增量分析下的测度问题

论增量分析视野下的测度问题、微积分求导及连续统的可数性区域供热编辑部（100028）沈卫国内容提要：黎曼积分，有不可积函数，
而勒贝格积分规定，处处稠密的有理数域的测度为0，而原本同样是处处稠密的实数域或无理数域的测度才不为0。这种“规定”唯一“正当”的理
由，就是通常被认为是“不可数”的实数域或无理数域是连续的（连续统），因此才有非零的测度值。而“可数”的有理数域被认为是不连续的，所
以测度只能为0。本文经分析指出，此种理由不能成立。而在笔者提出的“增量分析”的观点下，测度不过就是增量本身，因此是理论更加合理自然
，也更加简化。黎曼积分，使传统微积分中不可积的一些函数可积了，而增量分析，使黎曼积分中一些测度为0的积分域可以不为0了。对微积分求
导及连续统的可数性问题，均在前期大量工作的基础上，又提出更加有力的全新的观点，使相关理论更为简洁、明确，达到了无可置疑的程度。关键
词：数学分析；微积分求导；测度；黎曼积分；勒贝格积分；可数；不可数；可积；不可积；增量分析；实数；有理数；连续统；狄利克雷函数；极
限；贝克莱悖论测度概念及勒贝格积分中的问题及解决办法勒贝格从定义明确得到“一个区间的测度等于它的长度”[2,p240]，同时又定义
可数集合特别是有理数集合的测度为0。这样我们会发现一个勒贝格不可积的函数。这个函数的定义域是一个闭区间，其的下界（左边界）是一个无
理数，而上界（右边界）是一个有理数。函数值为1。由于有“区间的测度等于它的长度”，那么显然，由这个结论，此区间的“长度”也就是测度
应该等于其上界（右边界）减去其下界（左边界），也就是那个作为右边界的区间中最大的数（这里是有理数）减去左边界的最小的数（这里是无理
数），但又由有理数的测度为0这个定义，这个作为上界（右边界）的最大的有理数的测度显然也为0，如此，此区间的“长度”也就是测度根本无
法确定。因为由无理数的稠密性，没有办法确定小于那个最大有理数的第一个也就是最大的无理数。也就是从左边“紧靠它”的那个无理数。因此，
此段区间的长度也就是测度，在按勒贝格定义有理数的测度为0的前提下，根本就无法确定。因此是勒贝格积分不可积的一个函数。当然，可以用开
区间的积分或者取边界点是极限的观点来弥补，也就是在这个“特殊的”情况下，我们求得的，不是一个确定积分值，而仅仅是一个极限值。但如此
一来，又会产生一个更严重的问题：既然边界上的有理数存在，就只能求得极限值（非确定值）了，那么，对区间中的那么多有理数点，难道就不该
取极限而完全忽略吗？显然不应该。于是，可以断定，由勒贝格积分求得的任何值，都只能按极限值看待，不能作为精确、确定值看待。而勒贝格却
是明确定义了连续统是有确定测度值的，这是一个悖论甚至矛盾。因此，如果如此简单明确的一个区间定义都不能解决，可见勒贝格理论的局限性。
这反映出从一开始，它就不是没有问题的：由定义得到的测度即区间长度的结论，和有理数的测度为0的定义，直接矛盾。这反映出理论在根本问题
上的缺失。勒贝格理论的根本问题，本质上涉及长度究竟为何这样的老问题。显然，由其论述中频繁出现的可数、不可数这样的概念可以知道，勒贝
格其实是认为可数的有理数点的总和，其“长度”为0。而由于无理数点是不可数的，因此要比有理数点多的多，所以它就是所谓“连续统”（或者
更确切地说是就拿它当“连续统”），起码很近似“连续统”。此一理论或定义，混淆了点与长度的根本区别。这是它产生问题的本质原因。事实上
，我们说任何单个的点，无论是有理点还是无理点，都是没有“长度”（不妨就说“测度”）的，也就是其“长度”为0。于是，多少个点相加，等
于多少个0相加，当然只能还是0。哪怕是所谓“不可数”个0相加也罢。勒贝格理论不管其是不是明确指出来了，它本质上是认为不可数个0相加
不是0。是有非0数值的。而可数个0相加才是恒为0。如此，只有无理数点集合，才有非0的长度概念。我们看出，此种观点就算其“总数不可数
地多”，也是不成立的。它只是一个人为的规定、定义，而不是理性分析的结果，尽管其发明者把它弄的看起来像这样也罢。勒贝格积分，声称解决
了黎曼积分不可积的函数的积分问题，比如狄利克雷函数[2,p113,p121]。此函数由于分别定义有理数点和无理数点的不同值，是处处
不连续的。从定义域出发的黎曼积分对其无能为力，而勒贝格声称其直接从值域出发，解决了这个问题。但实际上由仔细分析可知，从值域还是定义
域出发只是个形式或次序，根本的还是勒贝格实际上是假设了“区间中的无理数是连续的”，也就是连续统（起码可以看成就是连续统）。因为当我
