二、常见的特殊项：1.通法：通项公式法一、方法：2.特法：前项为1的展开式法1.常数项：2.有理数项：3.指定项：三
、常见的“原式”：1.型：2.型：3.型：§250二项式定理的
应用--求特殊项○计数问题知识网络复杂的计数问题组合数的性质对称性简单的计数问题排列组合型拆并性增减
性可和性计数原理型十大题型计数问题总述：两理两数四原则十大题型递推法⑤注①：分类加法及分步乘法计数原理：①②
③④注④：注②：排列数与组合数：注⑤：设n元某计数问题共有an种方法若求an的通项公式有难度，可考虑求其递
推公式化大为小是共性顾名思义是区分①相邻(捆绑法)○注③：①先理后数②先组后排③特殊优先④正难则反○○○○⑧
错排○②不邻(插空法)○③在与不在④含与不含⑤至多与至少○○○直接法间接法⑥分组○相同元素不同元素
⑦分配○均匀分配非均匀分配二元1种三元2种四元9种⑩染色○⑨定序○1.分类加法计数原理：2.分步乘法计数原
理：完成一件事有n类方式,在第一类方式中有m1种不同的方法,在第二类方式中有m2种不同的方法……,在第n类方式中有mn
种不同的方法.那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法完成一件事需要分成n个步骤，做第1步有m1种不
同的方法，做第2步有m2种不同的方法……,做第n步有mn种不同的方法那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法先
把包含于某内容中的所有对象的数目计算出来3.容斥计数原理:再把重复计算的数目排斥出去,这种计数的方法共同点不同点说
明化大为小是共性顾名思义是区分都是采用“分”的手法，将大事件化为小事件“分类”是指完成事件共有n类办法每类办法都能独
立地完成这件事类似于物理中的并联电路“分步”是指完成事件共有n个步骤类似于物理中的串联电路每一步都不能独立完成这件事最终
结果“分类”用“加法”最终结果“分步”用“乘法”“分类”要不重不漏；各类间要互斥独立“分步”要连续完整；各步间要关
联独立1.阶乘：2.排列数：3.组合数：注1.一般的，乘积式用于计算，阶乘式用于证明注2.常用的排列数：注3.常
用的组合数：两理两数四原则十大题型递推法排列与组合的关联：排列可以看作是先取组合，再做全排列先组后排：排列有序，组
合无序，可用特值法来验证有无顺序①②两理两数四原则十大题型递推法①先理后数②先组后排③特殊优先④正难则
反两理两数四原则十大题型递推法①相邻——捆绑法⑧错排：二元1种；三元2种；四元9种……②不邻(相离)——插空法
⑥分组相同元素——0-1法不同元素——公式法⑩染色——递推法⑨定序——倍缩法(等概率法)
；插空法两理两数四原则十大题型递推法③在与不在④含与不含⑤至多与至少特殊优先直接法正难则反间接法—
—⑦分配均匀分配非均匀分配先分组后分配1.相邻问题捆绑法：引：相间问题位置法2.
