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| 2018年上海市崇明区高考数学一模试卷 |
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2018年上海市崇明区高考数学一模试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）
1．（4分）已知集合A={1，2，5}，B={2，a}，若A∪B={1，2，3，5}，则a=．
2．（4分）抛物线y2=4x的焦点坐标为．
3．（4分）不等式＜0的解是．
4．（4分）若复数z满足iz=1+i（i为虚数单位），则z=．
5．（4分）在代数式（x﹣）7的展开式中，一次项的系数是．（用数字作答）
6．（4分）若函数y=2sin（ωx﹣）+1（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=．
7．（5分）若函数f（x）=xa的反函数的图象经过点（，），则a=．
8．（5分）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为27πcm3，则该几何体的侧面积为cm2．
9．（5分）已知函数y=f（x）是奇函数，当x＜0时，f（x）=2x﹣ax，且f（2）=2，则a=．
10．（5分）若无穷等比数列{an}的各项和为Sn，首项a1=1，公比为a﹣，且Sn=a，则a=．
11．（5分）从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人志愿者服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有种不同的选法．（用数字作答）
12．（5分）在ABC中，BC边上的中垂线分别交BC，AC于点D，E．若?=6，||=2，则AC=．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）
13．（5分）展开式为ad﹣bc的行列式是（）
A． B． C． D．
14．（5分）设a，b∈R，若a＞b，则（）
A．＜ B．lga＞lgb C．sina＞sinb D．2a＞2b
15．（5分）已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S4+S6＞2S5”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
16．（5分）直线x=2与双曲线﹣y2=1的渐近线交于A，B两点，设P为双曲线上任一点，若=a+b（a，b∈R，O为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（）
A．a2+b2≥1 B．|ab|≥1 C．|a+b|≥1 D．|a﹣b|≥2
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
17．（14分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，A1C与底面ABCD所成的角为60°，
（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；
（2）求异面直线A1B与B1D1所成角的大小．
18．（14分）已知f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1．
（1）求f（x）的最大值及该函数取得最大值时x的值；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若a=，b=，且f（）=，求边c的值．
19．（14分）2016年崇明区政府投资8千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从2017年起，在今后的若干年内，每年继续投资2千万元用于此项目.2016年该项目的净收入为5百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长50%．记2016年为第1年，f（n）为第1年至此后第n（n∈N）年的累计利润（注：含第n年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当f（n）为正值时，认为该项目赢利．
（1）试求f（n）的表达式；
（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．
20．（16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：+y2=1（a＞0，a≠1）的两个焦点分别是F1，F2，直线l：y=kx+m（k，m∈R）与椭圆交于A，B两点．
（1）若M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2是直角三角形，求a的值；
（2）若k=1，且△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，求a与m满足的关系；
（3）若a=2，且kOA?kOB=﹣，求证：△OAB的面积为定值．
21．（18分）若存在常数k（k＞0），使得对定义域D内的任意x1，x2（x1≠x2），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成
