二、解法：§243在与不在一、定义：三、应用：若干个元素必须在(不在)某些位置上的排列特殊优先直接法
正难则反间接法一元多位是基础多元多位是难点计数问题知识网络复杂的计数问题组合数的性质对称性简单的计数问题排
列组合型拆并性增减性可和性计数原理型十大题型计数问题总述：两理两数四原则十大题型递推法⑤注①：分类加法及分步
乘法计数原理：①②③④注④：注②：排列数与组合数：注⑤：设n元某计数问题共有an种方法若求an的通项公
式有难度，可考虑求其递推公式化大为小是共性顾名思义是区分①相邻(捆绑法)○注③：①先理后数②先组后排③特殊优先④正难则
反○○○○⑧错排○②不邻(插空法)○③在与不在④含与不含⑤至多与至少○○○直接法间接法⑥分组○
相同元素不同元素⑦分配○均匀分配非均匀分配二元1种三元2种四元9种⑩染色○⑨定序○1.分类加法计数原理
：2.分步乘法计数原理：完成一件事有n类方式,在第一类方式中有m1种不同的方法,在第二类方式中有m2种不同的方法……
,在第n类方式中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法完成一件事需要分成n个步
骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……,做第n步有mn种不同的方法那么完成这件事共有N=m1×m2×…
×mn种不同的方法先把包含于某内容中的所有对象的数目计算出来3.容斥计数原理:再把重复计算的数目排斥出去,这种计数的方法共
同点不同点说明化大为小是共性顾名思义是区分都是采用“分”的手法，将大事件化为小事件“分类”是指完成事件共有n
类办法每类办法都能独立地完成这件事类似于物理中的并联电路“分步”是指完成事件共有n个步骤类似于物理中的串联电路每一步都不
能独立完成这件事最终结果“分类”用“加法”最终结果“分步”用“乘法”“分类”要不重不漏；各类间要互斥独立“分步”
要连续完整；各步间要关联独立1.阶乘：2.排列数：3.组合数：注1.一般的，乘积式用于计算，阶乘式用于证明注2.常
用的排列数：注3.常用的组合数：两理两数四原则十大题型递推法排列与组合的关联：排列可以看作是先取组合，再做全排列先
组后排：排列有序，组合无序，可用特值法来验证有无顺序①②两理两数四原则十大题型递推法①先理后数②先组后排
③特殊优先④正难则反两理两数四原则十大题型递推法①相邻——捆绑法⑧错排：二元1种；三元2种；四元9种……②不邻(
相离)——插空法⑥分组相同元素——0-1法不同元素——公式法⑩染色——递推法⑨定序
——倍缩法(等概率法)；插空法两理两数四原则十大题型递推法③在与不在④含与不含⑤至多与至少特殊优先直接法
正难则反间接法——⑦分配均匀分配非均匀分配先分组后分配1.相邻问题捆绑法：引
：相间问题位置法2.不邻(相离)问题插空法：先捆可邻成大元次变个数全排列先排可邻后插空多元切忌间接法二
元可用间接法亮灯空位是变式相邻相离综合体一般解法位置法3.在与不在4.含与不含5.至多与至少特殊优先
直接法正难则反间接法——6.错排：①背诵法：a2=1；a3=2；a4=9；a5=44……②递推法：①〇②〇
9.分配：8.分组：(1)相同元素的分组：参分配(2)不同元素的非均匀分组：常规法处理(3)不同元素的均匀分组：(4)
不同元素的混合分组：(1)不同元素的分配：(2)相同元素的分配(分组)：①将2n个不同元素均匀的分成2组,共有
种分法②将3n个不同元素均匀的分成3组,共有种分法先均匀后非均匀先分组后分配0—1法7.定
序：①倍缩法(等概率法)：②插空法：10.染色问题：(1)条型域：如图，,用k种颜色染n块区域，相邻…32n
1区域不能同色,则共有种染法注1：染色基础是条型方法多多随爱好从
头到尾逐个染乘法原理显神功注2：隐含了颜色有剩余如图，用k种不同的颜色,涂圆中n块区域要求每个区域染一种
颜色，相邻的区域不同色，则不同的染色方法有多少种？法2：化环型域为条型域：注：思路显然，但操作量过大2.环型域：①无心环
型域:法1：通项公式：如图，用k种不同的颜色,涂圆中n块区域要求每个区域染一种颜色，相邻的区域不同色，则不同的染色方法有多
少种？法3：环型域递推法：2.环型域：①无心环型域:注：二三环型点算法四块以上递推法异色插入第一类同
色剪开第二类二、解法：§243在与不在一、定义：三、应用：若干个元素必须在(不在)某些位置上的排列
特殊优先直接法正难则反间接法一元多位是基础多元多位是难点练习1.一元多位是基础(1)课本P：19例4
(2)课本P：40A组Ex1③练习2.多元多位是难点(3)课本P：27A组Ex7(5)课本P：41
B组Ex2(4)课本P：41B组Ex1②(6)(2009年北京)用0到9这10个数字，可以组成没有重复
数字的三位偶数的个数为A．324B．328C．360D．648(7)7位同学站成一
排，其中甲不能在排头、乙不能站排尾的排法共有多少种？注：课本P：19例4的变式(8)(2013年山东)用0，
1，…，9十个数字，可以组成A.243B.252C.261D.279有重复数字的三位数
的个数为析：关键词：有重复①三重数：②二重数：i：含0时，ii：不含0时，综上，注：课本P：19例4的变式
(9)(2009年四川)3位男生和3位女生共6位同学站成一排若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻则不同排法的种数
是A.360B.288C.216D.96①3位女生中有且只有两位相邻的排
列共有S1:将女生分成两组共有S3:再将两组女生插入空位共有S2:再排男生共有即(9)(2009年四川)3位男生和3位女
生共6位同学站成一排若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻则不同排法的种数是A.360B.28
8C.216D.96①3位女生中有且只有两位相邻的排列共有②3位女生中有且仅有两位相邻且男生甲在两端的排列共有综上，S1:将女生分成两组共有S3:再将两组女生插入空位共有S2:再排其他男生共有S4:男生甲在两端的排列共有2类作业：预习：错排、含与不含1.《固学案》P：4Ex22.《固学案》P：4Ex53.《固学案》P：4Ex6 |
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