二、在数学上的应用：一、泰勒定理：1.证明等式或不等式：特例(1)切线法：切线法的几何解释是：都在f(x)图像的上
(下)方则f(x)图像上各点的切线若f(x)＞0是凸(凹)函数证明：证:由(6)(2006年湖南简化)已知数列{
an}满足：0＜an＜1，得即初等数学法:设即即即下同上法……用导数法证g(x)＜0二、在数学上的应用：1
.证明等式或不等式：特例(1)切线法：特例(2)极值点偏移：①含义：②解法：已知x0是函数f(
x)的极值点证明：x1+x22x0且f(x1)=f(x2)(x1＜
x2)解法繁多、极具技巧性和综合性……下面简介：利用泰勒定理，构造辅助函数……极值点偏移——利用泰勒定理，构
造辅助函数S1：设F(x)＝f(x)－g(x)其中S2：比较F(x)与0的大小关系
S3：比较x1+x2与2x0的大小关系二、在数学上的应用：1.证明等式或不等式：特例(3)拐点
偏移：特例(1)切线法：特例(2)极值点偏移：①含义：②解法：已知x0是函数f(x)的
拐点证明：x1+x22x0且f(x1)＋f(x2)=2f(x0)
解法繁多、极具技巧性和综合性……下面简介：利用泰勒定理，构造辅助函数……拐点偏移——利用泰勒定理，构造辅助函数
S1：设F(x)＝f(x)－g(x)其中S2：比较F(x)与0的大小关系S3：比较x
1+x2与2x0的大小关系二、在数学上的应用：1.证明等式或不等式：特例(3)拐点偏移：特例(
1)切线法：特例(2)极值点偏移：2.近似计算和误差估计：泰勒公式体现了微积分“逼近法”的精髓泰勒公式可以提
供误差的估计公式并可实现对误差的有效控制(7)(2014年新课标Ⅱ简化)估计ln2的近似值（精确到0.001）
法1：由泰勒公式得从而两式相减得显然有而故(7)(2014年新课标Ⅱ简化)估计ln2的近似值（精确到
0.001）法1：由泰勒公式得……令代入上式得而＞0.693，＜0.6934从而0.6
93＜ln2＜0.6934故ln2精确到0.001的近似值为0.693法2：由泰勒公式得令x=1得ⅰ:当n为奇数时,
0.694故法2：由泰勒公式……ⅰ:当n为奇数时……ln2＜0.694ⅱ:当n为偶数时,故＞0.692
综上，ln2精确到0.001的近似值为0.693三、在其他学科上的应用：3.经济学：2.计算机学科：1.物理学
：金融数学债券定价……计算机的CPU不会直接计算函数值基本上，物理理学上常见的原理、定理、公式……都是用
泰勒展开后近似得到的只会做加减乘除就是把各种复杂的函数数值运算利用泰勒公式转化成简单的加减乘除运算附
加作业：1.(2010年新课标简化)设当x∈[0,+∞)时，f(x)≥0,求a的取值范围2.(2011年新课标简化)设
证明：附录32泰勒定理简介二、在数学上的应用：一、泰勒定理：1.证明等式或不等式：三、在其他学
科上的应用：特例(3)拐点偏移：特例(1)切线法：特例(2)极值点偏移：3.函数极限运算：2.近似计
算和误差估计：4.定积分计算：1.简述：2.特例：拓宽和加深它的目的如下：1.开拓视野，为一年半以后的高数学习作
基：2.为“秒”某些高考题提供工具：书写格式：由XX定理易得……XX定理，肯定没有错是否扣分？哪得看阅卷老师
的心情了……只不过：“合理合法不合时”罢了《选修2—2》的第一章导数及其应用3.为五年半以后的考研作基：是
高数的重要内容微积分基本知识结构框架图Newton-Leibniz公式极限与连续积分学微分学微分中值定理关联图
罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒定理马克劳林公式罗必塔法则特例f(a)=f(b)推
广应用应用x0=0特例n=0特例g(x)=x推推广广罗尔中值定理则在(a,b)内至少存
在一点?设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，如果（1）函数f(x)在[a，b]上连续（3）f(a)=f(b)
（2）函数f(x)在(a，b)内可导,使得f??????罗尔中值定理的几何解释bMax0y
?1N?2y=f(x)AB在函数f(x)的图像上至少存在一点在该点处的切线平行于x轴拉格朗日中值
