从左到右持续升（降）1.368656563(1.368166875,1.36914625)11-0.0131.368166875
(1.3671875,1.36914625)101.00711.36914625(1.3671875,1.37109375
)90.04831.37109375(1.3671875,1.375)8-0.03421.3671875(1.35
9375,1.375)7-0.19851.359375(1.34375,1.375)6-0.52481.34375
(1.3125,1.375)5-1.16881.3125(1.25,1.375)40.13081.375(1.25
,1.5)3-2.4221.2521f(1)=-7f(2)=16区间中点值中点函数近似值1.5（1,
2）2.875(1,1.5)二分法的缺点：1.速度太慢，浪费时间2.二分法不能求“不变号根”二分法的优点：算法简单，容易
理解为了弥补二分法的缺点，人们在不断地探索下面简单地介绍一下牛顿切线(迭代)法xyr例：求方程的近似解而函数的零点
r，就是函数图象与x轴交点的横坐标牛顿切线(迭代)法求零点r：xyr例：求方程的近似解析：站在函数的观点看就是函
数方程的根的零点如何求零点r呢？①以直代曲②逐步逼近③交替迭代①以直代曲②逐步逼近③交替迭代xyrXn
-1xn牛顿切线(迭代)法公式：牛顿法的缺点：速度较快；算法简单；精度高1.对初始值的选取很敏感，要求初始值相当接
近真解牛顿法的优点：一、堪根的内容：§220导数的应用——堪根二、导数法确定根的个数：根的个数求近似解形
法公式法零点存在定理导数法牛顿切线法二分法书写格式要简明形法数化是关键几个交点几个解交点坐标方程解三、牛
顿切线法求方程的近似解：概念导数概述求导应用数学其他学科导数积分①求切线斜率②判定单调性③求极值
④求最值⑤堪根⑥解证不等式⑦证等式……⑨数列求和⑧曲边梯形面积割线极限是切线一导本身是斜率必须切点横坐标
切点坐标及斜率知一有二基本功在即切点过待定导数的几何意义二导意义是曲率大凹小凸○拐点①基本函数②复合函数：同
增异减③原函数与反函数的单调性相同④奇同偶反⑤和差函数：同加不变异减看前增大减小○驻点含参反用必须等具体函数比较法抽
象函数配凑法形法背诵法数法导数法定义法单调性的判定方法：单调性的应用：②引申：①基本应用：x1＜x2
;y1y2;↗(↘)①求极值②求最值③堪根④解证不等式⑤解等式°°°°°知二有一导数法判定单调性第
一确定定义域第二求导到显然注1：最终结果要显然乘积配方与○比注2：增大减小○驻点等号问题待大学含参反用
必须等其他情况暂忽略注3：书写格式要简明三解不等得结论书写格式要简明①②③①当f(x)单调时②当f(
x)不单调时因在Domain上恒成立故f(x)在Domain上↗（↘）当x∈Doma
in时，解得f(x)在I1，I2…上↗当x∈Domain时，解得f(x)在
I1，I2…上↘导数的应用——单调性(一)一、正用：二、反用：增大减小○驻点书写格式要简明1.含参反用必须等
等号验证常值舍2.形法显然不单调有增有减有顶点一导有解是必要二导验证不为○同理可得要单调保号无解
无极值形法：……数法：且……百年不变单调性二导失灵换思路一导正负难分辨零点存在全靠猜显零点
：……f/(x)＝0有零点f/(x)＝0无零点隐零点：可解：不可解：：即f/(x)恒正(负)……上述方
法无效时，重新选取辅助函数g(x)快速求导定正负重选辅助莫迟疑二导堪根紧相连设而不求整体观猜法设而不求
导数的应用——单调性(二)1.形法：极值点①顶点可导顶点不可导顶点②驻点顶点即是极值点谷底极小峰极大极值
点驻点③可导函数注1：注2：极值点是顶点的横坐标极大(小)值是顶点的纵坐标极值的概念可导函数的极值点必是驻点,反
之则不然2.数法：参课本P：272.二导法求极值：一求驻点二筛选大小小大○为非一般地，若f(x0)是极小值则f(
x0)是极大值f(x0)是非极值①②③1.一导法求极值：一求驻点二单调三写极值靠图象书写格式要简明含参反用须
