强化训练32交变电流的产生电感和电容
——’17备考热身教辅系列
山东平原一中魏德田
本套强化训练搜集近年来各地高中物理高考真题、模拟题及其它极有备考价值的习题等筛选而成。其主要目的在于理解掌握交变电流的产生及变化规律；会从图象上了解描述交变电流的有关信息；深刻理解有效值、最大值、周期和频率等有关概念，掌握有效值求法及应用；了解电感线圈和电容器在交变电路中的作用。通过本训练，使我们了解交变电流在实践中的一些应用。
一、破解依据
交变电流有电动势、路端电压和干路电流等三量的“四值”：
㈠瞬时值
⑴若初相角为零，相位即，则，和；
⑵若初相角为，相位即，则，和；
其中，。
㈡最大值
⑴，或其中N、B、S、ω分别为线圈匝数、“磁强”、线圈的面积和角速度。
⑵。
⑶（注：R为“纯外阻”）
㈢有效值
㈣平均值，为曲线与时间轴所围“图形面积”除以时间之商。
㈤正弦交流电的“四值”之间的关系
⑴瞬时值与最大值：，和，其余仿此；
⑵有效值与最大值：，，；
⑶平均值与最大值：，，；
⑷平均值与有效值：，，。
注：，，则分别表示电流、电压的有效值、最大值、平均值。
㈥交变电流四值的应用
归纳起来，大致可依如下具体情况确定：
⑴在研究电容器是否被击穿时，要用峰值（最大值）．因电容器上标明的电压是它在直流电源下工作时所承受的最大值；
⑵在研究交变电流的功率和产生的热量时，只能用有效值；
⑶在求解某一时刻线圈受到的磁力矩时，只能用瞬时值；
⑷在求交变电流流过导体的过程中通过导体截面积的电量时，要用平均值。
二、精选习题
㈠选择题（每小题5分，共50分）
⒈（15北京）利用所学物理知识，可以初步了解常用的一卡通（IC卡）的工作原理及相关问题。IC卡内部有一个由电感线圈L和电容C构成的LC振荡电路，公交车上的读卡机（刷卡时“嘀”的响一声的机器）向外发射某一特定频率的电磁波。刷卡时，IC卡内的线圈L中产生感应电流，给电容C充电，达到一定的电压后，驱动卡内芯片进行数据处理和传输。下列说法正确的是（）
A．IC卡工作所需要的能量来源于卡内的电池
B．仅当读卡机发射该特定频率的电磁波时，IC卡才能有效工作
C．若读卡机发射的电磁波偏离该特定频率，则线圈L不会产生感应电流
D．IC卡只能接收读卡机发射的电磁波，而不能向读卡机传输自身的数据信息
⒉（17江苏）某音响电路的简化电路图如图所示，输入信号既有高频成分，也有低频成分，则()
A．电感L1的作用是通高频B．电容C2的作用是通高频
C．扬声器甲用于输出高频成分D．扬声器乙用于输出高频成分
⒊（14中山一中）高频焊接技术的原理如图（a）。线圈接入图（b）所示的正弦式交流电（以电流顺时针方向为正），圈内待焊工件形成闭合回路。则（）
A．图（b）中电流有效值为I
B．0~t1时间内工件中的感应电流变大
C．0~t1时间内工件中的感应电流方向为逆时针
D．图（b）中T越大，工件温度上升越快
⒋（17天津)在匀强磁场中，一个100匝的闭合矩形金属线圈，绕与磁感线垂直的固定轴匀速转动，穿过该线圈的磁通量随时间按图示正弦规律变化．设线圈总电阻为2Ω，则()
A．t＝0时，线圈平面平行于磁感线
B．t＝1s时，线圈中的电流改变方向
C．t＝1.5s时，线圈中的感应电动势最大
D．一个周期内，线圈产生的热量为8π2J
⒌（15四川）小型手摇发电机线圈共N匝，每匝可简化为矩形线圈abcd，磁极间的磁场视为匀强磁场，方向垂直于线圈中心轴OO′，线圈绕OO′匀速转动，如图所示。矩形线圈ab边和cd边产生的感应电动势的最大值都为e0，不计线圈电阻，则发电机输出电压()
