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| 高等代数研究生入学考试试题-按学校分类(一) |
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高等学校攻读硕士学位
研究生入学考试高等代数试题集锦
陈德华编
嘉应学院数学学院
二00九年七月
目录
bjsfdx北京师范大学(2003,2004)
gxdx广西大学(2004,2005,2006,)
gxsfdx广西师范大学(2003,2004,2005，)
gzdx广州大学(2003,2004,2005，)
hebgydx哈尔滨工业大学(2009,)
hnlgdx华南理工大学(2005，2006,2009，)
hnsfdx华南师范大学(2002，2003,2007，)
hnsfdx湖南师范大学(2000，2001,2002，)
hzkjdx华中科技大学(2004,)
hzsfdx华中师范大学(2006,)
kmlgdx昆明理工大学(2008,)
lzdx兰州大学(2002,)
nkdx南开大学(2003,2005,2006)
stdx汕头大学(1998，1999,2000,2002,2003,2004,2005，)
sxdx三峡大学(2006,)
sxsfdx陕西师范大学(2005,)
szdx深圳大学(2004,)
xadzkjdx西安电子科技大学(2001,)
xbdx西北工业大学(1999(1),1999(2),2000(1),2000(2)，2004，)
xmdx厦门大学(2004,)
xndx西南大学(2006,)
zgkxy中国科学院(1996,1997,2003)
北京师范大学
2003年
1．(1)计算排列87162534的逆序数，并依次写出将上述排列变成12345678的所有对换。
(2)设个数码的排列的逆序数是，那么排列的逆序数是多少？请说明理由。
2．设
是数域上的一个阶若当块，试写出与可交换的域上的全体阶矩阵。
3．一个大于1的整数若其因子只有1和本身，则称之为素数。证明是素数当且仅当任取正整数，若，则或。
4．已知
是六个实函数，它们生成的子空间记作。说明维商是上的一个线性变换，并求在基下的矩阵。
5．设域上的维线性空间的一个线性变换在基底下的矩阵为
(1)求的特征多项式；
(2)维向量空间有循环基底吗？若有，试求之；
(3)求的极小多项式并说明理由。
6．设是一个数域，是上的未定元，二阶矩阵
其中，是域上的一元多项式环。运用带余除法证明可通过行与列三种初等变换(其中第三种变换允许将某行(列)乘以中的多项式加到另一行(列)上)化为
的形式，且。
2004年
1．试用元初等对称多项式表述下列多项式
(1)；
(2)，此处表示对脚标进行所有可能的元置换后对不同的项求和；
(3)。
2．设变换定义为
(1)证明是一个线性变换；
(2)求出在下述基底下的矩阵：
(3)求出在下述基底下的矩阵：
(4)写出从到的过渡矩阵。
3．已知线性方程组
(1)求出系数矩阵的秩；
(2)给出方程组有解的充分必要条件。
4．令实二次型,其中,设与分别是的最大与最小特征值。则对任意的个实数均有
5．令是一个维欧氏空间，是的一个标准正交基，是的一个线性变换，是关于这个基的矩阵，证明
6．设是维向量空间的一个线性变换，是的极小多项式，此处和是不同的复数。令
证明：(1)和都是的不变子空间；
(2)；
(3)的极小多项式是，的极小多项式是。
广西大学
2004年
1．计算行列式
其中，。
2．已知是一个非零矩阵，且的每一个列向量都是方程组
的解。(1)求的值；(2)证明。
3．设是两两互异的整数，试证明多项式
在有理数域上不可约。
4．设是矩阵，且(是级单位矩阵)，，证明不是可逆矩阵。
5．设是一个维欧氏空间，是中一个固定的向量，证明
(1)是的一个线性子空间；
(2)dim。
6．设为级实对称矩阵，，的秩等于。
(1)证明存在正交矩阵，使
其中是级单位矩阵；
(2)计算。
7．设为两个矩阵，的个特征值两两互异，若的特征向量恒为的特征向量，证明。
8．证明数域上的维线性空间的任一子空间都是某一线性变换的核。
9．设是数域上的维线性空间，是的线性变换，是的两个非平凡子空间，且，试证明是可逆线性变换的充要条件是。
2005年
1．计算行列式
2．已知矩阵
，
矩阵满足，求。
3．当为何值时，线性方程组
有唯一解，无解，有无穷多组解？在有无穷多组解时求其全部解。
4．设有个维向量，其分量满足
证明这个向量线性无关。
5．设是维线性空间的两个子空间，证明
(1)若均是的两个非平凡子空间，则存在，使同时成立。
(2)若，则或。
6．设
证明，若，则。
7．设，，且与不全为零，证明是，的一个最大公因式的充分必要条件是。
8．设都是阶实对称矩阵，证明
(1)若都是正定矩阵且，则是正定矩阵；
(2)如果与均为半正定矩阵，则。
9．设是维线性空间的两个子空间，且其维数之和为，证明存在的线性变换，使Ker，。
2006年
1.设，证明当且仅当。
2.设为4阶方阵且，，求。
3.设为阶方阵，是维列向量且，，，，试证明线性无关。
4.设为阶方阵，证明秩()秩()。
5.求齐次线性方程组
的解空间的一组标准正交基。
6.若，则称是的一个左逆，证明
(1)有左逆的充要条件是的列向量线性无关；
(2)的左逆唯一当且仅当可逆。
7.设为阶方阵，且存在可逆阵使，证明
(1)有相同的特征值；
(2)相同的特征值的特征子空间的维数相等。
8.设为维线性空间，是上的线性变换，证明是数乘变换充要条件是中每个一维子空间都是子空间。
9.设为实満秩方阵，求证
(1)正定；
(2)存在正交阵使，其中。
10.设为阶方阵，则存在与对角矩阵相似的矩阵与幂零矩阵使且。
广西师范大学
2003年
1.计算题
1)求阶行列式的值
2)令表示数域上三元列空间，取，设是的一个线性变换，对任意，有，求Ker，Im及它们的维数。
3)设矩阵，又，有一个特征值，且属于的一个特征向量为，求的值。
2.下列命题是否正确？肯定的给予证明，否定的给出反例。
1)设是三个矩阵，若，且，则；