们真的做了这个假设之后，黎曼积分对此函数照样可积。换言之，如果不做这种假设，任你如何从值域出发，也不具备可积的条件。勒贝格在理论上
兜了一个大圈子，实际上不过是在黎曼的基础上作了相应的、看起来并无道理的假设。也就是本质上是把黎曼不敢积或认为不能积的函数，就那么人
为地积起来了。而不再管其究竟有无道理和有没有什么内在的矛盾。我们说，这里有必要将“点”与“长度”的概念作一个彻底的澄清。一个抽象的
点本身，是没有非0的长度、大小的。或者说其长度、大小为0。但数轴上的一个点，其与原点（位置为0处的点）的“距离”或“位置的标度”，
用一个数值表示，而这个数值可以是整数、有理数、无理数。也就是说，在此观点下，有理数因为在数轴上也有其位置，因此也就有其距离原点或数
轴上任何一点的“距离”也就是长度概念。勒贝格假设有理数集合的测度（长度）为0，而无理数则不为0的唯一说的通的理由，就是必须把抽象的
点本身看成是有长度的，只不过有理数点太少（可数），此累积长度可以忽略不计，而无理数点很多（不可数），其累计长度几乎就是线段的总长度
。但如此，等于模糊了点与长度、距离、区间的本质区别。因此必然在理论中产生矛盾。就算我们承认抽象点长度为0，但认为相邻二点间的间隙再
小也存在（甚至可以是不可数无穷小），但这种说法与单个点有长度其实并无区别。更何况由点的稠密性，通常根本就没有什么相邻的二点存在。而
且就算有，也不能单单不允许可数的有理数间存在这种关系。有人也许认为，既然有理数是可数的，那么，其每两个点间的“间隙”必然存在而且可
数。但实际上不要忘了，康托在证明有理数可数时，是没有按其大小顺序去“数”（罗列）的。实际上，严格按大小顺序，根本无法排出任何区间中
的有理数集合。而两个相邻的有理数如果有的话，其间隔当然必须能够从小到大按顺序“数”（罗列）出来。但这又显然要求能够按大小顺序把有理
数“数”（罗列）出来，但这当然做不到。因此，这实际是一个一般情况下不存在两个相邻的有理数进而有其间隔的一个明确的证明。而且就算我们
认定有这样的“相邻”与“间隔”，那也仅仅是人为的“规定”，没有现实理论基础。况且此时二点间的间隔只能是笼统的“无穷小”，根本无确定
值，也就没有办法搞什么定量化的积分运算。而且这两个有理点间，不是还会有无理点吗？这问题就更复杂了。假设有这样的一个函数，其定义域为
区间[0，1]，其中一半的无理数取某值（比如0），另一半的无理数取另外的值（比如1）。如果以区间中的0.5也就是中点为界地取这两部
分无理数，当然此函数是可积的（甚至黎曼可积，测度也就是“长度”各为1/2，可加）。如果这两部分无理数在区间是随机地分布的，也就是两
部分相混在整个[0，1]区间，无法区分，则此时由勒贝格积分，仍然可积（黎曼不可积，测度仍然各为1/2，但已经无法严格区分不同区域了
）。但如果我们规定，凡区间中第五位为数字3的无理数取一个值（比如1），而其它的无理数取另外的值（比如0），勒贝格积分究竟是多少呢？
根本无法确定了（因为测度不好分别确定）。也就是勒贝格不可积。如果我们认为就按多的无理数的那一方来确定非0测度值，那少的一方的测度必
为0，而此时这个少的无理数集合也是不可数的，也就是有不可数集合也是0测度的（不仅限于可数集了），遂使整个理论的基础动摇。如果把这少
的无理数集合的测度认为是非0的，一个是测度值根本无法确定（前面已述），另一方面，这样的无理数集合有不可数多个，如果每一个都有非0的
测度值，则相加后区间的整个测度值非为不可数无穷大不可，也不行。总之，按此种观点，必然产生矛盾。以上讨论，还都是基于实数、无理数不可
数的理论是正确的前提之下的。但实际上，从笔者一系列文章的分析可知，实数不可数的康托证明根本不能成立（无论是对角线法还是区间套法）[
3][4][5][6][7][8][9][10][11][15]。但如果实数不可数不是真的，如此一来，本来就暗含矛盾的勒贝格积分理
论，顿失其存在、成立的依据。明白说，此时再把有理数的测度（长度）看成是0，根本没有任何道理。因为无理数此时也是可数的（难道它的测度
也是0吗？）。这其实更符合直观，也就是无理数和有理数，其实是相互“稠密”的。任何两个无理数之间，都有有理数存在，反之亦然。如果说无
理数大大地多于有理数，直观上，起码应该存在两个无理数，其间没有有理数才可。以上这些问题，在笔者提出的“增量分析”理论下[1][12
][13][14]，都可得到简单、明确的澄清和解决。“增量分析”意义下的积分，只不过是相对大些的微分。它的积分区间不要求是什么无穷