验根二、数法：一、形法：顶点即是极值点谷底极小峰极大极值的求法费马定理：极值点的导数一定为○,反之则不然
最值的概念(有常能等)3.符号：1.文字：……2.图象：……①等式:②不等式:若且存在则f(x)
有最小值C注：极值局部最整体最值的求法1.形法2.数法函数图象线性规划函数法(单调性法)最值定理必有
最值闭且连最值来源顶端点导数法——单调性法的特例看图说话是关键最值来源顶端点一论单调算顶端三写最值是格式能代则代罗比
达是则名为筛选法一、堪根的内容：§220导数的应用——堪根二、导数法确定根的个数：根的个数求近似解形法公式法
零点存在定理导数法牛顿切线法二分法书写格式要简明形法数化是关键几个交点几个解交点坐标方程解三、牛顿切线法求方
程的近似解：一、堪根的内容：二、导数法确定根的个数：根的个数求近似解形法公式法零点存在定理导数法牛顿切线法二分
法书写格式要简明形法数化是关键几个交点几个解交点坐标方程解(1)已知方程x3-6x2＋9x-4=0①求该方程在R上
根的个数②求该方程在(－∞,2)上根的个数③求该方程在(3,＋∞)上根的个数析①：设f(x)=x3-6x2＋9x-4
则f/(x)=3(x-1)(x-3)析②：x轴放置在何处……？析③：二个根(1,0)(3,-4)即关键点
是谁……？书写格式要简明……练习1.确定方程实根的个数三个根(其中1是两重根)(1)已知方程x3-6x2＋9x-4=
0①求该方程在R上根的个数解：设f(x)=x3-6x2＋9x-4则f/(x)=3(x-1)(x-3)解
得f(x)在(－∞,1),(3,＋∞)上↗解得f(x)在(1,3)上↘故
所以方程x3-6x2＋9x-4=0在R上有3个根当x→﹣∞时
，y→﹣∞；当x→﹢∞时，y→﹢∞(其中有两个是重根)(1)已知方程x3-6x2＋9x-4=0①求该方程在R上根的个数
②求该方程在(－∞,2)上根的个数③求该方程在(3,＋∞)上根的个数析：由①知2个根(1,0)(2,-2)
(3,-4)在“人为”定义域(－∞,2)上书写格式要简明……(两重根)(1)已知方程x3-6x2＋9x-4=0②求该方
程在(－∞,2)上根的个数解：设f(x)=x3-6x2＋9x-4则f/(x)=3(x-1)(x-3)故
所以方程x3-6x2＋9x-4=0在(－∞,2)上有两重根
当x＜2时，解得f(x)在(－∞,1)上↗当x＜2时，解得f(x)在(1
,2)上↘当x→﹣∞时，y→﹣∞；(1)已知方程x3-6x2＋9x-4=0①求该方程在R上根的个数②求该方程在(－
∞,2)上根的个数③求该方程在(3,＋∞)上根的个数(1,0)(3,-4)析：由①知一个根在“人为”定义域(3
,＋∞)上书写格式要简明……(1)已知方程x3-6x2＋9x-4=0③求该方程在(3,＋∞)上根的个数解：设f
(x)=x3-6x2＋9x-4则f/(x)=3(x-1)(x-3)又因
所以方程x3-6x2＋9x-4=0在(3,＋∞)上有1个根故在(3,＋∞
)上恒成立即f(x)在(3,＋∞)上↗当x→﹢∞时，y→﹢∞(2)已知方程x3-6x2＋9x-4=a①若该
方程在R上有1个根，求a的取值范围②若该方程在R上有2个根，求a的取值范围③若该方程在R上有3个根，求a的取值范围
④若该方程在(0,2]上有1个根，求a的取值范围⑤若该方程在(0,2]上有2个根，求a的取值范围(1,0)(3,-
4)析①：设f(x)=x3-6x2＋9x-4则f/(x)=3(x-1)(x-3)析②：直线y=a在何处……
？析③：a＜-4或a＞0即关键点是谁……？书写格式要简明……(2)已知方程x3-6x2＋9x-4=a①若该
方程在R上有1个根，求a的取值范围解：设f(x)=x3-6x2＋9x-4则f/(x)=3(x-1)(x-3)
所以a＜-4或a＞0解得f(x)在(－∞,1),(3,＋∞)上↗解
得f(x)在(1,3)上↘故又因方程x3-6x2＋9x-4
