(2).已知f(x)=lnx－ax有两个零点x1，x2,求证：x1x2＞e2在上恒成立因f(x2)=f(x1)
f(x)在上↗；在上↘f(x)是A型函数第一步作差单调判正负第二次应用单
调性(正用)第二步结合相等到同侧第三步三用单调得结论又因f(x)在上↘,故,即而lnx1＋
lnx2=a(x1＋x2)＞2,故x1x2＞e2(3)(2013年湖南)已知函数f(x)=①求f(x)的单
调区间解f/(x)＞0得f(x)在(－∞,0)上↗解f/(x)＜0得f(x)在(0,＋∞)上↘
解①：因说明了：f(x)是开口朝下的“类二次”函数且x＝0是f(x)的极大值点既然是“类二次”函数，当然就有“极值
点漂移”②证明：当f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)时，x1＋x2＜0(3)(2013年湖南)已知函数
f(x)=①……②证明：当f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)时，x1＋x2＜0证②：设F(x
)=f(x)－f(－x)=故g/(x)在(0,＋∞)上↘设g(x)=
(x＞0)而；故g(x)在(0,＋∞)上↘
即当x＞0时，f(x)＜f(－x);从而g/(x)＜g/(0)=0;从而g(x)＜g(0
)=0故F(x)≤F(0)=0在R上恒成立f(x)是A型函数，x＝0是极大值点第一步：作差单调判正负第二次应用单调性(
正用)(3)(2013年湖南)已知函数f(x)=①求f(x)的单调区间解②：……当x＞0时，f(x)＜f
(－x)②证明：当f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)时，x1＋x2＜0因f(x2)=
f(x1)=f[－(－x1)]＞f(－x1)不妨设x1＜x2，则由①知x1＜0＜x2即－x1
＞0，x2＞0第二步第一步又因f(x)在(0,＋∞)上↘，且x1≠x2时故x2＜－x1，
即x1＋x2＜0第三步———构造对称函数法①几何意义显然极值点偏移缺点：优点：②操作量大：构造
辅助函数，三用单调性……②是通法①步骤长：前一后三……③可以很好的训练：数形结合思想、化归思想、函数思想…
…(一)直观认识极值点偏移(二)判定偏移方向(三)常见题型及处理策略1.基本题型：2.其他题型：即证：x1+
x22x0增量法和式增量法积式增量法：放缩法：对(指)数均值不等式法其他法基本题型构造对称函数法
二次函数拟合法齐次化(换元法)———二次函数拟合法几何意义也显然左拉右扯成二次形法数化分前后台前工作三步走慕
后泰勒构二次四个零点把序排作差单调判正负中点公式得结论极值点偏移数法：形法：四个零点排排坐两个中点如参商——
—二次函数拟合法几何意义也显然左拉右扯成二次极值点偏移数法：……形法：四个零点排排坐两个中点如参商下面以极
值点偏左为例x0x1x2x3x4x中1x中2———二次函数拟合法形法数化分前后台前工作三步走慕后泰勒构
二次四个零点把序排作差单调判正负中点公式得结论极值点偏移数法：形法：……S1：设g(x)=判定F
(x)=f(x)－g(x)0S2：设x3,x4是g(x)的两个零点且x3＜
x0＜x4由S1的结论得：x1x3＜x0＜x2x4x1＋x2S3：
x3＋x4＝2x0(4).已知函数f(x)＝x－lnx－a有两个零点x1，x2析1：因
，求证：x1＋x2＞2练习2.极值点偏移———二次函数拟合法故f/(1)=0说明了：f
(x)是V型函数且x＝1是极小值点析2：又因，故f//(1)=1g(x)=故