小或趋近于无穷小。很明确，就是有限值。而且也不取决于定义域中函数的连续与否。它只取决于函数两端的增量区间。至于这个区间中的函数的间
断与否及间断类型，一概不管。特别是，这一理论中没有0测度的集合。从而测度概念除了长度距离，再没有任何意义与区别。如此，当端点（一个
或两个）是有理数时，也会有区间，也可以有非0的积分值。比如，对狄利克雷函数，由于有理数的测度不再为0，当其函数为1时，其积分是有非
0值的。对“直尺函数”（托梅函数）[2,p172]也一样。此时狄利克雷函数在有理数情况下其函数值如果为1，作为被积函数，它就相当于
通常的导数（值为1的），通常我们说一个函数连续，指的是对区间中的任何数，无论是有理数还是无理数。在此传统观点下，狄利克雷函数是处处
不连续的，因此也就是没有导数的。但在笔者的“增量分析”下，由于并不要求增量的无穷小或者趋于什么极限值（它可以是有限值），因此，导数
概念起码在数值上仅仅就是函数的增量与自变量的增量的比值。所以这里既然仅仅对有理数有非0值，那么，完全可以扩展导数概念，使其在这里仅
仅对有理数有效（因为这里对有理数有共同的函数），或仅把有理数看成是连续的，而不管无理数此时怎样（当然，同理我们对无理数也可以这么看
）。此种导数，可以称其为是“条件导数”以区别于传统的导数。又由于增量分析只涉及区间的边界点，因此对本文开头定义的那个函数区间（一头
无理数，一头有理数），既然涉及开区间，那么不妨以特例看待，求得的是一个极限值。但这并不像勒贝格理论那样可以推出对所有积分都是极限值
（而非确定、精确值）这样荒谬的结论。事实上，勒贝格积分理论与传统微积分理论可以说相当程度上是脱节的，它脱离了导数、微分等概念，为了
解决传统微积分中的固有问题，它可算是另起炉灶。而笔者的增量分析，可以很好给与传统微积分以合理的解释。文献2指出：“继续采用这种观点
.............................有可能找出第1类集合，它们是非可数的和正测度的集合，同时找到零测度集合，
它们是非可数的和属于第二类集合。很明显，这些概念已经使数学家们陷入了某种困境。”【2，p241】事实上，产生如此深层次的混乱的根本
原因，一如上文所述。而不用作为微积分本源的“增量分析”，以上“困境”根本无法解决。沃尔泰拉定理分析与无理数连续、有理数不连续问题的
否定性分析沃尔泰拉1881年证明定理：在区间（a,b）上不可能同时存在两个点态不连续函数，其中一个函数的连续性点是另一个函数的不连
续性点，反之亦然。[2,p206]篇幅所限，这里不可能详细讨论。但必须指出，沃氏在这个证明中犯了与康托证明实数不可数相似的逻辑错误
。他先是假设存在两个这样的函数，然后用闭区间套法，先求得一个函数的连续性，然后紧接着说“由于可以把同样的论证一字不改地用于另一个函
数”，因此证明这实际是同一个函数，从反证法否定了原假设。但其实，问题就出在这里的“一字不改的相同论证”上。既然已经假设了两个函数不
同，就不能再用相同的方式构造它们。第二个函数，应该使用开区间套法来构造。这样，这两个函数就不会共用闭区间套中的那个实数了。因为开区
间套中共同具有的只能是空集。也就是没有哪个实数会为所有这些开区间所共有[2,p183]。此外，区间套法的本质，其实与通常的求极限是
同构的。既然极限分可达与不可达两种（对应于闭区间套的有公共点与开区间套的无公共点）那么该极限点就完全可以分属于不同的函数。由此，原
证明中的关键步骤有问题，证明结论不成立。这个证明的逻辑本质，等于是想证明兄弟两人不可能一好一坏，却通过找到一样好的兄弟二人来做证明
。由于这个定理不成立，其重要推理“由于存在一个在有理点不连续而在无理点连续的函数（直尺函数），所以不存在无理点不连续而在有理点连续
的函数”也不成立。事实上，我们完全可以仿照直尺函数[2,p171-172]，定义函数：当x为有理数时，函数=0；当x=p/q，其中
p为小于q的无理数时（q为整数），函数=1/q，这样的函数，应该在有理点连续而在无理点不连续（参照直尺函数很容易看出）。至此，微
积分、数学分析中的核心问题，当可获得澄清。其理论被重新解释、理解、深化与简化。无论对理论的自洽要求还是教学的易理解性，都有现实意义
。三、微积分求导问题进一步的分析和补充笔者在文献14中对微积分求导的极限法有详尽的分析，指出并证明了增量比值函数在0点不存在有意义
的极限。这里在做些补充与说明。以二次函数为例，牛顿、莱布尼兹时代的微积分求导是基于以下公式1的“增量比值函数”的：......