2)若阶行列式，则中一定有一行是其余各行的线性组合；
3)若欧氏空间中的向量构成一个正交组，则一定线性无关；
4)用正交变换方法将一个实二次型化为标准型，此标准型是唯一的。
3.设是有理数域上的多项式，已知不可约且的一个根(在复数域内的根)也是的根，证明的所有根都是的根。
4.设在实平面上有三条不同的直线
，，
证明它们相交于一点的充要条件是。
5．设是向量空间的线性变换，且，但不是恒等变换。令
，
证明都是的子空间，且。
6．证明每个循环群都同构于整数加群的一个商群。
7．假定，令，证明。
8．证明整数环的一个理想是最大理想当且仅当是由一个素数生成的。
9．设和是环的两个理想，且，令，证明是的理想且。
2004年
1.填空题
1)若整除，则，；
2)已知及(为单位矩阵)，则；
3)设是线性方程组的3个解向量，，秩，又，，
则的通解为。
4)若向量组中的每个向量都可以由它的一个部分向量组唯一地线性表示，那么向量组的秩是。
2.计算题
1)计算阶行列式的值
2)设，，，其中，求与的基和维数。
3)已知实二次型，求出正交变换，化二次型为标准形，进而写出此二次型的典范形。
3.下列命题是否正确？肯定的给予证明，否定的给出反例。
1)是数域，如果在中没有根，则在中是不可约多项式。
2)是两个矩阵，如果齐次线性方程组的解都是齐次线性方程组的解，则秩秩。
3)如果向量组的每个向量都可以由向量组线性表示，当时，一定线性相关。
4)是一个欧氏空间，如果是的一个线性变换，且保持内积不变，即对于任意，有，则一定是正交变换。
4.证明题
1)证明多项式和互素的充分必要条件是对任意的正整数，和都互素。
2)是数域上的维向量空间，是的线性变换。
(1)取的一个基，在这个基下的矩阵为，定义，证明的值与基的选择无关；
(2)。
3)设都是正定矩阵，证明
(1)方程的根都大于零；
(2)方程的根都等于1。
2005年
1.填空题
1)设，在中的所有不可约因式是；
2)已知实3阶方阵满足(表示元素的代数余子式)，且，则det；
3)设线性无关，则向量组的秩等于；
4)设是向量空间的一个线性变换，如果在的一组基下的矩阵是，写出的所有不变子空间。
2.计算题
1)计算阶行列式的值
其中。
2)试求作一个齐次线性方程组，使它的解空间由下列4个向量生成：
，
，
其中，表示的转置。
3)已知二次型，通过正交变换化成标准型，求出参数及所用的正交变换矩阵。
3.判断下列命题的正确性，并请说明理由或举出反例。
1)设，则满足等式的和只有一对，其中表示与的首项系数为1的最大公因式。
2)设有个未知量个方程的线性方程组
有解，则行列式
反之也成立。
3)都是阶实对称矩阵，且有相同的特征多项式，则与相似。
4)设实二次型的秩为，则一定是正定的。
4.证明题
1)设是整系数多项式，(是整数)，证明不存在整数，使得。
2)设是一个阶方阵，则的充分必要条件是秩秩(其中为阶单位阵)。
3)设，是维欧氏空间中的两组向量，证明存在正交变换，使得的充分必要条件是，其中表示向量与向量的内积。
广州大学
2003年
1．令是数域上向量空间的一个线性变换，如果分别是属于的互不相同的特征根的特征向量，那么线性无关。
2．设，其中为互异的整数，求证在中不可约。
3．数域上维向量空间的一个线性变换满足(单位变换)，证明，这里和分别是属于特征根的特征子空间。
4．已知实矩阵满足条件
(1)其中为的代数余子式；
(2)；
试求行列式。
5．设为的个线性无关的解向量，秩，求对应的齐次线性方程组的一个基础解系。
6．取怎样的数值时，线性方程组
有唯一解，没有解，有无穷多解？
7．设，求正交矩阵，使为对角矩阵。
8．设元实二次型，为实对称矩阵，，证明在条件下的最大(小)值恰为的最大(小)的特征值。
2004年
1．设，求及使。
2．计算行列式
3．为何值时，实数域上的线性方程组
有唯一解，无穷多解，无解？
4．求齐次线性方程组
的基础解系，并写出解空间。
5．判断下列矩阵
的可逆性，如可逆，用初等变换法求其逆矩阵。
6．设，，，，，，求与的交的维数及一组基。
7．线性空间的线性变换在基下的矩阵为
求的特征值及特征向量。
8．设是维线性空间的一个线性变换，，证明的特征值只能为。
9．设是正交矩阵且，证明是的一个特征值。
10．设是一个阶可逆实矩阵，证明存在一个正定对称矩阵和一个正交矩阵，使得。
2005年
1．适合什么条件时，有
(1)；
(2)。
2．计算行列式
(1)；
(2)，其中。
3．假设向量可以由向量组线性表出，证明表示法是唯一的充分必要条件是线性无关。
4．讨论取何值时，下列方程组无解、有唯一解，有无穷多解，有解时求出其解。
5．设级方阵满足条件，为单位矩阵。
(1)证明为可逆矩阵；
(2)证明；
(3)已知，求。
6．设，求3级可逆阵，4级可逆阵，使
7．设是维线性空间的一组基，是以矩阵，，证明的维数等于的秩。
8．
()
()
9．
10．
哈尔滨工业大学
2009年
1.设是一个数域，，。证明若,则。
2．在中，线性变换对于基
的象为
求在上的矩阵。
3．设矩阵。且与相似。
求；
求一个可逆阵，使。
4．称矩阵为幂零矩阵，如果存在正整数使得。试证
若为阶复幂零矩阵，则；
若为阶复幂零矩阵，则对任意非零常数，都可逆。
5．设向量组线性无关，并且可由向量组线性表出。那么，并且，以适当地排列组中向量的次序，使得组替换组地前个向量后所得到地向量组，与组等价。
6．设其中均为阶矩阵，且是可逆对称矩阵，。证明存在可逆矩阵，使为分块对角阵。
7．设是维欧氏空间的子空间，且的维数小于的维数。证明中必有一非零向量正交于中的所有向量。
8．令表示数域上一切阶方阵，所组成线性空间，设，证明
都是的线性子空间；
。
9．设和都是阶正定方阵，则方程的根都是正的，并且当且仅当时，所有的根都等于1。
11．设，试证。
华南理工大学
2005年
1．证明，如果，那么
2．问取何值时，方程组有唯一解、无限多解、无解？并在有解时给出解的结构。
3．判断下面的矩阵是否可对角化
4．证明秩为的矩阵可表示成个秩为1的矩阵之和。
5．设为阶实对称矩阵，分别为其最大与最小特征根，证明对于任意的，这里是的转置矩阵。