＝(1－a)＋0＋＝＋1－a(4).已知函数f(x)＝x－lnx－a有两个零点x1，x
2故f(x)在上↘；在上↗从而证：因1.前期准备工作：f(x)是V型函数且x＝
1是f(x)的极小值点求证：x1＋x2＞2＜0故有a＞1且2.后期台前工作：三小步……(4).已知函
数f(x)＝x－lnx－a有两个零点x1，x2证：因……f(x)是V型函数，x＝1是极小值点求证：x1
＋x2＞2设g(x)=＋1－a,F(x)=f(x)－g(x)而F
/(x)=2－x－＝0在R+上恒成立故F(x)在(0,+∞)上↘又因F(1)＝0故当x＜1时,有f
(x)＞g(x)故当x＞1时,有f(x)＜g(x)台前工作三步走作差单调判正负第一步(4).已
知函数f(x)＝x－lnx－a有两个零点x1，x2证：因……求证：x1＋x2＞2故当x＜1时,有f(
x)＞g(x)故当x＞1时,有f(x)＜g(x)第一步作差单调判正负第二步四个零点把序排设
x3,x4是g(x)的两个零点且x3＜1＜x4f(x)在上↘；在上↗
由式得…………f(x1)＝g(x3)＜f(x3)，故x3＜x1＜1＜x4＜x2而f(x
)在上↘同理有x4＜x2，故x1＞x3(4).已知函数f(x)＝x－lnx－a有两个
零点x1，x2证：因……求证：x1＋x2＞2故当x＜1时,有f(x)＞g(x)故当x＞1时,有f(
x)＜g(x)第一步作差单调判正负第二步四个零点把序排f(x)在上↘；在
上↗x3＜x1＜1＜x4＜x2第三步中点公式得结论故x1＋x2＞x3＋x4＝2———二次函数拟合法①
几何意义比较显然极值点偏移缺点：优点：②与构造对称函数法比较，表象上操作量较少但加上到幕后工作，总体上没有便宜
多少②是通法①有较强的高数背景……③可以很好的训练：数形结合思想、化归思想、函数思想……若一导函数的结
构稍复杂一点的话操作量会陡增二、拐点偏移(一)直观认识拐点偏移①若f(x0)＝0,则x0是f(x)的零点②若f/
(x0)＝0,则x0是f(x)的驻点③若f//(x0)＝0且f///(x0)≠0,,则x0是f(x)的拐点当
f//(x0)≠0时,x0是f(x)的极值点①将f(x0)＝0改为f(x0)＝m,可称其为“零点偏移”②极
值点偏移是“类二次函数”问题③拐点偏移是“类三次函数”问题其考察点是：轴对称也零点偏移，实仍x轴上下平移,是“类一次函数”
也其考察点是：中心对称也二、拐点偏移1.直观认识拐点偏移：2.处理策略：法1：构造对称函数法法2：三次函数拟合法
法3：齐次化构造(换元法)法4：对数均值构造(放缩法)…………类似于极值点偏移(5).若函数f(x)＝2l
nx＋x2＋x析1：若将要证的：x1＋x2≥2改为：x1＋x2＝2求证：x1＋x2≥2练习3.拐点偏
移且f(x1)＋f(x2)=4则有：点(1,2)是f(x)的对称中心再结合已知条件：f(x1)
＋f(x2)=4易得：f(1)＝2，即f(x1)＋f(x2)＝2f(1)可见该题是围绕：
f(x)关于点(1,2)非对称展开的,故f//(1)=0从而点(1,2)是f(x)的拐点析2：因
2－,即所谓的的拐点偏移析3：类似于处理极值点偏移——构造对称函数法(5).若函数f(x)＝2lnx
＋x2＋x析4：因＋2x＋1求证：x1＋x2≥2练习3.拐点偏移即证F(x
)=≤4且f(x1)＋f(x2)=4故f(x
)在(0，＋∞)上↗＞0在(0,+∞)上恒成立析5：x1＋x2≥2x2≥2－x1f(x2)≥f(2－x1)
f(x1)＋f(x2)≥f(x1)＋f(2－x1)4≥f(x1)＋f(2－x1)析