.................................................................
.................（1）然后令等式右边的△x=0，得到二次函数的导数y’=△y/△x=2x。但众所周知，此时产生著
名的“贝克莱悖论”。也就是要么公式1的左边分母为0，要么得不到精确的导数值（这里是2x）。为了解决这个问题，后世学者提出极限法，也
就是所谓“标准分析”，于是相应的求导过程（以二次函数为例）见下面的公式2：..........................
.................................................................
（2）其中由于要先做除法消去分母上的自变量△x，因此是不成立的，理由在文献14中已经充分给出了，按该文中笔者的揭示，实际上，要想
得到导数2x，我们实际能做到的是下面的公式3或公式4所显示的步骤：...............................
...............................................................（3
）...............................................................
................................（4）有意思的是，公式3中里边的那个极限号下我们写成“△x/△x→
1/1”而不是“△x→1”,并非故弄玄虚，其数学含义是表示一条斜线的线性方程y=Kx+a，其增量函数为△y=K△x,增量比值函数就
是△y/△x=K△x/△x，由前式除以其中的自变量△x而得到，同时也就看出此斜线的“斜率”也就是自变量的系数，即上式中的K。如果我
们把极限号中公式（其实也就是公式1）的通常写法(2x·△x+△x2)/△x写成（2x+△x)·(△x/△x),我们就可以看得很清楚
，（2x+△x)无非就是一个线性函数方程的自变量的“系数”K，也就是斜率，只不过其中又出现了自变量△x（注意，这里x并不被看作是x
的增量比值函数的自变量△x），因此“K”此时不是个常量，而是变量，它随曲线上的那个与割线交叉的动点的变化而变化，当曲线上两点的横坐
标（自变量）的间距△x→0或干脆就是等于0时，曲线的割线变切线，割线的斜率K=2x+△x,变成了K=2x。需要说明并强调的是，在第
一步我们是先令公式中的△x/△x→1/1或就等于1/1也就是“数值意义上”的1的。也就是在微积分传统求导公式中无意中随意所作出的所
谓“消去分子分母上的△x”（当然实际上就是做除法），其本质内涵就是固定了曲线的割线上的两个点的横坐标差（增量）为1，而且不再随曲、
割线的交点的移动、变化而变化。如果我们令公式中全部的△x→1，这意味着公式中的△x2/△x=1，自变量的系数为2x+1，而此时对应
的斜线是自变量△x=1时的二次函数的割线方程。只有在下一步当作为系数K中的一部分的那个的△x→0时，才意味着曲线上与割线相交的二点
合二为一，变成一点，此时的方程，自然就是切线方程了。但需要仔细辨别：当作为直线方程系数一部分的△x→0或者△x=0时，这个直线方程
的自变量本身的那个△x已经在第一步求极限时就等于“1”了，它成了一个固定的非0数（这里就是1），不再会随着作为系数一部分的△x→0
或等于0而等于0。换言之，我们此时求出的切线斜率，的确是此切线上横坐标间距为1（即△x=1）时的两个点纵坐标差与横坐标差的比值，再
也不会是什么0/0了。具体到上面的极限方程，也就是此切线二点间的纵坐标差△g=2x，而对应的横坐标差△f=1。至于我们可以更好地
用公式4取代公式3的基础，是分子分母相同的△x/△x=△f/△f=1/1。作了如此的代换，我们就可以把△x/△x与系数K中的△x严
格区别开以易于理解。此时它对应的直线为g=Kf+a，增量函数为△g=K△f，增量比值函数为△g/△f=K△f/△f=K。注意，这里
的K虽然是系数，但却不是“常数”，而是△x的函数，严格讲应该写成K(△x)。至于以上步骤的几何直观图，见文献14中的图1、图2，不
过使图中的△f=1而已。此处不再重复。此外，应该注意的是，由于我们已经指出了传统微积分极限法的问题，也就是增量比值函数在0点的极限
根本就不存在，因此极限写法完全不是必须的。因为此时的极限，就是该点的函数值，而不是本身就不好理解、深层次上必须由“上确界公理”规定
才存在的什么“不可达极限”。上面公式3的极限写法我们完全可以在公式1的基础上用下面的“运算步骤”直接了当地表达：在(2x·△x/△