A．峰值是e0B．峰值是2e0C．有效值是D．有效值是
⒍（14天津）如图所示，在匀强磁场中，一矩形金属线圈两次分别以不同的转速绕与磁感线垂直的轴匀速转动，产生的交变电动势图像如图2中曲线a、b所示，则()
A．两次t＝0时刻线圈平面均与中性面重合
B．曲线a、b对应的线圈转速之比为2∶3
C．曲线a表示的交变电动势频率为25Hz
D．曲线b表示的交变电动势有效值为10V
⒎(13海南)通过一阻值R=100Ω的电阻的交变电流如图所示，其周期为1s.电阻两端电压的有效值为()
A．12VB．4VC．15VD．8V
⒏（13福建）如图,实验室一台手摇交流发电机,内阻r=1.0Ω,外接R=9.0Ω的电阻。闭合开关S，当发电机转子以某一转速匀速转动时，产生的电动势e=10sin10πt（V），则()
A.该交变电流的频率为10Hz B.该电动势的有效值为10V
C.外接电阻R所消耗的电功率为10WD.电路中理想交流电流表的示数为1.0A
⒐（14成都摸底）图甲是一台小型发电机的构造示意图，线圈逆时针转动，产生的电动势e随时间t变化的正弦规律图像如图乙所示。发电机线圈的内电阻不计，外接灯泡的电阻为12Ω。则（）
A.在t=0．01s时刻，穿过线圈的磁通量为零B.电压表的示数为V
C.灯泡消耗的电功率为3W
D.若其它条件不变，仅将线圈的转速提高一倍，则线圈电动势的表达式e=12sin100t（V）
⒑（14大庆铁人中学）如图所示，光滑的长直金属杆上套两个金属环与一个完整正弦图象的金属导线ab连接，其余部分未与杆接触。杆电阻不计，导线电阻为R，ab间距离为2L，导线组成的正弦图形顶部或底部到杆距离都是d，在导线和杆平面内有一有界匀强磁场区域，磁场的宽度为L，磁感强度为B，现在外力F作用下导线沿杆以恒定的速度v向右运动，t=0时刻导线从O点进入磁场，直到全部穿过的过程中，产生的感生电流或外力F所做的功为()
A．非正弦交变电流B．正弦交变电流
C．外力做功为D．外力做功为
⒒（12安徽）图甲是交流发电机模型示意图.在磁感应强度为B的匀强磁场中,有一矩形线圈abcd可绕线圈平面内垂直于磁感线的轴OO''转动,由线圈引出的导线ae和df分别与两个跟线圈一起绕OO''转动的金属圆环相连接,金属圆环又分别与两个固定的电刷保持滑动接触,这样矩形线圈在转动中就可以保持和外电路电阻R形成闭合电路.图乙是线圈的主视图,导线ab和cd分别用它们的横截面来表示.已知ab长度为L1,bc长度为L2,线圈以恒定角速度ω逆时针转动.(只考虑单匝线圈)
(1)线圈平面处于中性面位置时开始计时,试推导t时刻整个线圈中的感应电动势e1的表达式.
(2)线圈平面处于与中性面成φ0夹角位置时开始计时,如图丙所示,试写出t时刻整个线圈中的感应电动势e2的表达式.
(3)若线圈电阻为r,求线圈每转动一周电阻R上产生的焦耳热.(其他电阻均不计)
⒓（12江苏）某兴趣小组设计了一种发电装置，如图所示．在磁极和圆柱状铁芯之间形成的两磁场区域的圆心角α均为π，磁场均沿半径方向．匝数为N的矩形线圈abcd的边长ab＝cd＝l、bc＝ad＝2l.线圈以角速度ω绕中心轴匀速转动，bc和ad边同时进入磁场．在磁场中，两条边所经过处的磁感应强度大小均为B、方向始终与两边的运动方向垂直．线圈的总电阻为r，外接电阻为R.求：
(1)线圈切割磁感线时，感应电动势的大小Em；
(2)线圈切割磁感线时，bc边所受安培力的大小F；
(3)外接电阻上电流的有效值I.