立，则称函数f（x）在其定义域D上是“k﹣利普希兹条件函数”．
（1）若函数f（x）=，（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹条件函数”，求常数k的最小值；
（2）判断函数f（x）=log2x是否是“2﹣利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；
（3）若y=f（x）（x∈R）是周期为2的“1﹣利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数x1，x2，都有
|f（x1）﹣f（x2）|≤1．
2018年上海市崇明区高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）
1．（4分）已知集合A={1，2，5}，B={2，a}，若A∪B={1，2，3，5}，则a=3．
【解答】解：∵集合A={1，2，5}，B={2，a}，
A∪B={1，2，3，5}，
∴a=3．
故答案为：3．
2．（4分）抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0）．
【解答】解：∵抛物线y2=4x是焦点在x轴正半轴的标准方程，
p=2∴焦点坐标为：（1，0）
故答案为：（1，0）
3．（4分）不等式＜0的解是（﹣1，0）．
【解答】解：不等式＜0，即x（x+1）＜0，求得﹣1＜x＜0，
故答案为：（﹣1，0）．
4．（4分）若复数z满足iz=1+i（i为虚数单位），则z=1﹣i．
【解答】解：由iz=1+i，得z==1﹣i
故答案为：1﹣i．
5．（4分）在代数式（x﹣）7的展开式中，一次项的系数是21．（用数字作答）
【解答】解：（x﹣）7的展开式的通项为=，
由7﹣3r=1，得r=2，
∴一次项的系数是．
故答案为：21．
6．（4分）若函数y=2sin（ωx﹣）+1（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=2．
【解答】解：根据正弦函数的图象与性质，知
函数y=2sin（ωx﹣）+1（ω＞0）的最小正周期是
T==π，解得ω=2．
故答案为：2．
7．（5分）若函数f（x）=xa的反函数的图象经过点（，），则a=．
【解答】解：若函数f（x）=xa的反函数的图象经过点（，），
则：（，）满足f（x）=xα，
所以：，
解得：，
故答案为：．
8．（5分）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为27πcm3，则该几何体的侧面积为18πcm2．
【解答】解：将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体是圆柱体，
设正方形的边长为acm，则圆柱体的体积为
V=πa2?a=27π，
解得a=3cm；
∴该圆柱的侧面积为S=2π×3×3=18πcm2．
故答案为：18π．
9．（5分）已知函数y=f（x）是奇函数，当x＜0时，f（x）=2x﹣ax，且f（2）=2，则a=﹣．
【解答】解：∵函数y=f（x）是奇函数，当x＜0时，f（x）=2x﹣ax，
∴x＞0时，﹣f（x）=2﹣x﹣a（﹣x），
∴f（x）=﹣2﹣x﹣ax，
∵f（2）=2，
∴f（2）=﹣2﹣2﹣2a=2，
解得a=﹣．
故答案为：﹣．
10．（5分）若无穷等比数列{an}的各项和为Sn，首项a1=1，公比为a﹣，且Sn=a，则a=2．
【解答】解：无穷等比数列{an}的各项和为Sn，首项a1=1，公比为a﹣，
且Sn=a，
可得=a，即有=a，
即为2a2﹣5a+2=0，
解得a=2或，
由题意可得0＜|q|＜1，
即有0＜|a﹣|＜1，
检验a=2成立；a=不成立．
故答案为：2．
11．（5分）从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人志愿者服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有780种不同的选法．（用数字作答）
【解答】解：根据题意，要求服务队中至少有1名女生，则分3种情况讨论：
①、选出志愿者服务队的4人中有1名女生，有C53C31=30种选法，
这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，其余2人为普通队员，有1种情况，
此时有30×12=360种不同的选法，
②、选出志愿者服务队的4人中有2名女生，有C52C32=30种选法，
这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，其余2人为普通队员，有1种情况，
此时有30×12=360种不同的选法，
③、选出志愿者服务队的4人中有3名女生，有C51C33=5种选法，
这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，其余2人为普通队员，有1种情况，
此时有5×12=60种不同的选法，
则一共有360+360+60=780；
故答案为：780．
12．（5分）在ABC中，BC边上的中垂线分别交BC，AC于点D，E．若?=6，||=2，则AC=4．
【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示，
设B（﹣a，0），C（a，0），E（0，b），∠ABC=α，