x+△x·△x/△x）中，第一步，我们把△x/△x单独“分割”出来，先令△x/△x=1/1=1，得到2x+△x；第二步，再令其中的
△x=0，最终得到2x。明确说，这里根本就不需要什么极限（当然要也可以，因为此时的极限就是“可达极限”，与函数值是一回事）。之所以
写出前面那个完全不必要的极限式（公式3），不过是拿它与传统极限式（公式2）对比分析罢了。特别需要强调的是，在前面的第一步完成△x/
△x=1/1=1后，公式1左边的△y/△x分母上的△x此时已经等于1了，下面第二步的系数K中的那个△x=0时，对它已经毫无影响，因
此，所谓贝克莱悖论自然不再存在。而原先人们并未意识到无意中很随意地消去或除去分母上的自变量△x究竟意味着什么（也就是实际上是要求得
△x/△x=1/1=1），因此没有及时令公式1左边的△y/△x分母上的△x也适时相应地变为1，所以才会产生令人费解的贝克莱悖论。公
式3的极限情况（虽然多余但也可以）也一样，这里不再赘述。与公式4之于公式3的情况相似，公式1更严格地最好用下面的公式5代之：..
.......................................（5）这样第一步令△f=1（此时因为不会混淆，倒不必
非写成△f/△f=1/1了），第二步令△x=0，即可完成求导过程。几何直观同样参见文献14中的图1、图2。通过以上分析我们可以看出
，为什么传统微积分极限法求导法（公式2）所依赖的极限并不真的存在，但它却可以“求出”正确的导数值了。全部名堂就在分子分母相除以消去
分母上的自变量△x上。把这个以往被人完全忽视的“步骤”如上面所示地分析透彻，我们就可以彻底抛弃根本就不存在的增量比值函数的“极限”
，完全独立并且简单地得到导数，并给导数以有别于传统微积分的真实含义（见文献1）。换言之，如果我们早期在牛顿、莱布尼兹时代就能达到上
面这样的认识，公式1就足够完备了（当然还需要上面笔者的“解释”），由公式2所表征的极限法根本就不会也没必要被提出，进而也就不会有它
所产生的所有问题，而微积分的基础早就应该是极其牢固的。并且显然，在导数的新的解释或则定义下【1】，微分、积分中相应问题也不再存在，
因此这绝不仅仅是一个求导方法的问题，而是一个观念的更新问题。至此，毫无疑义的结论：基础微积分教科书只能改写。此外，几年来笔者对微积
分问题的研究，也是有一个逐步认识过程的。涉及的论文比较杂乱，为了使有心读者少走弯路，节省时间成本，我这里简单地做个提示：笔者的实际
研究路径，是从发现求导也可以直接用解析几何求曲线的切线方程的方法，进而不是只能用极限法而开辟一个新的求导法（文献1）→虽然承认0点
的有极限，但用极限代替原增量比值函数0点的值是回避问题，贝克莱悖论没有最终解决，并提出导数的新定义（文献1）→系统、明确地提出“增
量分析”，以取代标准、非标准分析（文献12、13）→意识到0点的极限本身就根本不存在并证明之（文献14）→从直接对牛顿、莱布尼兹求
导及极限法求导的详尽分析，意识到原来只要透彻分析并给以全新的解释，就可以直接从他们的公式得到增量分析的结论的（本文）。可见，上述研
究路径是曲折的。读者没有必要跟随这个路径再去兜圈子了。阅读顺序应该反过来：0点极限根本不存在（文献14）→对传统微积分求导公式的详
尽分析，并得到增量分析基本要素（本文、文献1中导数定义）→系统的增量分析（文献12、13、1）。如此，可以节省时间。尤其要注意，因
为0点的极限已经被证明不存在了，前期对极限如何不应取代原函数值的讨论，就显得多余了，因此只供参考，不要作为重点了。最后可顺便提下，
传统微积分极限法（标准分析）当然是依赖于实数也就是所谓连续统理论，而后者则要依赖与实数理论中的“上确界公理”。可见，极限法的依据本
质上说既不是自明的，也不是证明的。它依赖于以公理面目出现的“规定”而已。此外，特别要强调，笔者上面的理论或“解释”，可解贝克莱悖论
和极限论之困，但却并不依赖与极限论的错误。也就是退一步说，假设极限论不错，也不就是笔者的理论或“解释”错。它本身就完全可以独立存在
于标准或非标准分析，还不说彻底取代它们。至于孰优孰劣，识者自有判断。总之，导数的本意就是△x=0点的确切函数值，而再也不用什么△x
→0的永远不可达到0点但又确实存在的本质上必须用非证明的上确界公理来保障的那个虚无缥缈的“不可达极限”。如此，有一个不可忽视的“副
产品”：给微积分的基础教学省去了不少麻烦。四、与有理数情况相类比，说明康托对角线法的问题五、将二维空间的表扩展到三维，以证明
康托对角线法的非完备性及连续统的可数性文献15中，在笔者提出的“多-一进制混合进位制”（十-一进位制）下，证明了康托对角线法的问
题以及给出了实数集合可数的一个基于上述进位制的证明。但那个方法稍显复杂。这里给出一个更简单直观的方法。笔者在以往文献中一再指出，