定理则在(a,b)内至少存在一点?使得割线的斜率与切线的斜率，存在着等量关系……设函数f(x)在区间[a,b
]上有定义，如果（1）函数f(x)在[a，b]上连续（2）函数f(x)在(a，b)内可导{割线的斜率}?{切线的斜率}…
…罗尔中值定理的几何解释bax0yMNAB在函数f(x)的图像上至少存在一点在该点处的切线平
行于两端点的连线?1?2拉格朗日中值定理的几何解释拉格朗日中值定理的几何解释在函数f(x)的图像上至少存
在一点在该点处的切线平行于两端点的连线则在(a,b)内至少存在一点?（1）在[a，b]上连续（3）在(a，b)
内F??x?≠?（2）在(a，b)内可导使得柯西中值定理设函数f(x)及F(x)满足柯西定理的几何意义
弦的斜率切线斜率附录32泰勒定理简介二、在数学上的应用：一、泰勒定理：1.证明等式或不等
式：三、在其他学科上的应用：特例(3)拐点偏移：特例(1)切线法：特例(2)极值点偏移：3.函数极限
运算：2.近似计算和误差估计：4.定积分计算：1.简述：2.特例：一、泰勒(Taylor)定理：1.简述：注
1.泰勒定理三要素：①展开的基点：a③余项:②展开的阶数：n?是介于a与x之间的一个值换个说法：
灵活地选取三要素是应用泰勒定理的关键泰勒展开式一、泰勒(Taylor)定理：1.简述：一、泰勒(Taylor)定理：
1.简述：一、泰勒(Taylor)定理：1.简述：一、泰勒(Taylor)定理：1.简述：一、泰勒(
Taylor)定理：1.简述：吴文俊院士说：把质的困难转化成量的复杂注2.泰勒定理的作用：复杂的函数f(x)
简单的整式函数泰勒定理泰勒定理太乐定理太累定理学霸学渣注1.泰勒定理三要素：基点；阶数；余项拟
合函数代替原函数2.泰勒(公式)定理的特例:——马克劳林公式常用函数的麦克劳林公式：常用函数的麦克劳林公式：将上述4个展
开式，截取片段……就可以得到，高考中考察很频繁的几个常见的不等式为了叙述方便，我们不妨称其为：泰勒不等式泰勒不等式：上述4
个不等式的证明，很简单，略去……也可：由泰勒定理(马克劳林公式)易得……下列不等式，当x≥0时，恒成立③①②④扣分
否？……泰勒不等式：上述4个不等式的变形繁多，且非常灵活……但总的目的是：下列不等式，当x≥0时，恒成立③①②④
用一个简单的函数，来代替一个复杂的函数……泰勒不等式的变形繁多且非常灵活泰勒不等式的
变形繁多且非常灵活二、在数学上的应用：一、泰勒定理：1.证明等式或不等式：3.函数极限运算：
2.近似计算和误差估计：4.定积分计算：特例(3)拐点偏移：特例(1)切线法：特例(2)极值点偏移：练
习1.泰勒定理，初见端倪：③①②析1：不管是数法证明，还是形法观察，难度都不大……析2：该题背后的深层意义是什么？……
(1)《选修2-2》P：32B组Ex1④利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图像直观验证用简单的拟合
函数代替复杂的原函数(2)(2012年辽宁)若x∈[0,+∞),则下列不等式恒成立的是A．B
．C． D．【C】法1：初等数学法：利用导数求出差函数的最值然后与0比
较大小……法2：泰勒定理……将上述4个左端较为复杂的函数用右端简单的幂函数来拟合……练习2.高考真题，锋芒毕露：该题背
后的深层意义是：(2)(2012年辽宁)若x∈[0,+∞),则下列不等式恒成立的是A．B．
C． D．【C】法2：泰勒定理……证明：当x＞-1时,(3)(2010年全国II简化)设函数
证明：即证当x＞-1时，即证当x＞-1时，即证当x＞-1时，由泰勒定理易得，该式显然成立练习3.泰勒定理的应用(由伯努利不等式易得，该式显然成立)证明：当x＞1时,(4)(2016年全国Ⅲ简化)析1：即证即证析2：即《选修2-2》P：32B组Ex1③两端取对数得令x＝1＋x得析3：令x＝代入上式得即用左右函数“逼近”中间的函数简单代替复杂是泰勒定理的本意(5)(2013年新课标Ⅱ简化)若证明：当m≤2时，f(x)＞0析①：如图析②：隔线(切线)法析③：即证： |
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