§242相邻、相离及相间一、相邻问题捆绑法：三、相间问题位置法：二、不邻(相离)问题插空法：1.定义：n元中有m个元素要求排在一起的排列2.解法：先捆可邻成大元次变个数全排列1.定义：n元中有m个元素都不能排在一起的排列2.解法：先排可邻后插空多元切忌间接法二元可用间接法亮灯空位是变式相邻相离综合体一般解法位置法计数问题知识网络复杂的计数问题组合数的性质对称性简单的计数问题排列组合型拆并性增减性可和性计数原理型十大题型计数问题总述：两理两数四原则十大题型递推法⑤注①：分类加法及分步乘法计数原理：①②③④注④：注②：排列数与组合数：注⑤：设n元某计数问题共有an种方法若求an的通项公式有难度，可考虑求其递推公式化大为小是共性顾名思义是区分①相邻(捆绑法)○注③：①先理后数②先组后排③特殊优先④正难则反○○○○⑧错排○②不邻(插空法)○③在与不在④含与不含⑤至多与至少○○○直接法间接法⑥分组○相同元素不同元素⑦分配○均匀分配非均匀分配二元1种三元2种四元9种⑩染色○⑨定序○1.分类加法计数原理：2.分步乘法计数原理：完成一件事有n类方式,在第一类方式中有m1种不同的方法,在第二类方式中有m2种不同的方法……,在第n类方式中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法完成一件事需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……,做第n步有mn种不同的方法那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法先把包含于某内容中的所有对象的数目计算出来3.容斥计数原理:再把重复计算的数目排斥出去,这种计数的方法共同点不同点说明化大为小是共性顾名思义是区分都是采用“分”的手法，将大事件化为小事件“分类”是指完成事件共有n类办法每类办法都能独立地完成这件事类似于物理中的并联电路“分步”是指完成事件共有n个步骤类似于物理中的串联电路每一步都不能独立完成这件事最终结果“分类”用“加法”最终结果“分步”用“乘法”“分类”要不重不漏；各类间要互斥独立“分步”要连续完整；各步间要关联独立1.阶乘：2.排列数：3.组合数：注1.一般的，乘积式用于计算，阶乘式用于证明注2.常用的排列数：注3.常用的组合数：两理两数四原则十大题型递推法排列与组合的关联：排列可以看作是先取组合，再做全排列先组后排：排列有序，组合无序，可用特值法来验证有无顺序①②两理两数四原则十大题型递推法①先理后数②先组后排③特殊优先④正难则反两理两数四原则十大题型递推法①相邻——捆绑法⑧错排：二元1种；三元2种；四元9种……②不邻(相离)——插空法⑥分组相同元素——0-1法不同元素——公式法⑩染色——递推法⑨定序——倍缩法(等概率法)；插空法两理两数四原则十大题型递推法③在与不在④含与不含⑤至多与至少特殊优先直接法正难则反间接法——⑦分配均匀分配非均匀分配先分组后分配1.相邻问题捆绑法：引：相间问题位置法2.不邻(相离)问题插空法：先捆可邻成大元次变个数全排列先排可邻后插空多元切忌间接法二元可用间接法亮灯空位是变式相邻相离综合体一般解法位置法3.在与不在4.含与不含5.至多与至少特殊优先直接法正难则反间接法——6.错排：①背诵法：a2=1；a3=2；a4=9；a5=44……②递推法：①〇②〇9.分配：8.分组：(1)相同元素的分组：参分配(2)不同元素的非均匀分组：常规法处理(3)不同元素的均匀分组：(4)不同元素的混合分组：(1)不同元素的分配：(2)相同元素的分配(分组)：①将2n个不同元素均匀的分成2组,共有种分法②将3n个不同元素均匀的分成3组,共有种分法先均匀后非均匀先分组后分配0—1法7.定序：①倍缩法(等概率法)：②插空法：10.染色问题：(1)条型域：如图，,用k种颜色染n块区域，相邻…32n1区域不能同色,则共有种染法注1：染色基础是条型方法多多随爱好从头到尾逐个染乘法原理显神功注2：隐含了颜色有剩余如图，用k种不同的颜色,涂圆中n块区域要求每个区域染一种颜色，相邻的区域不同色，则不同的染色方法有多少种？法2：化环型域为条型域：注：思路显然，但操作量过大2.环型域：①无心环型域:法1：通项公式：如图，用k种不同的颜色,涂圆中n块区域要求每个区域染一种颜色，相邻的区域不同色，则不同的染色方法有多少种？法3：环型域递推法：2.环型域：①无心环型域:注：二三环型点算法四块以上递推法异色插入第一类同色剪开第二类§242相邻、相离及相间一、相邻问题捆绑法：三、相间问题位置法：二、不邻(相离)问题插空法：1.定义：n元中有m个元素要求排在一起的排列2.解法：先捆可邻成大元次变个数全排列1.定义：n元中有m个元素都不能排在一起的排列2.解法：先排可邻后插空多元切忌间接法二元可用间接法亮灯空位是变式相邻相离综合体一般解法位置法一、相邻问题捆绑法：1.定义：n元中有m个元素要求排在一起的排列2.解法：先捆可邻成大元次变个数全排列练习1.相邻问题捆绑法：(1)7人站成一排,其中甲,乙两人相邻的排法有多少种？(3)(2012年辽宁)一排9个座位坐了3个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为A.3×3! B.3×(3!)3 C.(3!)4 D.9!【C】(2)7人站成一排,其中甲,乙,丙三人必须相邻的排法有多少种？二、不邻(相离)问题插空法：1.定义：n元中有m个元素都不能排在一起的排列2.解法：先排可邻后插空多元切忌间接法二元可用间接法亮灯空位是变式练习2.不邻(相离)问题插空法：(4)7人站成一排,其中甲,乙两人不相邻的排法有多少种？(5)7人站成一排,其中甲,乙,丙三人两两不相邻的排法有多少种？多元切忌间接法二元可用间接法(6)(2014年辽宁)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为A．144B．120C．72D．24(7)一次文艺演出中,需要给舞台上方安装一排完全相同的彩灯共15只,以不同的点亮方式增加舞台效果,设计者按照每次点亮时，恰好有6只是关的，且相邻的灯不能同时被关掉,两端的灯必须点亮的.要求进行设计,那么不同的点亮方式共有A.28种B.84种C.180种D.360种先排可邻后插空多元切忌间接法二元可用间接法亮灯空位是变式【D】【A】三、相间问题位置法：相邻相离综合体一般解法位置法(8)现有3名教师，3名学生相间排成一列，排法有________种练习3.相间问题位置法(9)(2014年重庆)某次联欢会要安排3个歌舞类节目,2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是A.72B.120C.144D.168【B】数学，外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为_______(用数字作答)(10)(2012年重庆)某艺校在一天的6节课中随机安排语文①三门文化课间的两个空各插一节艺术课的方法有③三门文化课间的两个空不插艺术课的方法有②三门文化课间的两个空只插一节艺术课的方法有综上作业：预习：在与不在1.课本P：40A组Ex7数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放3.(2011年浙江)有5本不同的书,其中语文书2本,到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的A．B.C.D.4.(2014年北京)把5件不同产品摆成一排,若产品A与产品Ｂ相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有____种2.《固学案》P：5Ex2概率解：N=A×A＝1440
法(间接法)A－A×A＝3600
法(插空法)：A×A＝3600解：N=A×A＝720
法1：N=A×A＝1440
法2：N=A－A×A＝20
解：N=A＝解：N=2A×A＝72
解：N=C＝ |
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