康托对角线法依赖于实数的多进制表示法，也就是多进制下每一位的唯一的那个位置上可以有多个可变状态的事实。而显然，每一个不同的状态，其
目的就是被设计用来表示不同的实数的。这个“一对多”的函数对应关系正是人们之所以要创造多进制表示法的初衷。我们现在仍然保持多进制，但
把“每一位的唯一的那个位置”，改成多个位置，比如，十进制就是十个位置，二进制就是两个位置。如此，康托对角线法原先依赖的那张二维平面
表，就完全可以用三维立体表来代替。我们用XYZ三个空间坐标分别表示：X坐标为实数的排列方向；Y坐标为多进制下的位数；Z坐标为多进制
下每一位的所需要的不同状态。十进制下就是十个位置，二进制下就是两个位置。为简单起见且不失一般性，我们在这里就以二进制为例，见图1：
图1在图1中我们看到，不像康托对角线法的作法，现在我们将实数与其每一位分别“安排”在x0y0z0和x1y1z1两个平面上，同时
在Z方向上对应的两个实数（X方向的实数个数坐标和Y方向的该两个实数的每一位的坐标都相同）互补，也就是，如果一个“平面”上的某一个实
数的某一位如果是1，则对应的另一个“平面”上的相应实数的相应位就是0，反之亦然。这当然不影响我们仍旧可以假设实数可数，因为把实数排
成一列还是两列，都不影响其可数与否。于是，在图中我们看到，x0y0z0平面中对角线A中的数值排列为101101..........
.........，而与之对应的x1y1z1平面的对角线B中的数值排列为010010......................
.........。二者的每一位互为反数。明白说就是原先由康托对角线法在对角线上逐位求反得到的不在x0y0z0平面的那个实数，现在
出现在了x1y1z1平面的对角线上了。进而这个实数就“完全可能”出现在该x1y1z1平面的列表中。因此，在这样把二进制实数排成两列
（对应地，十进制就要排成十列）的排法下，按康托对角线法的做法，就根本不可能再证明实数不可数（因为显然:任何一个可数集合，其元素的排
列方式，当然没有限制）。也许有人会辩解：重新把这两列实数合并成一列，也就是两个平面重归一个平面，不就又可以使用康托对角线法了？实际
上不行。对这样的操作，当然并无特别限制，也不应该有限制。但由于这两个平面的对应位置分别已经充分地表达了二进制的两个状态，于是，在合
并这两个平面时，必须始终坚持这一点。明确说，在就是合并后的那个单一平面中，不再允许使用对角线法中的每位的“求反”（二进制）或“求异
”（三进制以上）操作，或虽然不“操作”（容易产生误解），但允许在每位的“单一位置”上现实就存在两个不同的状态（二进制。其它多进制下
就是与之相应的“多个状态”）。如此，自然也就根本得不到对角线法得到的结论——实数集合不可数。笔者在以往论文中，早就提出既然已经假设
了全部实数可以排成一列，那就不应该再允许对角线法通过对角线上的逐位顺序“求反”、“求异”操作以得到不在该列的实数。这里，算是把这个
思想成立的理论依据彻底表述清楚了。总之，实数排列在单一平面上，并且每一位的单一位置上都可以有两个状态（二进制下）的前提下，康托对角
线法可以而且也仅仅“证明”了实数不可能被完备地排列出；但在上文的“双平面”模式下，康托对角线法却没有也不可能证明没有列出全部实数。
而一个证明方法如果真的有效，它就应该始终有效，在任何情况下都有效。况且由可数的定义，仅仅在一种情况下（某种特殊的函数、对应关系下）
不能列出全部实数，并不就是不可数，只有在全部对应关系下都不能列出全部实数，才是不可数。如仅单平面不可列出，双平面就不一定不可列出，
则不符合不可数的定义。因此显然，康托对角线法最终应被确定没有证明实数不可数。同时，只要对角线法不可用，按与文献15中“十-一混合进
位制”类似的思路，我们就可以很容易地证明实数集合是可数的：在上面的双层实数表中，设n为实数的小数位数（n当然任意），则前2n个实数
可以穷尽前n位的所有排列方式，我们就按这个要求去排实数。如果有一个实数不在此表中（不可数），则必有一自然数n，此实数的前n位的排列
方式必然不在已经列出的2n个实数的前n位的所有排列方式中，也就是与这所有的已经列出的2n个实数都不同。但按假设的排列方式，这不可能
，因为这2n个实数是穷尽了前n位的所有不同排列方式的。因此，由反证法，所有实数都在此表中，也就是实数集合可数。得证。我们可以看到，
在多进制表示下（自然包括二进制），也就是实数小数的每一位都可以有相应的多个不同状态时，一个二维平面显然是无法表示出全部实数及其每位
的状态的，也就是说，二维平面上的每一个点都得表示大于2的多个状态，于是不可能作到每点的单值性；反之，当我们把维数扩展到三维的立体空