6．设为正交矩阵，的特征根均为实数，证明为对称矩阵。
7．设为实对称矩阵，证明的特征根全部相同的充要条件是存在正交矩阵，使得。
8．设是一实矩阵，的转置矩阵，证明
(1)齐次线性方程组与同解；
(2)秩秩；
(3)方程组(其中是任一维列向量)一定有解。
9．设为欧氏空间中的一个单位向量，定义
其中表示与的内积，证明
(1)是正交变换，这样的正交变换称为镜面反射；
(2)对任意的，若均为单位向量，则存在镜面反射，使得，并求这个镜面反射的特征值及所对应的特征子空间。
10．设是一个阶矩阵，证明与相似。
2006年
1．设是数域上的多项式，证明当且仅当对于任意的大于1的自然数，。
2．设是一个阶实矩阵，证明是正交矩阵，当且仅当是反对称矩阵。
3．求下面的矩阵的列空间在中的正交补的一个标准正交基
4．设为数域上的互不相同的数而为数域上的任意的数。证明在上存在唯一的次多项式使得。
5．设为阶复矩阵，证明为对称矩阵的充要条件是存在阶复矩阵，使得，这里表示的转置矩阵。
6．设为正定矩阵，则存在正定矩阵使得。由此证明每一个可逆实矩阵都可以表示为一个正交矩阵与一个对称矩阵的乘积。
7．设是欧氏空间而是的有限维子空间，证明在中一定有正交补。
8．设表示数域上的阶矩阵的向量空间，对于，定义(的转置矩阵)。
(1)证明是一个线性变换；
(2)求的全部特征子空间；
(3)证明可以对角化。
9．设是数域上的互素的多项式，是上的阶矩阵，证明齐次线性方程组的解空间的解空间与的解空间的直和(其中表示维列向量)。
10．设。(1)将在实数域上分解因式；(2)证明在有理数域上不可约。由此证明不是有理数。
2009年
1．设是中的非零多项式，且，这里，。证明不存在，且，使得
2．设表示数域上所有次数的多项式及零多项式构成的线性空间，令多项式，其中，且是数域中个互不相同的数。
(1)证明是的一组基；
(2)在(1)中，取为全体次单位根，求由基到基的过渡矩阵。
3．设阶方阵满足，且的秩。
(1)证明，这里的迹定义为的主对角线上的元素之和；
(2)求的值。
4．设是欧氏空间的一组标准正交基，设，，。
(1)求的一组标准正交基；
(2)求的一组标准正交基；
(3)求在中的内射影(即求，使)，并求到的距离。
5．设是数域上的维线性空间的线性变换，，证明
(1)；
(2)当与互素时，有
6．设为元实二次型，若矩阵的顺序主子式都不为零，证明可以经过非退化的线性替换化为下述标准型
这里，并且。
7．设数域分别为数域上的与矩阵，又是维列向量空间的子空间，证明
rr
8．设为定义在数域上的维线性空间上的一个双线性函数，证明可以表示为两个线性函数，之积的充要条件是的度量矩阵的秩。
华南师范大学
2002年
1．计算行列式
2．设是数域上的多项式，，。证明是的最大公因式当且仅当。
3．设是复数，并且是有理数域上的一个非零多项式的根，令。证明中存在唯一的首项系数为1的多项式，使得对于任意。
4．设是矩阵，是矩阵，证明存在矩阵满足的充要条件是秩秩。
5．设是数域上的线性空间，中一组向量生成的子空间是。证明
(1)是所有包含的子空间中的最小者；
(2)；
(3)若是中两组线性无关的向量，则是直和当且仅当线性无关。
6．设是实数域上阶对称矩阵，对于，定义。证明在此定义下构成欧氏空间的充分必要条件是为正定矩阵。
7．设实数域3维线性空间上的线性变换定义为，设分别为其特征值的特征子空间。
(1)求；
(2)能否对角化；
(3)证明可以对角化，求出的一个基，使在此基下的矩阵为对角形，并写出此对角形矩阵。
8．已知二次型通过正交替换化为标准形，求出参数和相应的正交矩阵。
2003年
1.证明行列式等式
其中，是在中的代数余子式。
2.设是数域上的多项式，是一正整数，证明
3.(1)设是矩阵，是矩阵，，证明线性方程组与同解的充要条件是秩秩。
(2)设是实数矩阵，证明秩秩秩。
4.设是实数域，为所有2阶实方阵构成的线性空间。对于固定的实数，定义上线性变换，
(1)求在基，，，下的矩阵；
(2)若，将线性变换对角化并给出变换的矩阵。
5.设实对称矩阵的特征值全大于，与同阶的实对称矩阵的特征值全大于。
证明(1)和都是正定矩阵；
(2)的特征值全大于。
2007年
1．回答问题
(1)设是数域上的多项式，在什么条件下，由可推出；
(2)下列变换那些保持矩阵的秩不变：初等变换，相似变换，转置变换，右乘变换，正交变换；
(3)写出阶方阵可逆的五个等价条件；
(4)在欧氏空间中，写出向量组正交化后得到的正交向量组；
(5)写出实二次型的规范形，并对此规范形写出符号差和秩。
2．设线性方程组
取何值时，方程组无解，有唯一解，有无穷多解；在有解时写出它的通解。
3．设阶方阵，
关于，讨论矩阵的秩。
4．设多项式，证明
(1)无有理数的根；
(2)在有理数域上不可约。
5．设是有限维向量空间上的线性变换，证明
(1)若是由生成的子空间，则；
(2)若且是可逆的，则。
6．设向量空间(是数域)的基线性变换关于基的矩阵是
又有基
(1)求的像关于基的坐标；
(2)求基到基的过渡矩阵。
7．设是有限维的欧氏空间，证明
(1)；
(2)对于的子空间，由可得；
(3)。
8．已知二次型的秩是2，求参数，并指出方程表示什么曲面。
湖南师范大学
2000年
1．填空题
1)，阶行列式
的值为。
2)在中，向量关于基的坐标是，其中，，。
3)已知，
都是的子空间，那么的维数是。
4)若在中，规定任意两个向量的内积为，则与的夹角是。
5)若实二次型是正定的，则的取值范围是。
2．简答题(肯定答案给出简要证明，否定答案举出反例)
1)设是对称矩阵，是反对称矩阵，那么和是否都是对称矩阵？
2)设都是实对称矩阵，且与的特征多项式相同，那么与是否一定相似？
3)设和都是数域上向量空间的子空间，如果的任意向量都至少属于与中的一个，是否有或？
4)若含有个未知量个方程的线性方程组
有解，是否必有
的值为0？反过来，是否也成立？
3．计算题
1)求的值，使有重根。
2)设
(i)求矩阵的特征根；
(ii)求属于各特征根的特征向量；
(iii)求一个可逆矩阵，使为对角形矩阵。
4．证明题