i和直流电流I通过同一电阻R，若在相同时间内两者所产生的热量相等,则这个直流电流I的数值叫做交流电流i的有效值；⑵交变电流的平均值是指在某一段时间内产生的交变电流对时间的平均值。试根据有效值和平均值的定义，利用你所学的微积分知识求证：
⑴交流电流i的有效值；
⑵交流电动势的平均值。
⑶交流电平均值与有效值之间的关系式。
㈢选做题
⒕（16全国Ⅲ）如图所示，M为半圆形导线框，圆心为OM；N是圆心角为直角的扇形导线框，圆心为ON；两导线框在同一竖直面(纸面)内；两圆弧半径相等；过直线OMON的水平面上方有一匀强磁场，磁场方向垂直于纸面．现使线框M、N在t＝0时从图示位置开始，分别绕垂直于纸面、且过OM和ON的轴，以相同的周期T逆时针匀速转动，则()
A．两导线框中均会产生正弦交流电
B．两导线框中感应电流的周期都等于T
C．在t＝时，两导线框中产生的感应电动势相等
D．两导线框的电阻相等时，两导线框中感应电流的有效值也相等
⒖（14安徽联考）如图所示的区域内存在匀强磁场，磁场的边界由x轴和y＝2sinx曲线围成(x≤2m)．现把边长为2m的正方形单匝线框以水平速度v＝10m/s匀速地拉过该磁场区域，磁场区域的磁感应强度B＝0.4T，线框的电阻R＝0.5Ω，不计一切摩擦阻力，则()
A．水平拉力F的最大值为8N
B．拉力F的最大功率为12.8W
C．拉力F要做25.6J的功才能让线框通过此磁场区
D．拉力F要做12.8J的功才能让线框通过此磁场区
⒗（14武昌模拟）究小组成员设计了一个如图所示的电路，已知定值电阻R．与R并联的是一个理想交流电压表，D是理想二极管（它的导电特点是正向电阻为零，反向电阻为无穷大）。在A、B间加一交流电压，瞬时值的表达式为u＝20sin100πt（V），则交流电压表示数为()
A．10VB．20VC．15VD．14.1V
⒘（14福州质检）一个固定的矩形线圈abcd处于范围足够大的可变化的匀强磁场中．如图所示，该匀强磁场由一对异名磁极产生，磁极以OO′为轴匀速转动．在t＝0时刻，磁场的方向与线圈平行，磁极N离开纸面向外转动．规定由a→b→c→d→a方向的感应电流为正，则图X24-2中能反映线圈中感应电流I随时间t变化的图像是()
⒙（14东北联考）如图所示，空间有范围足够大的匀强磁场，磁场方向竖直向下，在其间竖直放置两个彼此正对的相同的金属圆环，两环间距为L，用外力使一根长度也为L的金属杆沿环匀速率运动，用导线将金属杆和外电阻相连，整个过程中只有金属杆切割磁感线．已知磁感应强度的大小为B，圆环半径为R，金属杆转动的角速度为ω，金属杆和外电阻的阻值均为r，其他电阻不计，则()
A．当金属杆从圆环最高点向最低点转动的过程中，流过外电阻的电流先变大后变小
B．当金属杆从圆环最高点向最低点转动的过程中，流过外电阻的电流先变小后变大
C．流过外电阻电流的有效值为
D．流过外电阻电流的有效值为
（14邯郸摸底）电阻为1Ω的某矩形线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场的轴匀速转动时，产生的正弦式交流电的i-t图线如图中图线a所示；调整线圈的转速后，该线圈中产生的正弦式交流电的i-t图线如图线b所示．以下关于这两个正弦式交变电流的说法正确的是()
A．t＝0时刻穿过线圈的磁通量均为零
B．线圈先后两次的转速之比为3∶2
C．图线a对应的交流电的电动势的有效值为5V
D．图线b对应的交流电的电动势的最大值为5V
㈠选择题
⒈【答案】B
【解析】本题考查的是LC振荡电路的相关知识。IC卡内是一个LC振荡电路，没有电池，故A错；只有当读卡机发出特定频率的电磁波时，IC卡才能正常工作，故B对；当读卡机发射的电磁波偏离该频率时，线圈可以产生的电流较小，不能正常工作，故C错；IC卡是可以和读卡机进行数据传输的，故D错。
⒉【答案】7．BD[解析]在电路中电感线圈的作用是“通直流、阻交流，通低频、阻高频”，在电路中电容器的作用是“通交流、隔直流，通高频、阻低频”，所以A错误，B正确．扬声器甲输出低频成分，扬声器乙输出高频成分，故C错误，D正确．
3.【答案】AC
【解析】A、由图知电流的最大值为I，因为该电流是正弦式交流电，则有效值为I，故A正确．B、i-t图象切线的斜率等于电流的变化率，根据数学知识可知：0～t1时间内工件中电流的变化率减小，磁通量的变化率变小，由法拉第电磁感应定律可知工件中感应电动势变小，则感应电流变小，故B错误．C、根据楞次定律可知：0～t1时间内工件中的感应电流方向为逆时针，故C正确．D、图（b）中T越大，电流变化越慢，工件中磁通量变化越慢，由法拉第电磁感应定律可知工件中产生的感应电动势越小，温度上升越慢，故D错误．故选：AC
⒋【答案】AD?
