【】
联系到密度的定义、球的体积公式，则有
然后，当卫星靠近行星公转时则有，于是把前式代入上式即得
【检验】本例检验可用理论验证法，亦即应用归纳或演绎推理方式来证明。首先，我们将行星看一个卫星看绕行星做匀速圆周运动的理想化模型，半径为，则密度ρ质量M与体积V。
亦即①
再对卫星，万有引力提供向心力，
亦即
②
联立①②式，即可求出
???【点拨】由于G为万有引力常量，因此确定。此例应用理想化物理模型，结合题意“执因索果”进行推理论证。的确降低了题目的思维难度，使比较复杂的问题得到简化。
【例题】如右图所示，杆BC的B端铰接于竖直墙上，另一端C为一滑轮，重物G系一绳经过滑轮固定于墙上A点处，杆恰好平衡，若将绳的A端沿墙向下移，再使之平衡，BC杆重，滑轮的大小及各处的摩擦均可不计，则可能有（）
A.绳的拉力增大，BC杆增大
B.绳的拉力不变，BC杆减小
C.绳的拉力不变，BC杆增大
D.绳的拉力增大，BC杆不变
【】借助于归谬法说明：假设，则以B为转轴的BC杆，拉力T和重力G对转轴B的力臂就不会相等，拉力矩和重力矩不等，BC杆不可能平衡，因而原假设是错误的。鉴于绳过滑轮结构的特点，绳的拉力大小不变，无可争议。较容易，由于绳夹角减小，拉力T和重力G的合力增大，BC杆增大，正确答案。
解此题的关键应弄清在A端下移过程中BC杆也发生转动时，因而使逐渐减小，却始终相等，也即BC杆始终沿着两段绳夹角的平分线。【检验】1.解题过程应用归谬法，题解的检验则亦用正面论述法、或正向思维的方法。显然，由图可知；
再依力的平衡条件和合成计算公式得,
。
若将绳的A端沿墙向下移，再使之平衡，随之减小，增大，因而杆对滑轮的支持力将增大。由此证明了题解的正确性。
2.有时，应用极限思维或量纲思维法，也可检验题解是否正确。请看下面一则例题。
【例题】一物体被竖直上抛，已知抛起的初速度与回到抛出点时的速度的大小之比为k，物体在运动过程中所受的空气阻力大小不变，则空气阻力与重力之比为()
A.kB.C.D.
【解析】解法一：按照常规的解题方法。
根据题意知（表示上抛的初速度，表示回到抛出点的末速度）
（1）上升过程上升的加速度是（F表示空气阻力，表示物体的质量）
上升的高度是
（2）下降过程下降的加速度是
下升的末速度是
得：
则空气阻力与重力之比为，所以C答案正确。
【】根据极思维方法，则表示空气阻力为零理想竖直上抛运动，应有把代入四个选项中加以验证，得C是正确的。
点的解法实际上是假想一个特例来对答案进行检验而得出结论这里，如不进行这样的假设则需根据胡克定律和牛顿定律列方程求解，较之法则繁难多了法称之为“特殊值检验法”，是题常用的方法之一．在“应试教育”向“素质教育”转轨的今天,教师的作用除“传道授业解惑之外,更主要的是在传授知识的同时开发学生的智力,培养学生的能力.而一题多变的训练对巩固基本概念、基本规律、拓宽学生的思路,开阔学生的视野,尤其是对培养学生的发散思维能力和创造思维能力具有积极地推动作用“一题多变对学有余力的学生更为必要,他们经过一题多变”、一题多测”、一题多思一题多问等训练,不但满足了他对知识需求的欲望,同时也使他们深刻体会到了自然世界的多样性、复杂性、更加激发他们主动地去探索下面通过对摩擦力的分析谈谈一题多变”的具体应用.
质量相等的两物块A、B叠放在水平地面上,物块A受一水平力F作用,A、B共同在水平面上作匀速直线运动,如图所示。则A.物块A受到的摩擦力为0B.物块B受到地面的摩擦力为FC.物块A受到的摩擦力为F2
D.物块B受到地面的摩擦力为F/2速运动,
【解析】已知物块A水平向右受到了力F和它在水平方向上作匀速直线运动,表明它在水平方向上受到了一对平衡力的作用,那么它水平向左一定受到物块B给的摩擦力几取,且与F平衡,如图所示,所以有,选项A、C均错。又物体间力的作用是柑互的,故A同时也给B一个水平向右的摩擦力,根据牛顿第三定律有,因B与A一同作匀速运动,表明B在水平方向上受到的力是平衡的,则B肯定受到了地面的摩擦力且与平衡,如图3所示所以选项B对D错
.【变】质量相等的物块A、B叠放在水平地面上,物块A在同一水平线上向右、向左受到等大的力F和F,A、B共同在水平面上作匀速直线运动,如图所示(该题选项与原题相同)
【解析】物块A在水平方向上作匀速直线运动又F与F满足二力平衡条件,故A不受摩擦力,所以选项A对C错由牛顿第三定律知,A对B也无摩擦力作用.由于B与A共同匀依牛顿第一定律可知B受到地面的摩擦力为0.则选项B、D均错
【变】质量相等的两物块A、B叠放在水平地面上,物块B受一水平力F作用,A、B共同在水平面上作匀速直线运动,如所示(该题选项与原题相同)
【解析】假定物块A受摩擦力,无论该力大小如何,方向是水平向左还是向右,使得A在水平方向上受力不平衡不能作匀速运动而不合题意因此A不受摩擦力的作用,选项A对c错已知B受水平向右的F作用,且与A一同作匀速运动,表明B在水平方向上受两个平衡力的作用,故B受到地面上的摩擦力与F平衡,于是,如图所示.所以选项B对D错【变】原题变化三质量相等的两物块A、B叠放在水平地面上,物块B在同一水平线上向右向左受到一对等大的力F、和凡作用,A、B共同在水平面上作匀速直线运动,如图7所示,(该题选项同原题)
【解析】由上题解析知,物块A受到的摩擦力为0,其中选项A对C错,由牛顿第三定律知A对B也无摩擦力.B水平方向上所受的力F与F已满足二力平衡条件,B若受地面的摩擦力的作用,此力不论大小如何.方向是水平向左还是向右,则B水平方向受力不平衡而不合题意,经分析B受到地面的摩擦力为0选项B、D都错.