1)设都是向量空间的线性变换，且有，证明KerKer。
2)证明每一个阶实可逆矩阵，均可唯一地表示为
的形式，其中是一个正交矩阵，是一个上三角形矩阵且主对角线上的元素都是正数。
3)设是三维欧氏空间中的一组标准正交基，令，，，证明也是的一组标准正交基。
2001年
1．若，则。
2．在内分解多项式，并证明你的分解式中，所有的因式都是不可约因式。
3．计算行列式
4．设为矩阵的行向量组，为矩阵的行向量组，证明如果齐次线性方程组的每个解都是的解，那么可经线性表出。
5．若方阵可逆，证明可逆，并求出。
6．设阶方阵及，且，又设，证明
(i)(单位矩阵)；
(ii)；
(iii)计算并化简。
7．设是一个阶正定矩阵，证明和都是正定矩阵，其中对角矩阵
8．设是维线性空间的一个非平凡子空间，证明
(1)存在的一个子空间，使
(2)满足上式的子空间不是唯一的。
9．设是复数域上的维向量空间，是的线性变换，且，证明的每个特征子空间都是的不变子空间。
10．设是一个欧氏空间，，定义变换：
，
证明(i)是的一个正交变换；
(ii)是的单位变换。
2002年
1．设多项式互素，证明
(i)；
(ii)。
2．为整系数多项式，且，证明。
3．计算阶行列式
4．若矩阵满足秩秩，证明线性方程组与同解。
5．对于阶方阵，若可逆，是否与的秩一定相等？若是，请证明；否则，举出反例。
6．证明二次型
是半正定的，并把化为标准形。
7．设3阶方阵满足，是线性空间的一个基，如果，证明的维数。
8．设的一个线性变换适合，证明
(i)的核；
(ii)的值域中任一非零向量是特征值2的特征向量；
(iii)。
9．若为实对称矩阵，则的特征值一定是实数。
10．对于阶方阵，证明
(i)若，则；
(ii)称矩阵
为一个Jordan块，证明与相似；
(iii)若
其中为Jordan块，证明。
华中科技大学
2004年
1．设是阶方阵，证明可逆当且仅当存在常数项不为0的多项式，使得。
2．设是一个3阶方阵，且，证明与中有一个秩为1，另一个秩为2，其中为3阶单位阵。
3．设是一个实矩阵，是一个实矩阵，证明矩阵方程一定有解。其中为的转置矩阵。
4．设为阶方阵，求的最小多项式。
5．设为正定矩阵，证明可以表成个半正定矩阵之和。
6．设，证明可逆当且仅当存在矩阵，使得正定。
7．设为中线性变换，且，证明KerKer当且仅当其中Ker为的核。
8．设为实对称矩阵，为实反对称矩阵，且可逆，证明为正交矩阵。
9．设为中线性变换，且
证明，其中为单位变换。
10．设是阶方阵，
证明为幂等矩阵当且仅当。
华中师范大学
2006年
1．计算阶行列式
其中。
2．设，且线性无关，，证明线性相关的充要条件是线性方程组
的解都是方程的解。
3．是实数域，是线性方程组
的所有构成的集合。
(1)证明是(列向量组成的空间)的子空间；
(2)求的基与维数；
(3)求的正交补的基与维数(的内积)
4．设是数域，，，规定。
(1)证明是的线性变换；
(2)求在基下的矩阵；
(3)求在核的基；
(4)求的所有特征值和特征向量。
5．设是数域，，，且，证明
(1)对于大于1的自然数,有；
(2)设是的特征多项式，是的微商，则。
6．实数域，，且是对称矩阵。
(1)证明的伴随矩阵也是实对称矩阵；
(2)试问与合同的充分必要条件是什么？并证明你的结论。
7．设是数域上的维线性空间，是的基，。
(1)证明是的直和(即)；
(2)设是的线性变换,是的线性变换,求的线性变换,使得与为不变子空间，并且在与上的限制分别是
。
昆明理工大学
2008年
1．求。
2．求多项式函数被除所得余式。
3．已知，且，求。
4.解方程组。
5．证明一个向量组的任何一个线性无关组都可以扩充成一个极大线性无关组。
6．求。
7．设，，求。
8．设是实对称矩阵，证明：半正定的充要条件是对于任意的实数，正定。
9．设，且可以对角化，证明。
10．设是维欧氏空间V中一组向量，
证明是V中一组基的充要条件是。
兰州大学
2002年
1．已知空间四个平面
1：
2:
3:
4:
(1)讨论这四个平面组成四面体的条件；
(2)求出这四个平面组成的四面体的体积。
2．设是整系数多项式，至少有三个互不相等的整数根，证明没有整数根。
3．任意一个实数域上的二次型，经过一适当的线性替换可以变成规范形，证明规范形是唯一的。
4．设是阶实矩阵，证明：是对合矩阵(即)的充分必要条件是：。
5．设是属于上的线性空间上的线性变换，是使的多项式，并且与互素，令,，证明：（1）与都是—子空间；2）。
6．设V是一个欧氏空间，是V上的一个线性变换，证明下列条件等价
(1)是V上的正交变换；
(2)对任意,V，；
(3)对任意,V，。
南开大学
2003年
1．判断下列论断是否正确。若正确，给出简要证明；若不正确，请举反例说明。
(1)如果向量生成子空间，则的维数为。
(2)设为方阵，且，则。
(3)设是数域上维线性空间，是的子空间，且是线性变换，如，则一定是双射。
(4)设是复数域上维线性空间，是线性变换，则中存在唯一的基(基向量的次序除外)使在这一组基下的矩阵为若当标准形。
2．计算下列行列式的值
其中。
3．设是数域上的3维线性空间，线性变换在的基下的矩阵为
(1)求线性变换在的基下的矩阵；
(2)求线性变换的特征值和特征向量；
(3)线性变换可否在的某组基下矩阵为对角形，为什么？
4．设是数域上的3维线性空间，线性变换在的基下的矩阵为
问可否在的某组基下矩阵为
为什么？
5．设是具有通常内积的欧氏空间，是的子空间。
(1)如是下列方程组
的解空间，求在中的正交补
(2)求和的标准正交基。
6．设，已知在中的中心化子
是的子空间，证明当为实对称矩阵时，的维数，且等号成立当且仅当有个不同的特征值。
7．设是实数域上的维线性空间，是的子空间，且。
(1)如分别是和上的内积，证明存在上的内积使得；
(2)满足(1)的内积是否唯一，为什么？
8．设为数域上的可逆矩阵，，，。令，试证明
2005年
1．计算下列行列式
。
2．设齐次线性方程组
的一般解以为自由未知量。
(1)求a,b,c,d,e满足的条件；
(2)求齐次线性方程组的基础解系。
3．（1）已知且，求X=?