⒌【答案】D
【解析】由题意可知，线圈ab边和cd边产生的感应电动势的最大值都为e0，因此对单匝矩形线圈总电动势最大值为2e0，又因为发电机线圈共N匝，所以发电机线圈中总电动势最大值为2Ne0，根据闭合电路欧姆定律可知，在不计线圈内阻时，输出电压等于感应电动势的大小，即其峰值为2Ne0，故选项A、B错误；又由题意可知，若从图示位置开始计时，发电机线圈中产生的感应电流为正弦式交变电流，由其有效值与峰值的关系可知，U＝，即U＝，故选项C错误；选项D正确。
⒍【答案】AC
【解析】本题考查交变电流图像、交变电流的产生及描述交变电流的物理量等知识，从图像可以看出，从金属线圈旋转至中性面时开始计时，曲线a表示的交变电动势的周期为4×10－2s，曲线b表示的交变电动势的周期为6×10－2s，所以A、C正确，B错误；由Em＝NBSω可知，＝＝＝，故Emb＝Ema＝10V，曲线b表示的交流电动势的有效值为5V，D错误．
⒎【答案】B
【解析】由题意结合有效值的定义可得，将A，A代入可得流过电阻的电流的有效值A，故电阻两端电压的有效值为V，本题选B。
⒏【答案】D
【解析】由2πf=10π可得该交变电流的频率为f=5Hz，选项A错误。该电动势的最大值为10V，有效值为10V，选项B错误。外接电阻R中电流I=E/(R+r)=1A，电路中理想交流电流表的示数为1.0A，外接电阻R所消耗的电功率为P=I2R=9W，C错误D正确。
⒐【答案】C
【解析】A?在t=0.01s的时刻，电动势为0，则为中性面，穿过线圈磁通量最大．故A错误；B?电动势的最大值为Em=6，电压表测量的为有效值，故示数为=6V；故B错误；C、灯泡消耗的功率P==3W；故C正确；D、周期为0.02S，则瞬时电动势的表达式为e＝Emsin（）e＝6sin100πt（V）．转速提高一倍后，最大值变成12V，ω=2πn，故角速度变为原来的2倍，表达式应为：12sin200πt；故D错误；故选：C。
⒑【答案】AC
【解析】金属导线向右一共移动了3L，把全过程分为三个阶段，因导线切割磁力线的有效长度是随正弦规律变化的，所以产生的电流也是按正弦规律变化的正弦交流电，但全过程峰值发生变化，不是正弦式电流，所以A正确，B错误；金属导线在磁场中运动时，产生的电动势为：e=Bvy，y为导线切割磁力线的有效长度．在导线运动的过程中，y随时间的变化为：y=dsinπ=dsinπ=dsinωt，=ω则导线从开始向右运动到L的过程中（如图）有：e1＝Bvy＝Bvdsinπ=Bvdsinωt则此过程中电动势的最大值为：E1max=Bvd此过程中电动势的有效值为：E1＝＝导线从L向右运动到2L的过程中（如图）有：e2＝2Bvy＝2Bvdsinπ=2Bvdsinωt即：E2max=2Bvd所以：E2＝2E1＝导线从2L向右运动到3L的过程与导线从开始向右运动L的过程相同（如图），则在这三段中运动的时间各为t，t＝在整个过程中产生的内能为：Q=因导线在拉力F的作用下匀速运动，所以拉力F所做的功全部转化为内能，即：W=Q=，C正确。
⒒【答案】（1）（2）
（3）
【解析】(1)如题图乙所示，t时刻线圈平面与中性面的夹角为，设ab距轴为r1，cd距轴为r2，
则有：
②
线圈中的感应电动势为：
（2）如题图丙所示，设t时刻线圈平面与中性面的夹角为，则由式知
线圈中的感应电动势为：