=a在R上有1个根当x→﹣∞时，y→﹣∞；当x→﹢∞时，y→﹢∞(2)已知方程x3-6x2＋9x-4=a①若该方程
在R上有1个根，求a的取值范围②若该方程在R上有2个根，求a的取值范围③若该方程在R上有3个根，求a的取值范围④
若该方程在(0,2]上有1个根，求a的取值范围⑤若该方程在(0,2]上有2个根，求a的取值范围(1,0)(3,-4)
析②：直线y=a在何处有2个根？析③：a=-4或a=0即关键点是谁……？书写格式要简明……析①：由①
知a∈φ(2)已知方程x3-6x2＋9x-4=a解：设f(x)=x3-6x2＋9x-4则f/(x)=
3(x-1)(x-3)所以a∈φ解得f(x)在(－∞,1),(3,＋∞)上↗解
得f(x)在(1,3)上↘故又因方程x3-6x2
＋9x-4=a在R上有2个根②若该方程在R上有2个根，求a的取值范围当x→﹣∞时，y→﹣∞；当x→﹢∞时，y→﹢∞
(2)已知方程x3-6x2＋9x-4=a①若该方程在R上有1个根，求a的取值范围②若该方程在R上有2个根，求a的
取值范围③若该方程在R上有3个根，求a的取值范围④若该方程在(0,2]上有1个根，求a的取值范围⑤若该方程在(0
,2]上有2个根，求a的取值范围(1,0)(3,-4)析②：直线y=a在何处有3个根？析③：-4≤a≤0
即关键点是谁……？书写格式要简明……析①：由①知(2)已知方程x3-6x2＋9x-4=a解：设f(x
)=x3-6x2＋9x-4则f/(x)=3(x-1)(x-3)所以-4≤a≤0解
得f(x)在(－∞,1),(3,＋∞)上↗解得f(x)在(1,3)上↘故
又因方程x3-6x2＋9x-4=a在R上有3个根③若该方程在R上有3个根，求a的
取值范围当x→﹣∞时，y→﹣∞；当x→﹢∞时，y→﹢∞(2)已知方程x3-6x2＋9x-4=a①若该方程在R上有1个根
，求a的取值范围②若该方程在R上有2个根，求a的取值范围③若该方程在R上有3个根，求a的取值范围④若该方程在(0
,2]上有1个根，求a的取值范围⑤若该方程在(0,2]上有2个根，求a的取值范围(1,0)(3,-4)析②：直线
y=a在何处时析③：-4＜a＜-2或a=0方程在(0,2]上有1个根？书写格式要简明……析①：由①知(
0,-4)(2,-2)-4＜a＜-2(2)已知方程x3-6x2＋9x-4=a④若该方程在(0,2]上有1个根，
求a的取值范围解：设f(x)=x3-6x2＋9x-4则f/(x)=3(x-1)(x-3)当0＜x≤2时，解
得f(x)在(0,1)上↗当0＜x≤2时，解得f(x)在(1,2)上↘
而又因方程x3-6x2＋9x-4=a在(0,2]上有1个根所
以-4＜a＜-2(2)已知方程x3-6x2＋9x-4=a①若该方程在R上有1个根，求a的取值范围②若该
方程在R上有2个根，求a的取值范围③若该方程在R上有3个根，求a的取值范围④若该方程在(0,2]上有1个根，求a的
取值范围⑤若该方程在(0,2]上有2个根，求a的取值范围(1,0)(3,-4)析②：直线y=a在何处时析③：-
2≤a≤0方程在(0,2]上有2个根？书写格式要简明……析①：由①知(0,-4)(2,-2)(2)已知方程x
3-6x2＋9x-4=a解：设f(x)=x3-6x2＋9x-4则f/(x)=3(x-1)(x-3)当0＜x≤2时，解得f(x)在(0,1)上↗当0＜x≤2时，解得f(x)在(1,2)上↘而又因方程x3-6x2＋9x-4=a在(0,2]上有2个根所以-2≤a≤0⑤若该方程在(0,2]上有2个根，求a的取值范围(3)求证：方程只有一个根证明：设故在R上恒成立即f(x)在R上↗，又因f(0)=0所以参课本P：20三、牛顿切线法求方程的近似解：大多数的方程不存在求根公式因此求其精确解是非常困难的，甚至是不可能的从而寻找方程的近似根就显得特别重要我们已经学习过：二分法求方程的近似根例：用二分法求方程在区间(1,2)内的近似解 |
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