(2)已知，且矩阵方程有解，求a,b,X。
4．设和均为实数域上n元二次型，且存在实数域上n阶方阵C和D使得，证明：和具有相同的规范形。
5．设(为数域.已知上两组向量组
试问是否存在上的线形变换(使
。
6．设V为数域(上n维线形空间，(为V上线形变换.已知试问是否存在V的一组基使在这组基下的矩阵为对角矩阵？
7．设A为n阶正定实对称矩阵，为n维欧式空间（标准度量）中的n+1个向量.若已知
证明。
8．设V为数域(上n维线形空间（n1）.证明：必存在V中一个无穷的向量序列使得中任何n个向量都是V的一组基。
2006年
(1)设
又为中的元素在中的代数余子式，试求
(2)试证明行列式
的值能够被8整除。
2．(1)设
，
试求，。
(2)试将矩阵写成若干个形如与的矩阵的乘积。
3．设线性方程组
的解空间为，试求在(标准度量)中的正交补的一组标准正交基。
4．设为数域上的维线性空间上的线性变换，的特征多项式为
试证明，其中表示线性变换的迹。
5．设是一个非退化的二次型，其中为对称矩阵，证明可用正交变换化为规范形当且仅当是正交矩阵。
6．设是的一个非空子集，假定满足下列条件：
(1)中至少有一个非零矩阵；
(2)；
(3)。
证明。
7．设为阶方阵，将作分块
其中分别为阶和阶方阵。已知为可逆矩阵，又为一个列矩阵，作线性方程组
其中，为未知数。证明
(1)若可逆，则线性方程组有唯一解；
(2)设，，。若，则线性方程组有无穷多个解；若，则线性方程组无解。
汕头大学
1998年
1．能有重根吗？有则求出，并求相应的值，无则证明。
2．已知个向量线性相关，但其中任意个都线性无关，证明：
(1)如果有等式，则这些或者全为零，或者全不为零；
(2)如果存在两个等式
，
其中，则。
3．设是矩阵，是矩阵。试给出有解的充要条件，并证明之。又若秩，及是上述方程的解，试写出其一般解的表达式。
4．线性变换在基下的矩阵，作基变换使其矩阵成为Jordan标准形。
5．(1)证明正定且正交矩阵必是单位矩阵。
(2)欧氏空间中，以某组基的度量矩阵作为过渡矩阵而作基变换。若有一线性变换，基变换前后，其矩阵都恰与度量矩阵相等，证明是正交变换。
1999年
1．设行向量组，能被行向量组线性表示为
其中，且组线性无关，证明组线性无关的充分必要条件是秩。
2．证明对任一阶实矩阵，必存在可逆矩阵使，其中。
3．解方程组
。
4．是维线性空间，为上全体线性变换对其加法与数量乘法所成的线性空间，中线性无关，以的生成子空间为不变子空间的线性变换之集是否为的线性子空间？为什么？如是，求其维数；如否，能否缩小或扩大而成的子空间？
5．是数域上的维线性空间上的线性变换，，是的特征向量，线性无关，。证明
(1)若所属特征值是，的矩阵必非对角形；
(2)若的矩阵可成对角形，必可表示为两个属于不同特征值的特征向量之和。
6．三维向量空间依通常内积而成的欧氏空间以为基时，的坐标分别为，的坐标分别为。
(1)从中找出可作为正交变换下的象的向量(指明原象)；
(2)按(1)所找到的原象与象的对应，正交变换把各原象都变为各自的象，又是对称变换(即，此(,)表示内积)，求(求一解即可，可用矩阵表示)。
2000年
1．计算行列式
2．试证明两个本原多项式的乘积还是本原多项式。
3．矩阵与是同一个线性变换在两组基下的矩阵，求。
4．欧氏空间的线性变换对中任意元素都有
其中为非零常数。证明在标准正交基下，线性变换的矩阵可逆，且。
5．讨论取何值时，线性方程组
有唯一解？无穷多个解？无解？有解时并求解。
6．设为任意两个矩阵，证明。
7．是维线性空间的一个线性变换。已知可分解成子空间的直和，的维数是2，且它不能分解为1维子空间之和，证明线性变换的矩阵必非对角阵。
8．设为一个级实对称矩阵，若的前个顺序主子式都大于零，而，试证明二次型是半正定的，其中。
2002年
1．设为数域上的多项式，证明当且仅当。
2．计算阶行列式
3．三元二次型是否为正定二次型？为什么？
4．在复数域内求矩阵
的若当标准型。
5．设是维向量()，已知向量组线性无关且能被向量组线性表出，又向量组可以被向量组线性表出，试问向量组的秩是多少？为什么？
6．用表示数域上的次数小于的多项式的全体添上零多项式所组成的线性空间，设的全体线性变换所组成的线性空间为，为的微商变换(即，对任意的)，且设中与可交换的线性变换的集合为，即。