（3）通过线圈电流的有效值为：
线圈转动的周期为：
所以线圈每转动一周电阻R上产生的焦耳热为：
⒓【答案】(1)2NBl2ω；(2)；(3)。
【解析】(1)bc、ad边的运动速度v＝ω
感应电动势Em＝4NBlv
解得Em＝2NBl2ω
(2)电流Im＝
安培力F＝2NBIml
解得F＝
(3)一个周期内，通电时间t＝T
R上消耗的电能W＝IRt
且W＝I2RT
解得I＝
内，直流电与交流电通过同样的电阻R，分别产生的热量
和
依有效值的定义，这两个热量应相等，即
设，代入上式得
从而，不难求出
进而，可由欧姆定律导出等。
⑵实际上，在半周期内，电动势的平均值
进而，可求出平均电流和平均电压
，。
⑶联立⑴⑵结论，容易求出
进而，亦可求出类似结果等.
㈢选做题
14.【答案】BC
【解析】设导线圈半径为l，角速度为ω，两导线框切割磁感线的等效长度始终等于圆弧半径，因此在产生感应电动势时其瞬时感应电动势大小始终为E＝Bωl2，但进磁场和出磁场时电流方向相反，所以线框中应该产生方波交流式电，如图所示，A错误；由T＝可知，两导线框中感应电流的周期相同，均为T，B正确；在t＝时，两导线框均在切割磁感线，故两导线框中产生的感应电动势均为Bωl2，C正确；对于线框M，有·＋·＝·T，解得U有M＝E；对于线框N，有·＋0＋·＋0＝·T，解得U有N＝E，故两导线框中感应电流的有效值并不相等，D错误．
⒖【答案】C[解析]线框穿过磁场区时，BC或AD边切割磁感线的有效长度为y，产生的感应电动势e＝Byv＝2Bvsinvt，线框所受的安培力F＝，当y＝2m时，安培力最大，且最大值Fm＝N＝12.8N，拉力的最大功率Pm＝Fmv＝128W，选项A、B错误；由能量守恒定律可知，线圈通过磁场区拉力做的功等于电阻产生的热量，即W＝Q＝I2Rt＝t＝××J＝25.6J，选项C正确，选项D错误．
⒗【答案】D
【解析】由u＝20sin100πt（V）可知：，再由于晶体二极管具有单向导电性，由此根据焦耳定律可计算出：，从而选择D答案。
⒘【答案】C
【解析】磁极以OO′为轴匀速转动可等效为磁场不变线圈向相反方向转动．在t＝0时刻，磁场的方向与线圈平面平行，感应电流最大，产生的感应电流方向为a→b→c→d→a.所以能反映线圈中感应电流I随时间t变化的图像是图C.
⒙【答案】BC
【解析】从金属杆在圆环的最高点开始计时，金属杆切割磁感线的速度v＝ωR，产生的感应电动势e＝BLvcosωt＝BLRωcosωt，当金属杆从最高点运动到最低点的过程中，电动势先变小后变大，流过外电阻的电流先变小后变大，选项B正确；电动势的有效值E＝，电流的有效值I＝＝，选项C正确．
【答案】.BC
【解析】在t＝0时刻，线圈产生的感应电动势和感应电流均为0，则穿过线圈的磁通量最大，选项A错误；由图像可得两电流的周期之比为2∶3，则线圈先后两次的转速之比为3∶2，选项B正确；图线a对应的交流电的电动势的最大值为10V，有效值为5V，选项C正确；由Em＝BSω可知，＝＝，故Emb＝Ema，图线b对应的交流电的电动势的最大值约为6.67V，选项D错误．
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图-12
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