.【】上述例题的分析与求解可以看出摩擦力的方向可用假设法用顶点坐标法、配方法、判别式法和均值定理法求极值举例
【】如图所示的电路中。电源的电动势＝12伏，内阻＝0.5欧，外电阻＝2欧，＝3欧，滑动变阻器＝5欧。求滑动变阻器的滑动头滑到什么位置，电路中的伏特计的示数有最大值?最大值是多少?
分析设间电阻为，外电路总电阻为.则：
先求出外电阻的极大值再求出伏特计示数的极大值。本题的关键是求，下面用四种方法求解。
用“顶点坐标法”求解
抛物线方程可表示为。考虑R＝=，
设，当时，
(3)＝＝2.5Ω。
用“配方法”求解
考虑。
即＝3Ω时，Ω。
用“判别式法”求解
考虑，则有，
Δ＝＝36-4(-1)(16-10R)＞0，即100-40R≥0，R≤2.5Ω即＝2.5Ω。
用“均值定理”法求解
考虑，设；。当时，即，即＝3Ω时，＝2.5Ω。
也可以用上面公式＝25，
Ω。
以上用四种方法求出＝2.5Ω，下边求伏特计的极大值：
＝＝4(A)
＝12-40.5＝10(V)
即变阻器的滑动头滑到的中点2.5Ω处，伏特计有最大值，最大值为10伏。
时，函数y具有极大或极小值等结论；第二种配方法，先配出完全平方式，由此求出当分式分子的二次项为零时，求出电阻的最大值；出第三种判别式法，则应用一元二次方程的判别式，即通过判别式有实数解，间接求出电路外部电阻的最大值，进而求出待求的电压。第四种均值定理法，亦即所谓若两个不等的正数之和确定，当两者大小相等时，它们的乘积最大的规律。
然后，在求异性比较基础上，进而完成数学方法等的抽象、概括，获取顶点坐标法、配方法、判别式法和均值不等式法等解题的特点和规律，由此整合为对应不同习题的数学模型。
最后，对四种数学模型（或思维方式）作最优化选择。我们发现，第四种解法最繁琐，难度也大；第一种方法稍容易，难度次之；第二、三种之配方法、判别式法初学者最熟悉，过程简洁、比较容易，尤以配方法最宜应用，且不易出错。因此，最优化方法选择配方法。
至于思维方法的归纳：求异归纳——等效方法和求同归纳——模型方法，和两种思维方法的应用、把握与推广，及其完善与发展等内容，详见“系统思维方法”一章内容。
结束语
写到这里，有必要对分析思维方法做一总结。
实际上，讨论分析思维方法重要意义，在于一切渐进式思维过程大抵属于分析-综合思维过程。该过程不仅包括各种分析、综合，复杂的分析往往离不开演绎，复杂的综合往往也离不开归纳；而且，完整的分析-综合过程还包括各种比较、抽象、推演、应变等重要的思维环节。
一般所谓分析思维，应指分析-综合思维而言。
单纯、呆板、机械的分析，或单纯、呆板、机械的综合，尽管可以片面、孤立存在，但对解决问题没有多少实际意义。因此，我们必须在分析的基础上，再对各种各类思维对象（信息）进行加工或改造，再把结果重新综合起来。这就形成分析、比较、抽象、推演、应变、综合等一系列的思维活动的全过程。而分析和解决高级、繁难的物理问题，往往需要我们这种科学、高效、实用的完全思维过程，即分析-综合思维过程。
再者，作为形象思维、逻辑（抽象）思维、数理思维和系统思维，均属于不同层次的分析-综合思维过程。一个具体问题的的分析和解决，或者根本没有系统思维过程，或者也没有数理思维过程，或者连逻辑思维过程也没有，但是这一思维过程也属于分析-综合思维过程，而解题的思维方法均可简称作分析思维方法或分析法。当然，系统思维是这种思维过程的最高层次。只不过系统思维更加注重于分析思维的熟练性（定势）和灵活性（换势）的讨论和研究。
随着渐进式分析-综合思维的完善和发展，最终将形成更高层次的具有形象性、创造性的灵感思维，和更高层次的逻辑（抽象）性、有序性的直觉思维。进而，由量变到质变，产生思维的数量的巨大飞跃和品质的高度提升。
（本文部分内容选自《高中物理思维方法集解》）
2017年12月15日撰稿于南开风湖里
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