(1)证明构成的子空间；
(2)求的维数及其一组基。
7．设为维欧氏空间的线性子空间，且，证明存在非零向量正交于中的一切向量。
8．设是维线性空间的线性变换，用
分别表示的值域和核，是的一组基，且是的原象。令为由生成的子空间，即，证明。
9．设均为实对称矩阵，且为正定矩阵，证明存在一个实可逆矩阵使得
与
同时为对角形。
2003年
1．设，且。
(1)证明若，则对任意的，有
(2)问若存在，满足，是否一定有？为什么？
(3)问对任意的，满足，是否一定有？为什么？
2．计算阶行列式
3．设为矩阵，为阶单位矩阵，证明
(1)若，则秩秩；
(2)若，则秩秩。
4．设是一个元实二次型，当且仅当时，这里。求证
(1)秩；
(2)或者为正定二次型或者为负定二次型。
5．在复数域内求矩阵
的初等因子、不变因子和若当标准型。
6．设是一组维向量，且是线性空间的一组基，为的线性变换，满足。
(1)求在基下的矩阵；
(2)令，求的特征值和特征向量；
(3)求的一组基，使得在这一组基下的矩阵为对角形。
7．设为实对称矩阵，且。证明存在一个正交矩阵，使得
8．设是维线性空间的线性变换，用
分别表示的值域和核。已知维维(即与的维数相等)，这里表示线性变换的值域，求证
2004年
1．计算阶行列式的值
2．(1)设是秩为2的3阶方阵，证明可以表示为，其中和分别为和矩阵；
(2)设分别为和矩阵，，证明各自主对角线上的元素之和相等。
3．设为方阵，请根据方程组
(I)和(II)
的解的情况((a),(b),(c)三种情况)，分别确定如下方程组[1]和[2]的解的情况(有解，无解或不能确定)：
[1](为在右边加列所得矩阵)
[2](为在右边加列所得矩阵)
(a),(I)，(II)都有解；(b),(I)无解，(II)有解；(c)，(I)，(II)都无解。
4．设为矩阵，，如有非零解，取其一个，令(表示的转置)，如有非零解，再取其一个，令，如此得，直到只有零解为止。是否存在，使得，为无穷序列？为什么？若序列有限，可否确定的上界？(若能确定，则给出上界)。
5．设多项式满足，且的次数不小于1，试证明有重因式。(表示和的首项系数为1的最大公因式)。
6．在次数不超过的复系数多项式线性空间中，定义线性变换
其中是的次项系数(若的次数小于，则0)。
(1)写出线性变换在基下的矩阵；
(2)是不是可逆变换？如是，求其逆变换的矩阵(基同上)；如果不是，请说明理由；
(3)是否存在使的矩阵为对角型的基？为什么？
7．设是阶实对称矩阵，，都是维列向量，。证明存在，使得，且为的特征值(是的特征值)。
2005年
1．考虑方程组
讨论为何值时，方程组（1）有唯一解，并求解；（2）无解；（3）有无穷多解，求其通解。
2．设阶矩阵的秩为，证明存在秩为的阶矩阵及使得及。
3．求下列矩阵的行列式
（即为三对角矩阵，空格处为零元素）。
4．设为正定阵，为反对称阵，证明。
5．设为一维线性空间()，又设是线性变换，证明下面的性质是等价的：
(1)；
(2)是偶数,且的秩为。
6．8．(汕头大学，2005年)设为域上的维线性空间。称线性变换为幂零变换，如果存在一个正整数使得，称满足的最小整数为的幂零指数。证明幂零变换的幂零指数为当且仅当存在的一组基使得
其中。
7．设，为循环矩阵(当时,)。
(1)用阶单位矩阵及的幂表示循环矩阵；
(2)证明任意两个循环阵的乘积是循环阵；
(3)证明相似与对角阵。
8．(1)设均为实系数多项式，证明多项式可以表示成两个实系数多项式的平方和。
(2)设是实系数多项式,且对任意实数均有,证明存在实系数多项式,使得。
9．设是一个复数，是数域，为上的所有多项式的集。证明是数域当且仅当存在，满足且。
三峡大学
2006年
1．设,若,证明对任意,。
2．设,,试问(1)取何值时,与等价?
(2)取何值时,与合同?
(3)取何值时,与相似?
3．设为3阶矩阵,,求。
4．设矩阵,其中线性无关,,向量,求方程的通解。
5．设矩阵满足计算。
6．证明函数集合对于通常的函数加法及数乘函数构成一个线性空间,并求它的维数。
7．,,,证明。
8．设,试问(1)求的特征值及特征向量；
(2)求正交矩阵及对角矩阵使。
9．,线性方程组有解.证明有唯一解的充分必要条件是为正定矩阵。
10．为正定矩阵,是实对称矩阵.
(1)证明存在可逆矩阵使为对角矩阵.
