导数问题

[命题解读]函数是中学数学的核心内容，导数是研究函数的重要工具，因此，导数的应用是历年高考的重点与热点，常涉及的问题有：讨论函数的单调性(求函数的单调区间)、求极值、求最值、求切线方程、求函数的零点或方程的根、求参数的范围、证明不等式等，涉及的数学思想有：函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归思想等，中、高档难度均有．

求下列函数的导数：

(1)y＝exlnx；

(2)y＝x；

(3)y＝x－sincos；

(4)y＝ln(2x－9)．

导数的计算[解](1)y′＝(ex)′lnx＋ex(lnx)′＝exlnx＋ex·＝ex.

(2)∵y＝x3＋1＋，y′＝3x2－.

(3)∵y＝x－sinx，y′＝1－cosx.

(4)令u＝2x－9，y＝lnu，

则y′x＝y′u·u′x.

因此y′＝·(2x－9)′＝.

[规律方法]1.熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量提高运算速度，减少差错．

2．如函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．

3．复合函数求导，应先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元处理．

[变式训练1](1)f(x)＝x(2017＋lnx)，若f′(x0)＝2018，则x0等于()

A．e2 B.1

C.ln2 D.e

由于f′(1)＝a(1＋ln1)＝a，又f′(1)＝3，所以a＝3.]

(1)B(2)3[(1)f′(x)＝2017＋lnx＋x×＝2018＋lnx，故由f′(x0)＝2018，得2018＋lnx0＝2018，则lnx0＝0，解得x0＝1.

(2)f′(x)＝a＝a(1＋lnx)．

(2)(2015·天津高考)已知函数f(x)＝axlnx，x(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3，则a的值为________．

?角度1求切线方程

已知曲线y＝x3＋.

(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；

(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程．

导数的几何意义[思路点拨](1)点P(2,4)是切点，先利用导数求切线斜率，再利用点斜式写出切线方程；

(2)点P(2,4)不一定是切点，先设切点坐标为，由此求出切线方程，再把点P(2,4)代入切线方程求x0.

[解](1)根据已知得点P(2,4)是切点且y′＝x2，

在点P(2,4)处的切线的斜率为y′＝4，3分

曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，

即4x－y－4＝0.5分

(2)设曲线y＝x3＋与过点P(2,4)的切线相切于点A，

则切线的斜率为y′＝x，

切线方程为y－＝x(x－x0)，

即y＝x·x－x＋.7分

点P(2,4)在切线上，

4＝2x－x＋，

即x－3x＋4＝0，9分

∴x＋x－4x＋4＝0，

x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，

(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，

故所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0.12分

?角度2求切点坐标

若曲线y＝xlnx上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．

【导学号：01772076】

(e，e)[由题意得y′＝lnx＋x·＝1＋lnx，直线2x－y＋1＝0的斜率为2.设P(m，n)，则1＋lnm＝2，解得m＝e，所以n＝elne＝e，即点P的坐标为(e，e)．]

?角度3求参数的值

(1)已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为()

A．1 B.2

C.－1 D.－2

(2)(2017·西宁复习检测(一))已知曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a＝()

A．－2 B.2

C.－ D.

(1)B(2)A[(1)设直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)的切点为(x0，y0)，则y0＝1＋x0，y0＝ln(x0＋a)．

又y′＝，所以y′|x＝x0＝＝1，即x0＋a＝1.

又y0＝ln(x0＋a)，所以y0＝0，则x0＝－1，所以a＝2.

(2)由y′＝得曲线在点(3,2)处的切线斜率为－，又切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a＝－2，故选A.]

[规律方法]1.导数f′(x0)的几何意义就是函数y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率，切点既在曲线上，又在切线上，切线有可能和曲线还有其他的公共点．

2．曲线在点P处的切线是以点P为切点，曲线过点P的切线则点P不一定是切点，此时应先设出切点坐标．

易错警示：当曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线垂直于x轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x＝x0.

[思想与方法]

1．f′(x0)是函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常数，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0.

2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．在实施化简时，必须注意变换的等价性．

[易错与防范]

1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．复合函数的导数要正确分解函数的结构，由外向内逐层求导．

2．曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点．

3．曲线的切线与二次曲线的切线的区别：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．



图2-12-2

设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图2-12-2所示，则下列结论中一定成立的是()

?角度1根据函数图象判断极值

利用导数研究函数的极值问题A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)

B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)

C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)

D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)

D[由题图可知，当x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当1＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．]

?角度2求函数的极值

求函数f(x)＝x－alnx(aR)的极值．

[解]由f′(x)＝1－＝，x＞0知：

(1)当a≤0时，f′(x)＞0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；5分

(2)当a＞0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.

又当x(0，a)时，f′(x)＜0；当x(a，＋∞)时，f′(x)＞0，9分

从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－alna，无极大值．

综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a＞0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－alna，无极大值.12分

?角度3已知极值求参数

(1)已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是()

【导学号：01772087】

A．(－∞，0) B.