间时，却可以完备地表示出全部实数及其每一位的状态。换言之，我们可以用三维立体空间中的每一个点，唯一地表示出实数每一位的唯一的一个状
态。也就是说，对一个三维空间而言，表达实数及其每位状态是完备的。于是，起码我们不能再证明（由康托对角线法）在这种排列方式下（一层变
双层）全部实数不能被列出即不可数（严格说这只是实数不可数的必要条件）。在数学上，我们有时必须扩展空间维数的目的，就是用高维空间来表
达低维空间所不能表达的事物属性，否则还要多维空间扩展何用？从实数排列的情况看，正说明也不过说明了这个问题。最后，文献15中提出同样
可以达成证明康托对角线法不可用且可以证明实数可数的“十-一混合进制”实数表示法，但那里只有文字表述而没有视图，不太直观。这里以0.
825为例，补充一个该进位制下的直观示图，见图2：图2参考文献1、沈卫国，论微积分求导公式的一种全新推导模式(解方程法)及贝克莱
悖论的彻底消除，天津职业院校联合学报，2013年2期2、[美]邓纳姆（Dunham.w.)，微积分的历程：从牛顿到勒贝格，人民邮电
出版社，2010年8月第一版3、沈卫国，论数学基础问题，论自然科学的若干基本问题，海风出版社，1998年8月第一版4、沈卫国，论熵
、不可逆过程及数学中的无穷，海风出版社，2009年8月第一版5、沈卫国，论康托对角线法的局限性与数学、逻辑学中的一些基础性问题，天
津职业院校联合学报，2008年03期6、沈卫国，论序数及连续统的可数性问题与正则公理，天津职业院校联合学报，2011年05期7、沈
卫国，关于康托对角线法推导问题的进一步解释及说明，国家科技图书文献中心预印本8、沈卫国，再论康托对角线法中隐含的简单形式逻辑问题，
国家科技图书文献中心预印本9、沈卫国，康托对角线法及其错误的实质，国家科技图书文献中心预印本10、沈卫国，康托对角线法推导中的逻辑
误区及其函数关系的再分析，国家科技图书文献中心预印本11、沈卫国，康托对角线法及区间套法没有证明实数不可数的一个证明及其逻辑问题分
析，国家科技图书文献中心预印本12、沈卫国，微积分核心概念的无矛盾表述——不需要无穷小、极限等概念的增量分析，天津职业院校联合学报
，2015年05期13、沈卫国，微积分核心概念的无矛盾表述（续）——不需要无穷小、极限等概念的增量分析，天津职业院校联合学报，20
15年11期14、沈卫国，微积分极限法（标准分析）的本质及问题详析，天津职业院校联合学报，2017年06期15、沈卫国，康托对角
线法中的逻辑问题及由此引出的反证法使用中必须注意的推理误区，前沿科学，2017年02期作者简介：沈卫国（1950-）男，上海人
，前区域供热杂志主编，西北工业大学原逻辑与人工智能研究所研究员，中国人民大学原现代逻辑与人工智能研究所研究员，主要研究计算机控制系
统，数学基础理论等。Onthemeasurementoftheincrementanalysis,thederi
vativeofcalculusandthecountabilityofcontinuumSHENWei-guoA
batract:Riemannintegral,productfunction,andlebesgueintegral
regulation,everywherepopulatedmeasureofrationalnumberfiel
dto0,andoriginallyisthesameeverywherepopulatedmeasureo
frealnumberfieldorirrationalnumberfieldis0.Theonlyjust
ificationforthis"stipulation"isthattherealorirrationalf
ields,whicharegenerallyconsideredtobe"uncountable",areco
ntinuous(continuous),hencethenon-zeromeasurevalues.Therati
onaldomainof"countable"isconsideredtobediscontinuous,so
themeasurecanonlybe0.Theanalysisindicatesthatthisreason
cannotbeestablished.Intheviewof"incrementalanalysis"prop
osedbytheauthor,themeasureisonlytheincrementitself,so
thetheoryismorereasonableandnatural,andmoresimplified.Th