6：即注意：辅助函数F(x)中的“＋”与极值点偏移中辅助函数“－”的关联……(5).若函数f(x)
＝2lnx＋x2＋x解：因＋2x＋1求证：x1＋x2≥2且f(x1)＋
f(x2)=4故f(x)在(0,+∞)上↗＞0在(0,+∞)上恒成立(0＜x≤1)因x1＋x2≥2x2≥
2－x1f(x2)≥f(2－x1)f(x1)＋f(x2)≥f(x1)＋f(2－x1)4
≥f(x1)＋f(2－x1)易得f(x1)＋f(x2)＝2f(1),不妨设0＜x1≤1
≤x2即只需证F(x)=≤4而F/(x)＝4(1-x
)-1≥0在(0,1]上恒成立故F(x)在(0,1]上↗,故F(x)≤F(1)=4在(0,1]
上恒成立附加作业：1.(2011年辽宁)若函数f(x)=lnx－ax2＋(2－a)x③若函数y=f(x)的图像与x轴
交于A,B两点,线段①讨论f(x)的单调性②设a＞0,证明:当0＜x＜时,f(+x)＞f(-
x)AB中点的横坐标为x0，证明：f/(x0)＜02.已知函数f(x)=ex－x2－x－1
且f(x1)＋f(x2)=0,证明：x1＋x2≤0一、极值点偏移(一)直观认识极值点偏移二、
拐点偏移(二)判定偏移方向(一)直观认识拐点偏移(二)处理策略附录35极值点及拐点偏移(二)(三)常见题型及
处理策略(一)直观认识极值点偏移(漂移)若f(x1)＝f(x2),则x1+x2＝2x0x1x0x2(左右
对称，极值点居中)若f(x1)＝f(x2),则x1+x2＞2x0x1x0x2(左陡右缓，极值点偏左)x1x0x2
(左缓右陡，极值点偏右)若f(x1)＝f(x2),则x1+x2＜2x0(一)直观认识极值点偏移已知单峰非对称函数
f(x)则把求x1±x2；x1x2；x1÷x2……称之为极值点偏移满足f(x1
)=f(x2)(x1＜x2)(和差商积)的确界问题若f(x1)＝f(x2),则x1+x2＝2x0
x1x0x2(左右对称，极值点居中)若f(x1)＝f(x2),则x1+x2＞2x0x1x0x2(左陡右缓，极值点
偏左)x1x0x2(左缓右陡，极值点偏右)若f(x1)＝f(x2),则x1+x2＜2x0由图易得x1+x2
2x0数法如何证明x1+x22x0呢？若有函数的简图，则易得极值点的偏移方向形法数化(一)直观认识极值点偏移
(二)判定偏移方向三导法弦中点导数法构造对称函数法其他法构造对称函数法判定极值点偏移方向已知单峰非对
称函数f(x)的极值点为x0设F(x)=f(x)－f(2x0－x)或F(
x)=f(x0＋x)－f(x0－x)同号相减周期性异号和半对称性左＋右－适当变
○②若f(m+x)=±f(n-x),则f(x)具有对称性……为对称轴为偶函数为对称中心为奇函数①若f(m+x)=±f(
n+x),则f(x)具有周期性……若若，则有T=2|m-n|若
，则有T=|m-n|本质上一样但运算量不一样构造对称函数法判定极值点偏移方向已知单峰非
对称函数f(x)的极值点为x0①若x0是极小值点，F(x)＞0，则极值点偏右设F(
x)=f(x)－f(2x0－x)或F(x)=f(x0＋x)－f(x0－x)
②若x0是极小值点，F(x)＜0，则极值点偏左③若x0是极大值点，F(x)＞0，则极值点偏
左④若x0是极大值点，F(x)＜0，则极值点偏右构造对称函数法判定极值点偏移方向已知单峰非对称函数
f(x)的极值点为x0①若x0是极小值点，F(x)＞0，则极值点偏右设F(x)
=f(x)－f(2x0－x)或F(x)=f(x0＋x)－f(x0－x)说明
：F(x)＞0即f(x0＋x)＞f(x0－x)x0x0＋xx0－x横移竖拉到同侧