(2)证明的特征值都是实数。
陕西师范大学
2005年
1．计算行列式。
2．证明是不可约多项式的充要条件为对于任意的两个多项式，由一定可推出或。
3．设是线性方程组的一个解，是它的导出方程组的一个基础解系，令
证明线性方程组的任意一个解都可以表成
其中。
4．设为级方阵，证明
秩+秩秩min{秩,秩}。
5．
深圳大学
2004年
1．设5阶方阵，其中均为5维列向量，并且，求
2．计算阶行列式的值：
3．设为五阶方阵，并且，计算(其中为的伴随矩阵)
(1)(2)(3)(4)
4．设和是三维线性空间的两组基，上的线性变换在基下的矩阵为，而到的过渡矩阵为。
(1)求的全部特征值和分属于不同特征值的极大线性无关组的特征向量；
(2)求一可逆矩阵使得为对角形；
(3)设，计算，其中为任意正整数；
(4)求一正交矩阵使得为对角线；
(5)求在基下的矩阵。
5．求由向量生成的子空间与由向量生成的子空间的交与和的维数及一组基
6．已知元二次型
用非退化线性替换将二次型化为标准型，并确定它的秩和符号差。
7．设齐次线性方程组
的系数行列式，而中某一元素的代数余子式，证明这个方程组的解都可以写成的形式，此处是任意数。
8．设矩阵满足，试证：
(1)秩秩；
(2)的特征值只能为和1。
9．设是维欧氏空间的一个变换，试证如果保持内积不变，即对于任意的，都有，那么一定是线性的，因而它是正交变换。
10．设均为阶方阵，为阶单位矩阵，并且可逆，证明也可逆
11．设为一正整数，证明如果一级()矩阵有一阶子式不为零,并且的含此阶子式的任一阶子式均为零，则的秩为。
12．设是一个级实矩阵，证明齐次线性方程组的解空间的解空间相同。
西安电子科技大学
2004年
1．判断题
(1)若都是阶正交矩阵，则也是正交矩阵。()
(2)设都是阶矩阵，且与等价，若，则。()
(3)设为阶矩阵，则必与它的转置矩阵相似。()
(4)若阶矩阵可逆，则。()
(5)设均为阶矩阵，且可逆，则与相似。()
(6)设都是方阵的与特征值对应的特征向量，则的任意一个线性组合也是的与对应的特征向量。()
(7)若向量组线性无关，则向量组也线性无关。()
(8)若阶实对称矩阵有相同的特征值，则与相似。()
(9)设为阶矩阵，则。()
(10)向量组与向量组等价的充要条件是秩秩。()
2．设是元素全为1的阶矩阵，为阶单位矩阵，证明矩阵可逆，且。
3．计算阶行列式
4．三元实二次型
经正交变换化为标准型，求参数的值及所作的正交变换矩阵。
5．设为数域上的两个阶矩阵，已知
(1)有个互异的特征值；
(2)的特征向量也是B的特征向量；
求证。
6．设向量组线性相关，试证必存在个不全为零的数，使得对任意的向量，向量组
恒线性相关。
7．全体有理数矩阵构成有理数域上的线性空间，取一固定的有理数矩阵，在线性空间中定义一个变换为
(1)证明是一个线性变换；
(2)在中取一组基，写出在这组基下的矩阵；
(3)证明一定以零作为它的一个特征值；
(4)讨论特征值零的重数与的依赖关系。
8．证明阶矩阵为幂等矩阵的充要条件为。
西北工业大学
1999年（一）
1．已知，求矩阵的全部特征值。
2．设是三阶实对称矩阵，且rank，求det，其中rank和det分别表示矩阵的秩和行列式。
3．设，且。讨论与取何值时，矩阵方程有解？在有解时求其解。
4．已知矩阵，
(1)讨论与取何值时,可以对角化?
(2)当时，求的Jordan标准形几相似变换矩阵，使得。
5．设是实矩阵，是任意的实维列向量，证明
(1)rankrank；
(2)线性方程组总有解。
6．设3维线性空间的线性变换在基下的矩阵为
(1)求在基下的矩阵；
(2)求的核及其维数。
7．已知二次型
，
用正交变换化为标准形，求参数及所用的正交变换。
8．给定6维线性空间的基及线性变换，且
(1)求的全部特征根与特征向量(利用已知基表示)；
(2)判断是否存在另一组基，使在该基下的矩阵为对角矩阵？若存在，把它构造出来(利用已知基表示)。
9．给定维实线性空间的基，设在该基下的坐标分别为，定义实数
证明
(1)实数构成的内积；
(2)在该内积意义下是的标准正交基。
10．设为阶对称正定矩阵，为阶实对称矩阵，证明
(1)存在阶对称正定矩阵，使得；
(2)的特征值为实数。
11．设与都是阶实对称矩阵，且半正定，证明
trtr
其中tr表示矩阵的迹，是矩阵的最小特征值。
1999年（二）
1．填空题
(1)级排列的逆序数。
(2)如果阶行列式中零元素的个数大于个，那么此行列式的值为。
(3)若向量组线性无关，则向量组是线性。
(4)齐次线性方程组，若r，而，则基础解系中含
个解向量。
2．选择题
(1)若向量组线性相关，那么向量组内可由向量组其余向量线性表示。
A．至少有一个向量B．没有一个向量
C．至多有一个向量D．任何一个向量
(2)若行列式，则。
A．B．C．2D．3
(3)设均为阶可逆矩阵，则。
A．B．C．D．
(4)向量组的最大无关组为。
A．B．C．D．
3．解矩阵方程，求矩阵。
4．非齐次线性方程组
当取何值时有解？并求出它的全部解。
5．设，若对任何维列向量，都有，证明。
6．已知线性无关，而线性相关，证明能由线性表示，且表示式是唯一的。
7．证明向量组线性无关的充分必要条件是零向量可由它们唯一地线性表示。
2000年（一）
1．计算阶行列式。
2．设，，讨论与取何值时，线性方程组有唯一解、无解、无穷多解？在有无穷多解时，求通解。
3．已知矩阵，求。
4．已知线性空间的线性变换
求的一组基，使在这组基下的矩阵为对角矩阵。
5．已知矩阵，
(1)取何值时，二次型正定；
(2)时，用正交变换化二次型为标准形。
6．设有的两个子空间
其中，试求与的基与维数。
7．设维欧氏空间中的向量组与向量组满足
证明：若条件
(1)是的标准正交基；
(2)是的标准正交基；
(3)是正交矩阵；
中的任意两个成立，则另一个也成立。
8．设是阶非零矩阵，且任一维非零列向量都是的特征向量，证明。
9．设为阶实对称矩阵，求证当可逆时，存在阶方阵，使得为正定矩阵。
10．证明阶方阵的充要条件是的阶行列式因子是次多项式。
2000年（二）
1．填空题
(1)设是4阶方阵，且，则。
(2)在空间中，向量与任意向量的内积都等于零的充要条件是。
(3)已知，则。
(4)已知三阶矩阵的特征值为，则矩阵的特征值为。