不邻(相离)问题插空法：先捆可邻成大元次变个数全排列先排可邻后插空多元切忌间接法二元可用间接法亮灯空
位是变式相邻相离综合体一般解法位置法3.在与不在4.含与不含5.至多与至少特殊优先直接法正难则反间接
法——6.错排：①背诵法：a2=1；a3=2；a4=9；a5=44……②递推法：①〇②〇9.分配：8.分组
：(1)相同元素的分组：参分配(2)不同元素的非均匀分组：常规法处理(3)不同元素的均匀分组：(4)不同元素的混合分组：
(1)不同元素的分配：(2)相同元素的分配(分组)：①将2n个不同元素均匀的分成2组,共有种分法②将3n个不
同元素均匀的分成3组,共有种分法先均匀后非均匀先分组后分配0—1法7.定序：①倍缩法(等概率
法)：②插空法：10.染色问题：(1)条型域：如图，,用k种颜色染n块区域，相邻…32n1区域不能同色,
则共有种染法注1：染色基础是条型方法多多随爱好从头到尾逐个染
乘法原理显神功注2：隐含了颜色有剩余如图，用k种不同的颜色,涂圆中n块区域要求每个区域染一种颜色，相邻的区域不同色
，则不同的染色方法有多少种？法2：化环型域为条型域：注：思路显然，但操作量过大2.环型域：①无心环型域:法1：通项公式
：如图，用k种不同的颜色,涂圆中n块区域要求每个区域染一种颜色，相邻的区域不同色，则不同的染色方法有多少种？法3：环型域递
推法：2.环型域：①无心环型域:注：二三环型点算法四块以上递推法异色插入第一类同色剪开第二类二项式的
展开式前项后项“+”相连展开共有n+1三块组成每一项前降后升和为n注2：注1：151010
5111121133114641杨辉三角形——二项式系数表①⑧③
②④⑥⑤⑦⑩⑨异底幂同底幂特殊幂幂的运算性质二项式定理——通项公式注1：相关
概念：②系数与二项式系数：①项与项数：类似于学号与同学的关系;容斥关系称为二项式系数注2：上下前后及某项知四有一两
头同(中间差)1.对称性：2.增减性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等①当n为偶数时，展开式中间的一项取得
最大②当n为奇数时，展开式中间的两项，相等且同时取得最大组合数的性质左右对称抛物线左增右减中间
大3.拆并性：组合数的性质4.可和性：系数求和赋值法方法要熟正负1拆并要连同上大下＋1②①
①②二、常见的特殊项：1.通法：通项公式法一、方法：2.特法：前项为1的展开式法1.常数项：2.有理数项：
3.指定项：三、常见的“原式”：1.型：2.型：3.型：§25
0二项式定理的应用--求特殊项○练习1.求常数项：(1)(2012年重庆)A.B.
C.D.105的展开式中常数项为法1：因法2：故当r=4时，常数项为(2)(2011年
山东)若展开式的常数项为60，析:因故当r=2时，常数项为解得a=4则常数a的值为________6
0练习2.求有理数项：(3)的展开式中有理数项共有A.3项B.4项C.
5项D.6项析1：展开式中的有理数项，即幂指数是整数的项析2：析3：令为整数，且0≤r≤24则
r=0，6，12，18，24.共5个r另法：令为整数，且0≤r≤24……的展开式中的第四项是______
(4)(2010年四川)析:因故另法：因故纯属运气！练习3.求指定项：试试看：若求第二项，结果还会一样吗……(5
)课本P：37A组Ex4①因故④中间两项分别是T7,T8,其中②③练习4.
型：○(6)(2014年新课标Ⅰ)的展开式中的系数为______析：
因而的展开式中的系数为又因而的展开式中
的系数为故所求系数为(8)(2001年上海)的展开式中常数项为_____析：因故所求常数项为(7)(2012年安
徽)的展开式的常数项是A.-2B.2C.-3D.3析：因故所求常数项为练习5
.型：(9)(2005年湖北)展开后的常数项为______法1：因
=故的通项为而的通项为令5-2r-k=0，则k+2r=5,可得k=1r=2或k=3r=1k=
5r=0或当k=1,r=2时，得展开式中项为当k=3,r=1时，得展开式中项为当k=5,r=0时，得展开式中项为综上，
所求常数项为法2：因==而的通项为令10-r=5，则r=5故所求常数项为=(9)(2005年湖北)展开后的常数项为______法3：由多项式乘法法则，结合组合的知识可得的通项为可得k=0r=0或k=1r=1或k=2r=2故所求常数项为=(9)(2005年湖北)展开后的常数项为______作业：预习：二项式定理的应用--求系数1.课本P：40A组Ex82.《导学案》P：42当堂检测2 |
|