高低显然用单调构造对称函数法判定极值点偏移方向已知单峰非对称函数f(x)的极值点为x0设F(x)
=f(x)－f(2x0－x)或F(x)=f(x0＋x)－f(x0－x)说
明：F(x)＞0即f(x0＋x)＜f(x0－x)②若x0是极小值点，F(x)＜0
，则极值点偏左x0x0＋xx0－x横移竖拉到同侧高低显然用单调构造对称函数法判定极值点偏移方向已知单峰非
对称函数f(x)的极值点为x0设F(x)=f(x)－f(2x0－x)或F(
x)=f(x0＋x)－f(x0－x)说明：F(x)＞0即f(x0＋x)＞f(
x0－x)横移竖拉到同侧高低显然用单调③若x0是极大值点，F(x)＞0，则极值点偏左x0x
0＋xx0－x构造对称函数法判定极值点偏移方向已知单峰非对称函数f(x)的极值点为x0设F(
x)=f(x)－f(2x0－x)或F(x)=f(x0＋x)－f(x0－x)
说明：F(x)＞0即f(x0＋x)＜f(x0－x)横移竖拉到同侧高低显然用单调④若x
0是极大值点，F(x)＜0，则极值点偏右x0x0＋xx0－x弦中点导数法构造对称函数法(
一)直观认识极值点偏移(二)判定偏移方向已知(V型)凹函数f(x)满足f(x1)=f(x2)
(x1＜x2)已知(A型)凸函数f(x)满足f(x1)=f(x2)(x1＜x2)若
，则极小值点偏左若，则极小值点偏右
若，则极大值点偏右若，则极大
值点偏左弦中点导数法判定极值点偏移方向已知(V型)凹函数f(x)满足f(x1)=f(x2)(x1＜x2
)若，则极小值点偏左弦中点导数法判定极值点偏移方向x0说明：中点
对应的切线是增函数，即x1x2x中已知(V型)凹函数f(x)满足f(x1)=f(x2)(x1
＜x2)若，则极小值点偏左若
，则极小值点偏右弦中点导数法判定极值点偏移方向x0说明：中点对应的切线是减函数，即x1x2x中三导法
弦中点导数法构造对称函数法其他法(一)直观认识极值点偏移(二)判定偏移方向已知(V型)凹函数f(
x)满足f(x1)=f(x2)(x1＜x2)已知(A型)凸函数f(x)满足f(x1)=
f(x2)(x1＜x2)若在(x1，x2)上恒成立，则极小值点偏右
若在(x1，x2)上恒成立，则极小值点偏左三导法判定极值点偏移方向
注1：该法证明涉及到：一导、二导及三导的几何意义以及泰勒定理等内容，故略去……若
在(x1，x2)上恒成立，则极小值点偏右若在(x1，x2)
上恒成立，则极小值点偏左注2：记忆方法：左小右大是V型对号函数A相反注2：三导法应该是解决极值点偏移最简捷的方法
但高数中，一般都不涉及，大题中不能用啊(一)直观认识极值点偏移(二)判定偏移方向(三)常见题型及处理策略1.基
本题型：2.其他题型：即证：x1+x22x0增量法和式增量法积式增量法：放缩法：对(指)数均值不等式法
其他法：……基本题型构造对称函数法二次函数拟合法齐次化(换元法)———对(指)数均值不等式法与通法相比：
简捷明快，操作量少极值点偏移缺点：优点：②代数式的运算能力要求较高尤其是对数型函数的变形，灵活性很强①非
通法.仅适用于简单的指对型函数③一般的高考中：对(指)数均值不等式不允许直接使用，若要证明，哪操作量……———齐次化(换
元法)①与通法相比：操作量教少极值点偏移缺点：优点：②代数式的运算能力要求较高尤其是对数型函数的变形，
灵活性很强①非通法.仅适用于简单的指对型函数②利用换元法，充分体现了化归思想：将双参x1，x2问题，化归到一元问题
t……一、极值点偏移(一)直观认识极值点偏移二、拐点偏移(二)判定偏移方向(一)直观认识拐点偏移(二)处理策略