由||=2，知A（﹣a+2cosα，2sinα），
∴=（a﹣2cosα，b﹣2sinα），
=（2a，0），
∴?=2a（a﹣2cosα）+0=2a2﹣4acosα=6，
∴a2﹣2acosα=3；
又=（2a﹣2cosα，﹣2sinα），
∴=（2a﹣2cosα）2+（﹣2sinα）2
=4a2﹣8acosα+4
=4（a2﹣2acosα）+4
=4×3+4
=16，
∴||=4，即AC=4．
故答案为：4．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）
13．（5分）展开式为ad﹣bc的行列式是（）
A． B． C． D．
【解答】解：根据叫做二阶行列式，它的算法是：ad﹣bc，
由题意得，=ad﹣bc．
故选B．
14．（5分）设a，b∈R，若a＞b，则（）
A．＜ B．lga＞lgb C．sina＞sinb D．2a＞2b
【解答】解：由a＞b，利用指数函数的单调性可得：2a＞2b．
再利用不等式的性质、对数函数的定义域与单调性、三角函数的单调性即可判断出A，B，C不正确．
故选：D．
15．（5分）已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S4+S6＞2S5”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：∵S4+S6＞2S5，
∴4a1+6d+6a1+15d＞2（5a1+10d），
∴21d＞20d，
∴d＞0，
故“d＞0”是“S4+S6＞2S5”充分必要条件，
故选：C
16．（5分）直线x=2与双曲线﹣y2=1的渐近线交于A，B两点，设P为双曲线上任一点，若=a+b（a，b∈R，O为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（）
A．a2+b2≥1 B．|ab|≥1 C．|a+b|≥1 D．|a﹣b|≥2
【解答】解：双曲线﹣y2=1的渐近线为：y=±x．
把x=2代入上述方程可得：y=±1．
不妨取A（2，1），B（2，﹣1）．
=a+b=（2a+2b，a﹣b）．
代入双曲线方程可得：﹣（a﹣b）2=1，
化为ab=．
∴=ab，化为：|a+b|≥1．
故选：C．
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
17．（14分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，A1C与底面ABCD所成的角为60°，
（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；
（2）求异面直线A1B与B1D1所成角的大小．
【解答】解：（1）∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，
∴AA1⊥平面ABCD，AC==2，
∴∠A1CA是A1C与底面ABCD所成的角，
∵A1C与底面ABCD所成的角为60°，
∴∠A1CA=60°，∴AA1=AC?tan60°=2?=2，
∵S正方形ABCD=AB×BC=2×2=4，
∴四棱锥A1﹣ABCD的体积：
V===．
（2）∵BD∥B1D1，
∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成角（或所成角的补角）．
∵BD=，A1D=A1B==2，
∴cos∠A1BD===．
∴∠A1BD=arccos．
∴异面直线A1B与B1D1所成角是arccos．
18．（14分）已知f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1．
（1）求f（x）的最大值及该函数取得最大值时x的值；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若a=，b=，且f（）=，求边c的值．
【解答】解：f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+）
（1）当2x+=时，即x=（k∈Z），f（x）取得最大值为2；
（2）由f（）=，即2sin（A+）=
可得sin（A+）=
∵0＜A＜π
∴＜A＜
∴A=或
∴A=或
当A=时，cosA==
∵a=，b=，
解得：c=4
当A=时，cosA==0
∵a=，b=，
解得：c=2．
19．（14分）2016年崇明区政府投资8千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从2017年起，在今后的若干年内，每年继续投资2千万元用于此项目.2016年该项目的净收入为5百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长50%．记2016年为第1年，f（n）为第1年至此后第n（n∈N）年的累计利润（注：含第n年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当f（n）为正值时，认为该项目赢利．
（1）试求f（n）的表达式；
（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．
【解答】解：（1）由题意知，第1年至此后第n（n∈N）年的累计投入为8+2（n﹣1）=2n+6（千万元），
第1年至此后第n（n∈N）年的累计净收入为+×+×+…+×
=（千万元）．
∴f（n）=﹣（2n+6）=﹣2n﹣7（千万元）．
