一、极值点偏移(一)直观认识极值点偏移二、拐点偏移(二)判定偏移方向(一)直观认识拐点偏移(二)处理策略附录34极
值点及拐点偏移(一)(三)常见题型及处理策略(一)直观认识极值点偏移(漂移)若f(x1)＝f(x2),则x
1+x2＝2x0x1x0x2(左右对称，极值点居中)若f(x1)＝f(x2),则x1+x2＞2x0x1x0x2
(左陡右缓，极值点偏左)x1x0x2(左缓右陡，极值点偏右)若f(x1)＝f(x2),则x1+x2＜2x0(一)直
观认识极值点偏移已知单峰非对称函数f(x)则把求x1±x2；x1x2；x1÷x2……
称之为极值点偏移满足f(x1)=f(x2)(x1＜x2)(和差商积)的确界问题若f(
x1)＝f(x2),则x1+x2＝2x0x1x0x2(左右对称，极值点居中)若f(x1)＝f(x2),则x1+x2＞
2x0x1x0x2(左陡右缓，极值点偏左)x1x0x2(左缓右陡，极值点偏右)若f(x1)＝f(x2),则x1
+x2＜2x0由图易得x1+x22x0数法如何证明x1+x22x0呢？若有函数的简图，则易得极值点的偏
移方向形法数化(一)直观认识极值点偏移(二)判定偏移方向三导法弦中点导数法构造对称函数法其他法构
造对称函数法判定极值点偏移方向已知单峰非对称函数f(x)的极值点为x0设F(x)=f(x)
－f(2x0－x)或F(x)=f(x0＋x)－f(x0－x)同号相减周期性异号
和半对称性左＋右－适当变○②若f(m+x)=±f(n-x),则f(x)具有对称性……为对称轴为偶函数为
对称中心为奇函数①若f(m+x)=±f(n+x),则f(x)具有周期性……若若
，则有T=2|m-n|若，则有T=|m-n|本质上一样但运算量不一样
构造对称函数法判定极值点偏移方向已知单峰非对称函数f(x)的极值点为x0①若x0是极小值点，F(x
)＞0，则极值点偏右设F(x)=f(x)－f(2x0－x)或F(x)=f(
x0＋x)－f(x0－x)②若x0是极小值点，F(x)＜0，则极值点偏左③若x0是极
大值点，F(x)＞0，则极值点偏左④若x0是极大值点，F(x)＜0，则极值点偏右构造对称
函数法判定极值点偏移方向已知单峰非对称函数f(x)的极值点为x0①若x0是极小值点，F(x)＞0
，则极值点偏右设F(x)=f(x)－f(2x0－x)或F(x)=f(x0
＋x)－f(x0－x)说明：F(x)＞0即f(x0＋x)＞f(x0－x)x
0x0＋xx0－x横移竖拉到同侧高低显然用单调构造对称函数法判定极值点偏移方向已知单峰非对称函数f(x)
的极值点为x0设F(x)=f(x)－f(2x0－x)或F(x)=f(x0
＋x)－f(x0－x)说明：F(x)＞0即f(x0＋x)＜f(x0－x)②
若x0是极小值点，F(x)＜0，则极值点偏左x0x0＋xx0－x横移竖拉到同侧高低显然用单调
构造对称函数法判定极值点偏移方向已知单峰非对称函数f(x)的极值点为x0设F(x)=f(x)
－f(2x0－x)或F(x)=f(x0＋x)－f(x0－x)说明：F(x
)＞0即f(x0＋x)＞f(x0－x)横移竖拉到同侧高低显然用单调③若x0是极大值点，F(
x)＞0，则极值点偏左x0x0＋xx0－x构造对称函数法判定极值点偏移方向已知单峰非对称函数f(x
)的极值点为x0设F(x)=f(x)－f(2x0－x)或F(x)=f(
x0＋x)－f(x0－x)说明：F(x)＞0即f(x0＋x)＜f(x0－x)
横移竖拉到同侧高低显然用单调④若x0是极大值点，F(x)＜0，则极值点偏右x0x0＋xx0
－x弦中点导数法构造对称函数法(一)直观认识极值点偏移(二)判定偏移方向已知(V型)凹函数f(x)
满足f(x1)=f(x2)(x1＜x2)已知(A型)凸函数f(x)满足f(x1)=f
(x2)(x1＜x2)若，则极小值点偏左若
，则极小值点偏右若，则极大值点偏右若
，则极大值点偏左弦中点导数法判定极值点偏移方向已知(V型)凹函数f(x)满足f(
x1)=f(x2)(x1＜x2)若，则极小值点偏左弦中
点导数法判定极值点偏移方向x0说明：中点对应的切线是增函数，即x1x2x中已知(V型)凹函数f(x)满足
f(x1)=f(x2)(x1＜x2)若，则极小值点偏左
若，则极小值点偏右弦中点导数法判定极值点偏移方向x0说明：中点对应的切线
是减函数，即x1x2x中三导法弦中点导数法构造对称函数法其他法(一)直观认识极值点偏移
(二)判定偏移方向已知(V型)凹函数f(x)满足f(x1)=f(x2)(x1＜x2)已知(A型)
凸函数f(x)满足f(x1)=f(x2)(x1＜x2)若在
(x1，x2)上恒成立，则极小值点偏右若在(x1，x2)上恒成立，则极小
值点偏左三导法判定极值点偏移方向注1：该法证明涉及到：一导、二导及三导的几何意义以及泰勒定理等内容
，故略去……若在(x1，x2)上恒成立，则极小值点偏右若
在(x1，x2)上恒成立，则极小值点偏左注2：记忆方法：左小右大是V型对号函数A相反注
