强化训练11万有引力定律及其应用
——’17备考综合热身教辅系列
山东平原一中魏德田
本套强化训练搜集近年来各地高中物理高考真题、模拟题及其它极有备考价值的习题等筛选而成。其主要目的在于理解万有引力定律，能运用万有引力定律来分析天体的运动.了解人造地球卫星的有关知识，能进行有关天体质量的估算、轨道平行的计算等一些简单的计算。这些题的特点是把物理基础知识与航空航天技术中的最新成果联系起来，有利于提高学生的学习兴趣，有利于理论联系实际.
一、破解依据
㈠两个重要定律
⑴开普勒第三定律其中，仅与中心天体的性质有关
⑵万有引力定律。
㈡两种基本思想
⑴地面附近物体的万有引力即重力
⑵卫星的向心力即中心天体提供的万有引力
㈢中心天体的质量和密度
㈣匀速圆运动的人造卫星
⑴线速度、第一、二、三宇宙速度
；,
⑵角速度⑶周期（）；⑷加速度（特殊地）⑸黄金代换
注：以上各式中均有
㈤变轨原理及其应用：⑴匀速圆运动；⑵离心运动，半径增大；⑶近心运动，半径减小。
㈥同步卫星：
⑴线速度；
⑵角速度；
⑶周期；
⑷向心加速度；
⑸轨道半径；
⑹对地高度；
㈦万有引力与重力：⑴地面上的物体，引力为；向心力；重力。其中，为地面某点的纬度。⑵同纬度、高空中的物体，，不计自转，引力等于重力，且随高度增加而增大。
㈧功能关系：卫星轨道半径（或高度）增加，由于克服引力做功，因而动能减少；反之则反。不计发射过程由于大气阻力所致能量损失，系统的机械能守恒。
二、精选习题
㈠选择题（每小题5分，共50分）
⒈（17北京利用引力常量G和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是()
地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)
人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期
月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离
地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离
17新课标Ⅱ）如图-1，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为。若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经过M、Q到N的运动过程中
A．从P到M所用的时间等于
B．从Q到N阶段，机械能逐渐变大
C．从P到Q阶段，速率逐渐变小
D．从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功
⒊（17江苏）“天舟一号”货运飞船于2017年4月20日在文昌航天发射中心成功发射升空．与“天宫二号”空间实验室对接前，“天舟一号”在距地面约的圆轨道上飞行，则其()
角速度小于地球自转角速度
线速度小于第一宇宙速度
周期小于地球自转周期
向心加速度小于地面的重力加速度
I）利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯。目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的倍。假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为（）
A. B.C.D.
来源:学#科#网]
⒌（17海南）已知地球质量为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的4倍．若在月球和地球表面同样高度处，以相同的初速度水平抛出物体，抛出点与落地点间的水平距离分别为，则约为（）
A．9：4 B．6：1 C．3：2 D．1：1
17全国Ⅲ2017年4月，我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室完成了首次交会对接，对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道(可视为圆轨道)运行．与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的()
周期变大．速率变大
动能变大．向心加速度变大
14.如图，若两颗人造卫星和均绕地球做匀速圆周运动，到地心的距离分别为，线速度大小分别为、则（）
8.（15新课标Ⅰ）我国发射的“嫦娥三号”登月探测器靠近月球后，先在月球表面附近的近似圆轨道上绕月运行；然后经过一系列过程，在离月面4m高处做一次悬停（可认为是相对于月球静止）；最后关闭发动机，探测器自由下落。已知探测器的质量约为，地球质量约为月球的81倍，地球半径为月球的3.7倍，地球表面的重力加速度大小约为。则次探测器（）
A．在着陆前瞬间，速度大小约为
B．悬停时受到的反冲作用力约为
C．从离开近月圆轨道到着陆这段时间内，机械能守恒
D．在近月圆轨道上运行的线速度小于人造卫星在近地圆轨道上运行的线速度
9.（15山东）如图-4，拉格朗日点L1位于地球和月球连线上，处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动。据此，科学家设想在拉格朗日点L1建立空间站，使其与月球同周期绕地球运动。以、分别表示该空间站和月球向心加速度的大小，表示地球同步卫星向心加速度的大小。以下判断正确的是（）
A．B．C．D．
10.（16北京）如图所示，一颗人造卫星原来在椭圆轨道1绕地球E运行，在P变轨后进入轨道2做匀速圆周运动下列说法正确的是
A.不论在轨道1还是在轨道2运行，卫星在P点的速度都相同
B.不论在轨道1还是在轨道2运行，卫星在P点的加速度都相同