附录35极值点及拐点偏移(二)(三)常见题型及处理策略(一)直观认识极值点偏移(二)判定偏移方向(三)常见
题型及处理策略1.基本题型：2.其他题型：即证：x1+x22x0增量法和式增量法积式增量法：放缩法：对(指
)数均值不等式法其他法：……基本题型构造对称函数法二次函数拟合法齐次化(换元法)但究其根源，是由非对称
“惹的祸”“极值点漂移”，问法变形繁多，解法灵活多样……所以“构造对称函数法”，是个不错的选择———构造对称函数法
几何意义很显然横移竖拉比高低前一后三形变数后期三步论偏移确定极值是前期结合相等到同侧作差单调判正负三用单调得结
论极值点偏移数法：形法：———构造对称函数法几何意义很显然横移竖拉比高低极值点偏移数法：……
形法：x0x0＋xx0－x下面以极值点偏右为例如何“形法数化”？简图≈单调性三用“单调性”———构造对称函
数法几何意义很显然横移竖拉比高低前一后三形变数后期三步论偏移确定极值是前期极值点偏移数法：形法：1.“
顾名思义”，“极值点偏移”，自然是分两大步……2.前期工作是第一大步；后期工作是第二大步(分三小步)3.前期工作是：用导数
法确定，原函数f(x)的极值其核心是：用单调性确定极值即第一次(正)用单调性———构造对称函数法几何意义很显然
横移竖拉比高低前一后三形变数后期三步论偏移确定极值是前期结合相等到同侧作差单调判正负三用单调得结论极值点偏移形
法：数法：S1：判定F(x)=f(x0＋x)－f(x0－x)的符号即推出f(x0＋x)
f(x0－x)S2：f(x2)=f(x1)=f[x0－(x0－x1)]
f[x0＋(x0－x1)]=f(2x0－x1)S3：结合f(x)的单调性，可得x2
2x0－x1……二用单调性三用单调性(x＜x0)(1).已知函数f(x)＝x－l
nx－a有两个零点x1，x2故f(x)在上↘；在上↗从而设F(x)=证
：因1.前期准备工作：f(x)是V型“类二次”函数且x＝1是f(x)的极小值点练习1.极值点偏移求证：x1＋x2＞
2＜0故有a＞1且(0＜x＜1)———构造对称函数法2.后期工作：三小步，两用单调性，论“偏移”(
1).已知函数f(x)=x－lnx－a有两个零点x1，x2f(x)在上↘；在上↗
设F(x)=求证：x1＋x2＞2a＞1且前期工作V型函数而第一步故F(x)在(0，1
)上↘故F(x)＜F(0)=0在(0，1)上恒成立即在(0，1)上恒成立作差单调判正负第二次应用单调性(正用)(0＜x＜1)＜0在(0，1)上恒成立(1).已知函数f(x)=x－lnx－a有两个零点x1，x2f(x)在上↘；在上↗求证：x1＋x2＞2a＞1且前期工作V型函数第一步在(0，1)上恒成立因f(x2)=f(x1)第二步结合相等到同侧作差单调判正负第二次应用单调性(正用)第三步三用单调得结论又因f(x)在(1,＋∞)上↗故,即(2).已知f(x)=lnx－ax有两个零点x1，x2,求证：x1x2＞e2证：因f(x)有两个零点,易得a＞0故f(x)在上↗；在上↘从而故有且设F(x)=.又因＞0前期准备工作：f(x)是A型“类二次”函数且x＝是f(x)的极大值点后期三步论偏移(2).已知f(x)=lnx－ax有两个零点x1，x2,求证：x1x2＞e2而＞0在上恒成立故F(x)在上↗,故F(x)＞F(0)=0在上恒成立即在上恒成立f(x)在上↗；在上↘且设F(x)=前期工作A型函数第一步作差单调判正负第二次应用单调性(正用) |
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