设是平面α的法向量，则不妨取一设二乘三特值即αBCA3.三步法：例2.如图,已知正方体ABD-A1
B1C1D1的棱长为2M2则平面M1BM2D1的法向量是______是A1A,CC1中点，,M1,M2分别解：建立如
图所示的坐标系……M1设是平面M1BM2D1的法向量,则BACDxzy不妨取即
是平面M1BM2D1的法向量三、法向量的求法：1.直接法：3.三步法：2.验证法：一设二乘三特值特殊易得直接写感
觉良好验证法4.平面方程(截距)法：xyzOA(a,0,0)B(0,b,0)C(0,0,c)当平面α的横
、纵、竖截距分别是：a，b，c(abc≠0)时有4.平面方程(截距)法：例3.(2014年新课标Ⅰ)如图,三棱柱
ABC-A1B1C1中，侧面BB1CC1为菱形,AB⊥B1C①证明：AC=AB1②若AC⊥AB1，∠CBB1=
600，AB=BC求二面角A-A1B1-C1的余弦值ABC1A1B1C析1：三线垂直要证明……xzyO建
立如图所示的坐标系不妨设OB1=1……,故其截距是故其法向量是,1,1析2：因平面AA1B1就是平面AB
B1则B1(0,1,0)B(,0,0)A(0,0,1)例3.(2014年新课标Ⅰ)如图,三棱柱ABC-A1B
1C1中，侧面BB1CC1为菱形,AB⊥B1C①证明：AC=AB1②若AC⊥AB1，∠CBB1=600，AB=
BC求二面角A-A1B1-C1的余弦值ABC1A1B1C析1：三线垂直要证明……xzyO,故其截距是
故其法向量是,-1,1析2：因平面A1B1C1//平面ABC则B1(0,1,0)B(,0,0)A(0,0,
1)平面AA1B1的法向量是……应用平面方程(截距)法求法向量时，要注意：1.要充分利用割补法、运动观……2.书
写要伪装成：三步法ABC1A1B1CxzyO例4.(2005年湖南)BACDA1D1C1
B1O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面AC1D1的距离为A.B.C.D.Oxz
y析：建立如图所示的坐标系,则故平面AC1D1的法向量为故所求距离为如图,正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1
故平面AC1D1的截距是1,1,∞【B】绕轴轴为○三、法向量的求法：1.直接法：3.三步法：2.验证法：
一设二乘三特值特殊易得直接写感觉良好验证法4.平面方程(截距)法：5.含0速算法：1.单○负倒参xyzO
ABDCC1A1B1D1例5.在棱长为1的正方体AC1中，M为棱A1B1的中点求平面BMC1的一个法向量
M(1,1,0)(1,,1)析1：为(0,1,1)析2：单○负倒参析3：故平面BMC1的法向量析4：又
因故即书写要伪装成：三步法5.含○速算法：2.双○补单○1.单○负倒参则或若平面α内
的是平面α的一个法向量2.双○补单○换位加负号因为，书写要伪装成：三步法且含有两个○，应用三步法时计算量很少
该类型问题，直接应用三步法较佳5.含○速算法：2.双○补单○换位加负号1.单○负倒参3.无○可配凑若平面α内的
且向量坐标中均不含○，则用：配凑出含○的，从而回归到含○型例6.若平面α内的求平面α的一个法向量析1：因析3：又
因析2：故α的法向量一定可设为故即书写要伪装成：三步法3.无○可配凑三、法向量的求法：1.直接法：3.三步法
：2.验证法：一设二乘三特值特殊易得直接写感觉良好验证法6.行列式(叉积)法：4.平面方程(截距)法：5.含○
速算法：6.行列式(叉积)法：若平面α内的则平面α的一个法向量()书写要伪装成：三步法
例7.若平面α内的求平面α的一个法向量析：因书写要伪装成：三步法6.行列式(叉积)法：(
)三、法向量的求法：1.直接法：3.三步法：2.验证法：一设二乘三特值特殊易得直接写感觉良好验证法
6.行列式(叉积)法：4.平面方程(截距)法：5.含○速算法：1.前三法是基础，可以上卷面2.后三法是提高，不能“上
桌面”3.方法多了，就没有好方法需伪装成：三步法要灵活地运用：割补、运动等手法多法并举、准确、快速地求出法向量
附加作业：1.(2010年天津简化)如图,在长方体ABDCFE和平面FED的法向量DD1上的点,且A
BCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱CC1求平面A1ED2.(2017年全国Ⅰ简化)如图,在四棱锥P-ABCD中AB/
/CD，且PA=PD=AB=DC求平面APB和平面PBC的法向量ABDCP附录28平面法向量的求法三、法
向量的求法：二、相关知识：一、法向量的概念：1.直接法：3.三步法：2.验证法：一设二乘三特值特殊易得直接写感
觉良好验证法6.行列式(叉积)法：4.平面方程(截距)法：5.含○速算法：均要伪装成：三步法一、法向量的概念：（参
课本P：103）已知直线l⊥平面α，是α一个的法向量αl则称直线l的方向向量显然法向量只关心方向不关心长度○
向量除外二、相关知识：一、法向量的概念：3.行列式简述：4.向量积：1.几个常见的结论：2.平面方程与法向量：二、相
关知识：1.几个常见的结论：①双○就是轴谁非谁平行若,则与x轴平行若
,则与y轴平行若,则与z轴平行②单○就是面谁○谁垂直若
,则与x轴垂直若,则与y轴垂直若,则与z轴垂直
的法向量是的法向量是的法向量是③双○补单○1.几个常见的结论：①双○就是轴谁非谁平行②单○就是面
谁○谁垂直④单○负倒参的法向量是的法向量是的法向量是或或或二、相关知识：1.几个常见的结论：2.
平面方程与法向量：在空间直角坐标系中，平面α的方程是：Ax＋By＋Cz＋D＝0(ABC≠0)则
是平面α的一个法向量当平面α的横、纵、竖截距分别是：a，b，c(abc≠0)时有3.行列式简述：1.几个
常见的结论：2.平面方程与法向量：二、相关知识：3.行列式简述：①二阶行列式：引入符号表示算式
即称符号为二阶行列式二行二列是上述行列式的展开式其计算的结果叫做行列式的值a.定
义：3.行列式简述：①二阶行列式：a.定义：b.运算——对角线法则：＝－主对角线副对角线练习1.计算下列二阶行
列式的值：①②③＝＝＝定义三行三列a.定义：②三阶行列式：＝称其为三阶行列式称其为行列式的展
开式①二阶行列式：其计算的结果叫做行列式的值行标列标a.定义：②三阶行列式：b.运算：(1)沙路法：
(2)对角线法则：(3)性质法：二阶行列式(1)沙路法记(2)对角线法则注意红线上三元素的乘积冠以正号
蓝线上三元素的乘积冠以负号(3)性质法＝11a33322322aaaa(
3)性质法＝33322322aaaa11a12a33312321aaaa3331
2321aaaa(3)性质法＝33322322aaaa11a12a333123
21aaaa(3)性质法＝33322322aaaa11a12a33312321
aaaa32312221aaaa13a(3)性质法＝33322322aaaa
11a12a33312321aaaa32312221aaaa13a＝三阶行列式
二阶行列式练习2.利用性质计算三阶行列式的值：①②＝＝＝＝＝二、相关知识：一、法向量的概念：3.行列式简
述：4.向量积：1.几个常见的结论：2.平面方程与法向量：①定义:那么,叫做与的向量积4.向量积
：设由与按下列方式给出:ⅰ:模：ⅱ:方向：垂直于与所决定的平面的指向遵循右手
规则(从转向来确定)记作:又称外积,叉积右手规则①定义:4.向量积：②坐标运算:(
)记忆方法:S1：构造三阶行列式S2：将行列式展开即可＝……已知求析：因练习3.求向量积问题：
是两向量的向量积不是两向量的数量积已知求析：因()练习3.求向量积三、
法向量的求法：1.直接法：3.三步法：2.验证法：一设二乘三特值特殊易得直接写感觉良好验证法6.行列式(叉积)
法：4.平面方程(截距)法：5.含○速算法：均要伪装成：三步法1.直接法：特殊易得直接写ACDByzx坐标面或于其平行的面的法向量，可直接写出：面xoy或于其平行的面的法向量是面yoz或于其平行的面的法向量是面zox或于其平行的面的法向量是2.验证法：感觉良好验证法例1.如图,已知正方体ABD-A1B1C1D1的棱长为1法向量是________ACDByzx是平面A1C1B的法向量故因解：建立如图所示的坐标系……则平面ACD1的令已感知到某向量是所求法向量用线面垂直判定定理验证即可 |
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