C．(0,1) D.(0，＋∞)

(2)设f(x)＝ln(1＋x)－x－ax2，若f(x)在x＝1处取得极值，则a的值为________．

(1)B(2)－[(1)f(x)＝x(lnx－ax)，

f′(x)＝lnx－2ax＋1，

故f′(x)在(0，＋∞)上有两个不同的零点，

令f′(x)＝0，则2a＝，

设g(x)＝，则g′(x)＝，

∴g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，

又当x→0时，g(x)→－∞，当x→＋∞时，g(x)→0，

而g(x)max＝g(1)＝1，

只需0＜2a＜10＜a＜.

(2)由题意知，f(x)的定义域为(－1，＋∞)，

且f′(x)＝－2ax－1＝，

由题意得，f′(1)＝0，则－2a－2a－1＝0，

得a＝－，又当a＝－时，

f′(x)＝＝，

当0＜x＜1时，f′(x)＜0；

当x＞1时，f′(x)＞0，

f(1)是函数f(x)的极小值，

a＝－.]

[规律方法]利用导数研究函数极值的一般流程



[解](1)f(x)＝x－eax(a＞0)，则f′(x)＝1－aeax，

令f′(x)＝1－aeax＝0，则x＝ln.3分

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

已知函数f(x)＝x－eax(a＞0)．

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)求函数f(x)在上的最大值．

利用导数解决函数的最值问题x ln f′(x) ＋ 0 － f(x) 极大值

故函数f(x)的增区间为；减区间为.6分

(2)当ln≥，即0＜a≤时，

f(x)max＝f＝－e2；9分

当＜ln＜，即＜a＜时，

f(x)max＝f＝ln－；

当ln≤，即a≥时，

f(x)max＝f＝－e.12分

[规律方法]求函数f(x)在[a，b]上的最大值、最小值的步骤：

(1)求函数在(a，b)内的极值；

(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；

(3)将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值．

[变式训练1](2017·石家庄质检(二))若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，若t＝ab，则t的最大值为()

A．2 B.3

C.6 D.9

D[f′(x)＝12x2－2ax－2b，则f′(1)＝12－2a－2b＝0，a＋b＝6，又a＞0，b＞0，则t＝ab≤2＝9，当且仅当a＝b＝3时取等号，故选D.]

[思想与方法]

1．可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．

2．求闭区间上可导函数的最值时，对函数的极值是极大值还是极小值可不作判断，直接与端点的函数值比较即可．

3．如果目标函数在定义区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点．

4．若函数f(x)在定义域A上存在最大值与最小值，则：

(1)对任意xA，f(x)＞0f(x)min＞0；

(2)存在xA，f(x)＞0f(x)max＞0.

[易错与防范]

1．求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能．

2．导数为零的点不一定是极值点．对含参数的求极值问题，应注意分类讨论．

3．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．4．利用导数解决实际生活中的优化问题，要注意问题的实际意义．



热点1利用导数研究函数的单调性、极值与最值(答题模板)

函数的单调性、极值是局部概念，函数的最值是整体概念，研究函数的性质必须在定义域内进行，因此，务必遵循定义域优先的原则，本热点主要有三种考查方式：(1)讨论函数的单调性或求单调区间；(2)求函数的极值或最值；(3)利用函数的单调性、极值、最值，求参数的范围．

(本小题满分12分)(2015·全国卷)已知函数f(x)＝lnx＋a(1－x)．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．

[思路点拨](1)求出导数后对a分类讨论，然后判断单调性；(2)运用(1)的结论分析函数的最大值，对得到的不等式进行等价转化，通过构造函数并分析该函数的单调性求a的范围．

[规范解答](1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a.2分

若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增.3分

若a>0，则当x时，f′(x)>0；

当x时，f′(x)<0.5分

所以f(x)在上单调递增，在上单调递减.6分

(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值；7分

当a>0时，f(x)在x＝取得最大值，最大值为

f＝ln＋a＝－lna＋a－1.9分

因此f>2a－2等价于lna＋a－1<0.10分

令g(a)＝lna＋a－1，则g(a)在(0，＋∞)上单调递增，g(1)＝0.

于是，当01时，g(a)>0.

因此，a的取值范围是(0,1).12分

[答题模板]讨论含参函数f(x)的单调性的一般步骤

第一步：求函数f(x)的定义域(根据已知函数解析式确定)．

第二步：求函数f(x)的导数f′(x)．

第三步：根据f′(x)＝0的零点是否存在或零点的大小对参数分类讨论．

第四步：求解(令f′(x)>0或令f′(x)<0)．

第五步：下结论．

第六步：反思回顾，查看关键点、易错点、注意解题规范．

温馨提示：1.讨论函数的单调性，求函数的单调区间、极值问题，最终归结到判断f′(x)的符号问题上，而f′(x)＞0或f′(x)＜0，最终可转化为一个一元一次不等式或一元二次不等式问题．