C.卫星在轨道1的任何位置都具有相同加速度
D.卫星在轨道2的任何位置都具有相同动量
⒒（16上海）（4分）两颗卫星绕地球运行的周期之比为27:1，则它们的角速度之比为__________，轨道半径之比为___________。
(17天津)我国自主研制的首艘货运飞船“天舟一号”发射升空后与已经在轨运行的“天宫二号”成功对接形成组合体．假设组合体在距地面高为h的圆形轨道上绕地球做匀速圆周运动已知地球的半径为R地球表面处重力加速度为g且不考虑地球自转的影响．则组合体运动的线速度大小为________向心加速度大小为________．
㈢计算题（共40分）
⒔（14山东“变式”）(10分)2013年我国相继完成“神十”与“天宫”对接、“嫦娥”携“玉兔”落月两大航天工程。某航天受好者提出“玉兔”回家的设想：如图，将携带“玉兔”的返回系统由月球表面发射到h高度的轨道上，与在该轨道绕月球做圆周运动的飞船对接，然后由飞船送“玉兔”返回地球。设“玉兔”质量为m，月球为R，月面的重力加速度为g月。以月面为零势能面。“玉兔”在h高度的引力势能可表示为，其中G为引力常量，M为月球质量，若忽略月球的自转，从开始发射到对接完成需要对“玉兔”做的功
⒕（16江苏）（15分）据报道，一法国摄影师拍到“天宫一号”空间站飞过太阳的瞬间．照片中，“天宫一号”的太阳帆板轮廓清晰可见．如图所示，假设“天宫一号”正以速度v=7.7km/s绕地球做匀速圆周运动，运动方向与太阳帆板两端M、N的连线垂直，M、N间的距离L=20m，地磁场的磁感应强度垂直于v、MN所在平面的分量B=1.0×10-5T，将太阳帆板视为导体．
（1）求M、N间感应电动势的大小E；
（2）在太阳帆板上将一只“1.5V，0.3W”的小灯泡与M、N相连构成闭合电路，不计太阳帆板和导线的电阻，试判断小灯泡能否发光，并说明理由；
（3）取地球半径R=6.4×103km，地球表面的重力加速度g=9.8m/s2，试估算“天宫一号”距离地球表面的高度h（计算结果保留一位有效数字）．
⒖（14四川石墨烯是近些年发现的一种新材料，其超高强度及超强导电、导热等非凡的物理化学性质有望使21世纪的世界发生革命性的变化，其发现者由此获得2010年诺贝尔物理学奖．用石墨烯制作超级缆绳，人类搭建“太空电梯”的梦想有望在本世纪实现．科学家们设想，通过地球同步轨道站向地面垂下一条缆绳至赤道基站，电梯仓沿着这条缆绳运行，实现外太空和地球之间便捷的物资交换．
(1)若“太空电梯”将货物从赤道基站运到距地面高度为h1的同步轨道站，求轨道站内质量为m1的货物相对地心运动的动能．设地球自转角速度为ω，地球半径为R.
(2)当电梯仓停在距地面高度h2＝4R的站点时，求仓内质量m2＝50kg的人对水平地板的压力大小．取地面附近重力加速度g取10m/s2，地球自转角速度ω＝7.3×10－5rad/s，地球半径R＝6.4×103km.
(四)选做题
16.（16江苏）如图所示，两质量相等的卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，用R、T、Ek、S分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积．下列关系式正确的有
A.TA>TBB.EkA>EKbC.SA=SBD.
17.（15安徽）（14分）由三颗星体构成的系统，忽略星体对它们的作用，存在着一种运动形式:三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动（图示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况）。若A星体质量为，B、C两星体的质量均为m，三角形边长为a。求：
（1）A星体所受合力大小FA；
（2）B星体所受合力大小FB；
（3）C星体的轨道半径RC；
（4）三星体做圆周运动的周期T。
(1)卫星B做圆周运动的周期;
(2)卫星A和B连续地不能直接通讯的最长时间间隔(信号传输时间可忽略)。
三、参考答案
㈠选择题
⒈【答案】D
【解析】在地球表面附近，在不考虑地球自转的情况下，物体所受重力等于地球对物体的万有引力，有，可得，A能求出地球质量。根据万有引力提供卫星、月球、地球做圆周运动的向心力，由，，解得；由，解得；由，会消去两边的M；故BC能求出地球质量，D不能求出。
【答案】CD
【解析】从P到Q的时间为T0，根据开普勒行星运动第二定律可知，从P到M运动的速率大于从M到Q运动的速率，可知P到M所用的时间小于T0，选项A错误；海王星在运动过程中只受太阳的引力作用，故机械能守恒，选项B错误；根据开普勒行星运动第二定律可知，从P到Q阶段，速率逐渐变小，选项C正确；从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功，选项D正确；故选CD。
⒊【答案】BCD
【解析】“天舟一号”的轨道半径小于地球同步卫星的轨道半径，所以“天舟一号”比同步卫星转动得快，角速度大，周期短，而地球自转的角速度和周期与地球同步卫星的相同，所以“天舟一号”的角速度比地球自转角速度大，周期短，故A错误，C正确．“天舟一号”的轨道半径大于近地卫星的轨道半径，所以“天舟一号”比近地卫星的线速度小，向心加速度小，近地卫星的线速度就是第一宇宙速度，近地卫星的向心加速度等于地面的重力加速度，所以“天舟一号”的线速度小于第一宇宙速度，向心加速度小于地面的重力加速度，故B、D正确．
B
【解析】地球自转周期变小，卫星要与地球保持同步，则卫星的公转周期也应随之变小，由可得，则卫星离地球的高度应变小，要实现三颗卫星覆盖全球的目的，则卫星周期最小时，由数学几何关系可作出右图。
由几何关系得，卫星的轨道半径为
由开普勒第三定律 ，代入题中数据，得
由解得
A．【解】设月球质量为M′，半径为R′，地球质量为M，半径为R．,.