(5)设是阶矩阵，是阶可逆矩阵，则rr。
(6)设矩阵，其中可逆，则。
2．选择题
(1)由三维列向量构成的行列式，则。
A．5B．10C．15D．20
(2)设矩阵为阶方阵，，则。
A．中必有两行(列)的元素对应成比例。
B．中至少有一行(列)的元素全为零。
C．中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合。
D．中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合。
(3)向量组的最大无关组为。
A．B．C．D．
(4)二次型,当时，它是正定二次型
A．B．C．D．
(5)设是阶矩阵，是阶正交阵，且，则结论不成立。
A．与相似B．与等价
C．与有相同的特征值D．与有相同的特征向量
3．已知矩阵与相似。
(1)求与；
(2)求一个满足的可逆矩阵。
4．非齐次线性方程组
讨论取何值时，方程组无解、有解。并求出它的全部解。
5．若方阵，证明的特征值只能是0或1。
2004年
1．证明实反对称矩阵的特征值的实部为零。
2．设和都是阶正交矩阵，且，试证不可逆。
3．证明线性方程组
有解的充要条件为对任意个数，只要，便有。
4．设是阶复方阵，证明若，则可对角化，这里为阶单位矩阵。
5．设、分别是数域上的矩阵，令
证明是向量空间的子空间，且rankrank。
6．设为线性空间上的线性变换，为普通的多项式。
(1)证明kerkerker，这里表示的首项系数为1的最大公因式；
(2)证明：若，则。
7．给定不全为零的多项式，证明存在六个多项式，，使
8．写出你所知道的齐次线性方程组的基础解系的等价条件，并对它们的正确性予以证明。
9．定义了向量空间内积的实线性空间即为欧氏空间，请说明引入向量内积以及构造标准正交基的目的意义，并简述标准正交基在理论研究与实际应用中的作用。
厦门大学
2004年
1．填空题
(1)设是阶可逆矩阵，是阶可逆矩阵，。则(的转置矩阵)=；=；(的伴随矩阵)=。
(2)设3阶方阵的特征值是，则；tr=；的特征值是；在相似关系下的标准型是。
(3)的Jordan标准型是。
(4)设，则存在可逆阵，，使得。
(5)由4维列向量构成4阶方阵且，则。
(6)存在齐次线性方程组，以为其基础解系。
2．设是有理数域上的多项式，且在有理数域上不可约。若存在复数，使得，则。
3．写出阶实对称矩阵为正定矩阵的5个充分必要条件（可以包括定义
4．(1)设是阶实矩阵，则tr的充分必要条件是；
(2)设是阶实反对称矩阵，若存在阶矩阵使得，则。5．设是数域所有3维列向量构成的线性空间，
定义的映射。
(1)证明是线性变换；
(2)求的核Ker和值域Im的维数；
(3)求的特征值和对应的特征向量。
6．设都是阶方阵，是阶单位阵，求证的充分必要条件是秩+秩。
7．设是数域上的有限维线性空间，是线性映射。求证存在，使得的分必要条件是KerKer。
西南大学
2006年
1．指出下列命题是否正确，并简述理由。
(1)整系数多项式整除。
(2)若是素数，则是不可约整系数多项式。
(3)存在矩阵使，其中是单位矩阵。
(4)两个对称矩阵之积仍是对称矩阵。
(5)设是一个包含3个元素的有限域，是上的2维向量空间，则恰含4个1维子空间。
2．计算
(1)，求行列式的值
(2)矩阵，求的逆矩阵。
3．设都是阶方阵，用表示矩阵的秩，证明
4．设是一个元素都是1的阶方阵，求它的特征多项式与最小多项式。
5．问为何值时，线性方程组
没有解、有唯一解、有无穷多解？
6．设是阶正定矩阵，证明它的行列式的主对角线元素之积，等式成立当且仅当是对角阵。
7．设是实欧氏空间的一组向量，证明这组向量线性无关当且仅当它们的Gram矩阵可逆，其中。
8．假定实方阵的特征值全为正，且主对角线元素全为1，证明的行列式。
中国科学院
1996年
1．在什么条件下，实系数线性代数方程组
有非平凡解？
2．求其平方等于零矩阵的所有实二阶矩阵。
3．求矩阵的逆，其中为阶单位阵，为阶单位阵，为行列的长方阵。
4．设不全为零，试将下面二次型化为标准型，并写出新未知量对于旧未知量的表达式：
5．判别下列向量集合是否为向量子空间，并说明理由：
(1)维向量空间中，坐标是整数的所有向量。
(2)平面上位于坐标轴和之一上的所有向量。
(3)中坐标满足方程的所有向量。
(4)中坐标满足方程的所有向量。
6．证明函数组线性无关，其中是互不相同的实数。
7．令为正规矩阵，即(是的共轭转致矩阵)，设是谱模：，，是的特征值，则有
8．设为任一非奇复矩阵，证明的特征值满足
1997年
1．设是互不相同的数，证明
组成维向量空间中的基向量组。
2．设是个变数(实的)的次数的实系数多项式全体。
(1)证明为线性空间；
(2)求的维数。
3．证明在平面上通过具有有理坐标的三点的圆周，其圆心也是有理坐标。
4．设是个实数，求二次齐式
为正定的条件。
5．设是对称正定矩阵，其最大及最小特征值分别为；并设的对角元素为，试证明
6．求下述矩阵的逆矩阵
其中，且。
2003年
1．已给如下三阶方阵
(1)求det；(2)求tr；(3)证明rank；(4)为使rank，求出和应满足的条件。
2．设是欧氏空间的一个变换，试证如果保持内积不变，即对于中任意两个向量都有
那么，它一定是线性的，而且是正交的。
3．设是2003阶实方阵，且，这里是自然数，问的秩rank最大是多少？
4．给定上线性空间的子空间，证明
dimdimdimdim
这里dim表示空间维数。
5．给了个不同的数，试求一个次的多项式，使，这里也是给定的值，。
6．给定上二维线性空间的线性变换，在一组基下的矩阵表示为，，求的不变子空间。
7．若为阶对称正定方阵，为维实向量，证明
这里表示的转置。
部分试题的答案参见
1．研究生入学考试试题研究组主编，研究生入学考试考点解析与真题详解---高等代数，电子工业出版社，2008年9月。
2．李志慧李永明编，高等代数中的典型问题与方法，科学出版社，2008年9月。
3．宁波主编，高等代数同步辅导及习题全解，中国矿业大学出版社，2008年3月。
4．刘三阳等编著，各类考研数学全真试题与解答，西安电子科技大学出版社，2001年10月。
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