2．若已知f(x)的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题求解．

[解](1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.2分

因为f(0)＝c，f′(0)＝b，

所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝bx＋c.4分

(2)当a＝b＝4时，f(x)＝x3＋4x2＋4x＋c，

所以f′(x)＝3x2＋8x＋4.6分

令f′(x)＝0，得3x2＋8x＋4＝0，解得x＝－2或x＝－.8分

f(x)与f′(x)在区间(－∞，＋∞)上的情况如下：

所以，当c＞0且c－＜0时，存在x1(－4，－2)，x2，x3，使得f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝0.

x (－∞，－2) －2 － f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) c  c－

由f(x)的单调性知，当且仅当c时，函数f(x)＝x3＋4x2＋4x＋c有三个不同零点.12分

[规律方法]用导数研究函数的零点，常用两种方法：一是用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；二是将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．

[对点训练2]设函数f(x)＝lnx＋，mR.

(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；

(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－零点的个数．

【导学号：01772099】

[解](1)由题设，当m＝e时，f(x)＝lnx＋，

则f′(x)＝，由f′(x)＝0，得x＝e.2分

当x(0，e)，f′(x)＜0，f(x)在(0，e)上单调递减；

当x(e，＋∞)，f′(x)＞0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增，

当x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝lne＋＝2，

f(x)的极小值为2.4分

(2)由题设g(x)＝f′(x)－＝－－(x＞0)，

令g(x)＝0，得m＝－x3＋x(x＞0).5分

设φ(x)＝－x3＋x(x≥0)，

则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，

当x(0,1)时，φ′(x)＞0，φ(x)在(0,1)上单调递增；

当x(1，＋∞)时，φ′(x)＜0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减，

x＝1是φ(x)唯一的极值点，且是极大值点，因此x＝1也是φ(x)的最大值点，



∴φ(x)的最大值为φ(1)＝.8分

又φ(0)＝0，结合y＝φ(x)的图象(如图)，可知

①当m＞时，函数g(x)无零点；

②当m＝时，函数g(x)有且只有一个零点；

当0＜m＜时，函数g(x)有两个零点；

④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点．

综上所述，当m＞时，函数g(x)无零点；

当m＝或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；

当0＜m＜时，函数g(x)有两个零点.12分

?角度不等式恒成立问题

(2016·全国卷)已知函数f(x)＝(x＋1)lnx－a(x－1)．

(1)当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；

(2)若当x(1，＋∞)时，f(x)>0，求a的取值范围．

[解](1)f(x)的定义域为(0，＋∞).1分

当a＝4时，f(x)＝(x＋1)lnx－4(x－1)，

f(1)＝0，f′(x)＝lnx＋－3，f′(1)＝－2.3分

故曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为2x＋y－2＝0.5分

(2)当x(1，＋∞)时，f(x)＞0等价于lnx－＞0.

设g(x)＝lnx－，

则g′(x)＝－＝，g(1)＝0.9分

当a≤2，x(1，＋∞)时，x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1＞0，故g′(x)＞0，g(x)在(1，＋∞)单调递增，因此g(x)＞0；

②当a＞2时，令g′(x)＝0得x1＝a－1－，x2＝a－1＋.

由x2＞1和x1x2＝1得x1＜1，故当x(1，x2)时，g′(x)＜0，g(x)在(1，x2)单调递减，因此g(x)＜0.

综上，a的取值范围是(－∞，2].12分

?角度存在型不等式成立问题

(2014·全国卷)设函数f(x)＝alnx＋x2－bx(a≠1)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为0.

(1)求b；

(2)若存在x0≥1，使得f(x0)<，求a的取值范围．

[解](1)f′(x)＝＋(1－a)x－b.

由题设知f′(1)＝0，解得b＝1.3分

(2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，

由(1)知，f(x)＝alnx＋x2－x，

f′(x)＝＋(1－a)x－1＝(x－1).5分

①若a≤，则≤1，故当x(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(1，＋∞)单调递增．

所以，存在x0≥1，使得f(x0)<的充要条件为f(1)<，即－1<，解得－－1
若1，故当x时，f′(x)<0，当x时，f′(x)>0，f(x)在上单调递减，在上单调递增.9分

所以存在x0≥1，使得f(x0)<的充要条件为f<.

而f＝aln＋＋>，所以不合题意．

若a>1，则f(1)＝－1＝<恒成立，所以a＞1.

综上，a的取值范围是(－－1，－1)(1，＋∞).12分

[规律方法]1.运用导数证明不等式，常转化为求函数的最值问题．

2．不等式恒成立通常可以利用函数的单调性求出最值解决．解答相应的参数不等式，如果易分离参数，可先分离变量，构造函数，直接转化为函数的最值问题，避免参数的讨论．

3．“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即f(x)≥g(a)对于xD恒成立，应求f(x)的最小值；若存在xD，使得f(x)≥g(a)成立，应求f(x)的最大值．应特别关注等号是否成立问题．