根据万有引力等于重力得
由此解得
进而就有①
由题意从同样高度抛出，
，
、联立，解得，
在地球上的水平位移s=v0t，
在月球上的水平位移s′=v0t′；
因此，故A正确，BCD错误；
C解析由天体知识可知T＝2πR，v＝，a＝，半径不变，周期T、速率v、加速度a的大小均不变，故A、B、D错误．速率v不变，组合体质量m变大，故动能Ek＝mv2变大，C正确．
【答案】A
【解析】根据，得：，所以，故A正确
【解析】在中心天体表面上万有引力提供重力：,则可得月球表面的重力加速度
根据平衡条件，探测器悬停时受到的反作用力，选项B正确；探测器自由下落，由,得出着落前瞬间的速度,选项A错误；从离开近月圆轨道，关闭发动机后，仅在月球引力作用下机械能守恒，而离开近月轨道后还有制动悬停，发动机做了功，机械能不守恒，故选项C错误；在近月圆轨道万有引力提供向心力：,解得运行的线速度
亦即其小于近地卫星线速度，选项D正确。
⒐【答案】D可知，；月球与同步卫星都是由地球的万有引力提供向心力作圆周运动，而同步卫星的半径小，根据可知。综上所述，，选项D正确。
⒑【答案】B可得,半径相同，加速度相同，卫星在椭圆轨道1上运动时，运动半径变化，a在变，C错B对；卫星在圆形轨道2上运动时，过程中的速度方向时刻改变，所以动量方向不同，D错。
㈡填空题
⒒【答案】1:27；9:1
【解析】据题意卫星的运行角速度与周期关系为，即角速度与周期成反比则，即所以有。
⒓【答案】，。
【解析】在地球表面附近，物体所受重力和万有引力近似相等，有：，航天器绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有：，解得：线速度，向心加速度。
⒔【答案】，。
【解析】⑴设月球第一宇宙速度为v，万有引力提供向心力，可有
由此解得
⑵试题分析：在月球表面上，，而在距离月球表面h高处时，则
在高h处玉兔的动能
，
而将玉兔发送到该处时，对它做的功应等于它在该处的机械能，即对它做的功为。：
⒕【答案】（1）1.54V（2）不能（3）4×105m
匀速圆周运动：
解得：,代入数据得:
⒖【答案】(1)m1ω2(R＋h1)2(2)11.5N
解析(1)设货物相对地心的距离为r1，线速度为v1，则
r1＝R＋h1
v1＝r1ω
货物相对地心的动能为Ek＝m1v
联立得Ek＝m1ω2(R＋h1)2
(2)设地球质量为M，人相对地心的距离为r2，向心加速度为an，受地球的万有引力为F，则
r2＝R＋h2
an＝ω2r2
F＝
g＝
设水平地板对人的支持力大小为N，人对水平地板的压力大小为N′，则
F－N＝m2an
N′＝N
联立～式并代入数据得N′＝11.5N
⒗【答案】AD
【解析】根据知，轨道半径越大，周期越大，所以TA>TB，故A正确；由知，，所以vB>vA，又因为质量相等，所以EkB>EkA，故B错误；根据开普勒可知同一行星与地心连线在单位时间内扫过的面积相等，所以C错误；由开普勒第三定律知，D正确．【答案】（1）2）（3）（4）
18.【答案】(1)(2)
【解析】(1)设卫星B绕地球转动的周期为T′,根据万有引力定律和圆周运动的规律有
①
②
式中,G为引力常量,M为地球的质量,m、m′分别为卫星A、B的质量。
由①②式得③
(2)设卫星A和B连续不断地不能直接通讯的时间间隔为τ;在此时间间隔τ内,卫星A和B绕地心转动的角度分别为α和α′,则
④
⑤
若不考虑卫星A的公转,两卫星不能直接通讯时,卫星B的位置应在图中B和
B′点之间,图中内圆表示地球的赤道。
由几何关系得⑥
由③式知,当r
α′-α=∠BOB′⑦
由③④⑤⑥⑦得
。
14
图-11
图-10
图-9
图-8
图-7
图-6
图-3
图-1
图-4
图-2
图-5
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