2：三导法应该是解决极值点偏移最简捷的方法但高数中，一般都不涉及，大题中不能用啊练习1.判定极值点的偏移方向(
1)已知f(x)=ex－ax有两个零点x1＜x2则下列说法正确的是____________①
a＞e②x1+x2＞2③x1x2＞1④有极小值点x0，且x1+x2＜2x0①②④析1：本意
是考察：函数f(x)的零点及极值点偏移……析2：但若选用y=ex与y=ax作辅助函数数形结合＋结
合极限思想＋三导法基本上可“秒”……(一)直观认识极值点偏移(二)判定偏移方向(三)常见题型及处理策略1.基本
题型：2.其他题型：即证：x1+x22x0增量法和式增量法积式增量法：放缩法：对(指)数均值不等式法其
他法：……基本题型构造对称函数法二次函数拟合法齐次化(换元法)(2).已知函数f(x)＝x－lnx
－a有两个零点x1，x2练习2.极值点偏移求证：x1＋x2＞2———对(指)数均值不等式法对(指)数均值不等
式法是放缩法的特例①对数均值不等式：若a＞b＞0,则②指数均值不等式：上式中分别以ea,eb代替a，b
,则……一般的手法是：将指数型等式两端取对数，化归到对数型……(2).已知函数f(x)＝x－lnx－
a有两个零点x1，x2练习2.极值点偏移求证：x1＋x2＞2———对(指)数均值不等式法证：不妨设x2＞
x1＞0由f(x1)＝x1－lnx1－a＝0及f(x2)＝x2－lnx2－a＝0得
x2－x1＝lnx2－lnx1即＝1由对数均值不等式：
得(a＞b)＝1即x1＋x2＞2(3)(2013年湖南)已知函数f(x)=①求f(x)的单
调区间解f/(x)＞0得f(x)在(－∞,0)上↗解f/(x)＜0得f(x)在(0,＋∞)上↘
解①：因说明了：f(x)是A型函数且x＝0是f(x)的极大值点既然是“类二次”函数，当然就有“极值点漂移”②证明
：当f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)时，x1＋x2＜0(3)(2013年湖南)已知函数f(x)=①
……②证明：当f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)时，x1＋x2＜0证：由①不妨设x1＜0＜x2＜
1由＝两端取对数，化简得整理得又因x1＋x2＜2，故x1＋x2＜0—
——对(指)数均值不等式法与通法相比：简捷明快，操作量少极值点偏移缺点：优点：②代数式的运算能力要求较高
尤其是对数型函数的变形，灵活性很强①非通法.仅适用于简单的指对型函数③一般的高考中：对(指)数均值不等式不允许直接使用
，若要证明，哪操作量……(4).已知函数f(x)＝x－lnx－a有两个零点x1，x2练习3.极值点偏移求证
：x1＋x2＞2———齐次化(换元法)证：不妨设x2＞x1＞0由题意得a＝x1－lnx1，a
＝x2－lnx2可得令t＝∈(0,1)x1＝，x2＝故x1＋x2＝＋设g
(t)＝(0＜t＜1)用二导法证明：g(t)＞2……即有x1＋x2＞2(4).已知函数f(x)＝x
－lnx－a有两个零点x1，x2求证：x1＋x2＞2另法：不妨设x2＞x1＞0由题意得a＝x1
－lnx1，a＝x2－lnx2可得令t＝∈(0,1)x1＝，x2＝故x1＋x2
＝＋即证＞2即证lnt＜设g(t)＝lnt－即证g(t)＜0在(0，
1)上恒成立(一导法可矣)即有x1＋x2＞2(5).若f(x)＝ax2－ex有两个零点x1，x2解①：
原命题等价于方程a＝在R＋上有两个根设g(x)＝且x2＞x1＞0①求a的取值范围②求证：x1＋x
2＞4当x＞0时,解g/(x)＞0得g(x)在(2,＋∞)上↗当x＞0时,解g/(x)＜0得g(x)
在(0,2)上↘则g/(x)＝故g(x)≥g(2)＝在R＋上恒成立即a∈(,＋∞)
(5).若f(x)＝ax2－ex有两个零点x1，x2解②：由题意得,且x2＞x1＞0①…
…②求证：x1＋x2＞4两式相除得＝可得令t＝∈(0,1)x1＝，x2＝故x1
＋x2＝＋即证＞4即证lnt＜设g(t)＝lnt－＜0在(0，1)上
恒成立……———齐次化(换元法)①与通法相比：操作量教少极值点偏移缺点：优点：②代数式的运算能力要求较高尤其是对数型函数的变形，灵活性很强①非通法.仅适用于简单的指对型函数②利用换元法，充分体现了化归思想：将双参x1，x2问题，化归到一元问题t……附加作业：1.若a＞b＞0,且①a＜e则上述结论中正确的是_____②b＞e④ab＞e2③?a,b满足ab＜e2(提示：设f(x)＝)2.(2010年天津)已知函数①求函数f(x)的单调区间和极值②已知y=g(x)的图象与y=f(x)的图象关于直线x=1对称，证明:x＞1时,f(x)＞g(x)③若x1≠x2且f(x1)=f(x2)证明:x1＋x2＞2 |
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