（2）方法一：∵f（n+1）﹣f（n）=[﹣2（n+1）﹣7]﹣[﹣2n﹣7]=[﹣4]，
∴当n≤3时，f（n+1）﹣f（n）＜0，故当n≤4时，f（n）递减；
当n≥4时，f（n+1）﹣f（n）＞0，故当n≥4时，f（n）递增．
又f（1）=﹣＜0，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．
∴该项目将从第8年开始并持续赢利．
答：该项目将从2023年开始并持续赢利；
方法二：设f（x）=﹣2x﹣7（x≥1），则f′（x）=，
令f''（x）=0，得=≈=5，∴x≈4．
从而当x∈[1，4）时，f''（x）＜0，f（x）递减；
当x∈（4，+∞）时，f''（x）＞0，f（x）递增．
又f（1）=﹣＜0，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．
∴该项目将从第8年开始并持续赢利．
答：该项目将从2023年开始并持续赢利．
20．（16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：+y2=1（a＞0，a≠1）的两个焦点分别是F1，F2，直线l：y=kx+m（k，m∈R）与椭圆交于A，B两点．
（1）若M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2是直角三角形，求a的值；
（2）若k=1，且△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，求a与m满足的关系；
（3）若a=2，且kOA?kOB=﹣，求证：△OAB的面积为定值．
【解答】解：（1）∵M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2是直角三角形，
∴△MF1F2为等腰直角三角形，
∴OF1=OM，
当a＞1时，=1，解得a=，
当0＜a＜1时，=a，解得a=，
（2）当k=1时，y=x+m，设A（x1，y1），（x2，y2），
由，即（1+a2）x2+2a2mx+a2m2﹣a2=0，
∴x1+x2=﹣，x1x2=，
∴y1y2=（x1+m）（x2+m）=x1x2+m（x1+x2）+m2=，
∵△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，
∴?=0，
∴x1x2+y1y2=0，
∴+=0，
∴a2m2﹣a2+m2﹣a2=0
∴m2（a2+1）=2a2，
（3）证明：当a=2时，x2+4y2=4，
设A（x1，y1），（x2，y2），
∵kOA?kOB=﹣，
∴?=﹣，
∴x1x2=﹣4y1y2，
由，整理得，（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0．
∴x1+x2=，x1x2=，
∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2
=++m2=，
∴=﹣4×，
∴2m2﹣4k2=1，
∴|AB|=?=?
=2?=
∵O到直线y=kx+m的距离d==，
∴S△OAB=|AB|d==?==1
21．（18分）若存在常数k（k＞0），使得对定义域D内的任意x1，x2（x1≠x2），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成
立，则称函数f（x）在其定义域D上是“k﹣利普希兹条件函数”．
（1）若函数f（x）=，（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹条件函数”，求常数k的最小值；
（2）判断函数f（x）=log2x是否是“2﹣利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；
（3）若y=f（x）（x∈R）是周期为2的“1﹣利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数x1，x2，都有
|f（x1）﹣f（x2）|≤1．
【解答】解：（1）若函数f（x）=，（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹条件函数”，则对于定义域[1，4]上任意两个x1，x2（x1≠x2），均有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立，
不妨设x1＞x2，则k≥=恒成立．
∵1≤x2＜x1≤4，∴＜＜，
∴k的最小值为．
（2）f（x）=log2x的定义域为（0，+∞），
令x1=，x2=，则f（）﹣f（）=log2﹣log2=﹣1﹣（﹣2）=1，
而2|x1﹣x2|=，∴f（x1）﹣f（x2）＞2|x1﹣x2|，
∴函数f（x）=log2x不是“2﹣利普希兹条件函数”．
证明：（3）设f（x）的最大值为M，最小值为m，在一个周期[0，2]内f（a）=M，f（b）=m，
则|f（x1）﹣f（x2）|≤M﹣m=f（a）﹣f（b）≤|a﹣b|．
若|a﹣b|≤1，显然有|f（x1）﹣f（x2）|≤|a﹣b|≤1．
若|a﹣b|＞1，不妨设a＞b，则0＜b+2﹣a＜1，
∴|f（x1）﹣f（x2）|≤M﹣m=f（a）﹣f（b+2）≤|a﹣b﹣2|＜1．
综上，|f（x1）﹣f（x2）|≤1．
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