eRiemannintegral,whichcanintegratesomefunctionsthataren
otintegrableintraditionalcalculus,andtheincrementalanalys
is,isthatsomeoftheintegralsintheRiemannintegralare0.F
orthederivationcalculusandcontinuum,countabilityinearly,
onthebasisofalotofwork,andputforwardamorepowerfulne
wpointofview,andmaketherelatedtheorymoreconcise,clear,
tothedegreetowhichthereisnodoubt.逐句翻译Keywords:Mathemati
calanalysis;Thederivativeofcalculus;Measure;Riemannintegral;
Lebesgueintegral;Numbered;Donotcount;Integrable;Notproduct;In
crementalanalysis;Realnumber;RationalNumbers.Continuum;Dirichl
etfunction;Thelimit;Berkeleyparadox以下我们与有理数相互对比，谈谈一个证明的假设阶段就可
能出错的逻辑问题。我们说，有理数集合已经被康托相当经典地证明是可数的。因此如果我们确定了在一张表中已经列出了全部有理数（比如就按
康托证明有理数可数的那张表中的遍历次序来列出有理数），那么，就不应该也根本不可能再在这个表的对角线上产生任何一个不在这张表中的有理
数而只能得到一个无理数。但如果我们仅仅是“假设”了此表中列出了全部有理数，而没有具体真正去按一定次序无遗漏地列出全部有理数，那么，
一但当我们在对角线上实际得到了一个不在此有理数表中的有理数，我们立刻知道原先所列出的并不是全部有理数，也就是这个假设是错的，尽管有
理数本身是可数的。既然是假设，顾名思义，其本身就可能出错为“假”。对照实数情况，其实也是一样。康托对角线法中所做的，仅仅是“假设”表中已经列出了全部实数，只是这么一说，显然没有“确定”它就是按某种排列方式已经确实列出了全部实数（否则也就不需要这个对角线法的证明了），因此这个“假设”的真正含义就不能不有两个：1、一个是确实列出了全部实数（前提是已经（显然没有被公认地做到）或者“可能”用其它方法证明实数可数（注意：我们这里谈论的是康托对角线法实施前的情况，因此不能用对角线法得到的所谓结论去否定这一点，否则就是逻辑循环论证）），也就是这个“假设”其实就是一个“确认”，尽管仅仅是“假设下的确认”也罢；2、一个是表中没有列出全部实数，也就是这个假设是错的，但这并不能说没有列出就是实数不可数；3、实数确实不可数，也就是根本就不可能用任何方式列出全部实数，而不仅仅限于这里的这个具体的列法。既然这个“假设”包含了这三种可能性，我们就必须全部考虑。在1情况下，既然是“确认”，它也是假设的可能性之一，那么，就不应该再允许在此表对角线上进行逐位求异操作（或虽然不去真的“操作”，但对角线上所得到的那个不在此表中的实数不应该再存在），也就是我们应该否定该表中实数小数的每位的多值性，尽管它是多进制下的。明白说，此表中的实数，每位的状态或数值一旦确定了，就不应再允许改动。多进制的多值性，在此表中仅仅应该体现在不同实数（在表中是纵向排列）的同一个位数（在表中是横向排列的），而不是在同一个位数的位置上还可以有不同值。也就是多进制的每位的多值性在此表中不应体现在每位的位置上。明白说，在每位本身的位置上（表中横向），只能是单值的（不允许再有什么“翻转”、“求反”、“求异”，既然它已经被唯一地选定，就是固定死的。因为你已经假定“确认”了此表包括了全部实数，怎么还可以随意更动此表的状态来有意“制造”出一个不在此表的实数呢？这不是直接否定了自己的假设吗？但如此，康托对角线法当然无法进行下去。在2情况下，如果在对角线法下“证明”了这个表中没有包括全部实数，由于上面分析的情况1的存在，也没有证明实数就不可数。它只是证明是这张实数表不完备而已。在下一小节中，我们将把原本二维的实数表，扩展到三维以更加有力地说明这个问题。至于情况3，也有可能，但永远有情况1、2存在，因此不能由康托对角线法来证明。而且由于任何集合与自然数间的一一对应，都要依赖与具体的函数关系（对应方式），而本质上存在有无穷中这样的函数关系。因此如欲证明对所有这些函数关系下实数都不能与自然数一一对应，应该是根本不可能的。