请做：题组层级快练（四十九）第3课时空间点、线、面间位置关系 …2018考纲下载…
1．理解能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．请注意平面的基本性质是立体几何的基础而两条异面直线所成的角和距离是高考热点在新课标高考卷中频频出现．课前自助餐
平面的基本性质公理1：如果一两点在一个平面内那么这条直线就在此平面内．公理2：经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面．公理3：如果不重合的两个平面有一个公共点那么它们有且只有一条通过该点的公共直线．
用集合语言描述点、线、面间的关系(1)点与平面的位置关系：点A在平面α内记作A∈α点A不A?α．(2)点与线的位置关系：点A在直线l上记作A∈l点A不在直线l上记作A(3)线面的位置关系：直线l在平面α内记作l直线l不在平面α内记作l
(4)平面α与平面β相交于直线a记作α∩β＝a．(5)直线l与平面α相交于点A记作l∩α＝A．(6)直线a与直线b相交于点A记作a∩b＝A．
直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类．
(2)异面直线所成的角．定义：设a是两条异面直线经过O作直线a把a与b所成的锐角或直角叫做异面直线a所成的角(或夹角)．范围：(0]．
1．判断下面结论是否正确(打“√”或“×”)．(1)空间不同三点确定一个平面．(2)有三个公共点的两个平面必重合．(3)空间两两相交的三条直线确定一个平面．(4)三角形、四边形都是平面图形．(5)两组对边相等的四边形是平行
(6)空间三个平面将空间最多分成七部分．(7)已知a是异面直线直线c平行于直线a那么b与c不可能是平行直线．
答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)×(7)√解析(6)中可能分成八部分如图．
2．空间四点中三点共线是这四点共面的()充分不必要条件．必要不充分条件充要条件D．既不充分也不必要条件
答案
3．若l是空间三条不同的直线则下列命题正确的是()共面共点共面
答案解析当l时与l也可能相交或异面故不正确；l故正确；当l时未必共面如三棱柱的三条侧棱故不正确；l共点时未必共面D不正确．
4．(2015·安徽)在下列命题中不是公理的是()平行于同一个平面的两个平面相互平行过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面如果一条直线上的两点在一个平面内那么这条直线上所有的点都在此平面内如果两个不重合的平面有一个公共点那么它们有且只有一条过该点的公共直线
答案解析都是公理．
5.在平行六面体ABCD－A中既与AB共面也与CC共面的棱的条数为()
A．3．
答案解析如图用列举法知符合要求的棱为BCBB1，AA1.
6.如图所示是正方体的平面展开图在这个正方体中
①BM与ED平行；与BE是异面直线；与BM成60角；与BN垂直．以上四个命题中正确命题的序号是________．
答案③④解析如图所示把正方体的平面展开图还原成原来的正方体显然BM与ED为异面直线故命题①不成立；而CN与BE平行
∵BE∥CN，∴CN与BM所成角为∠MBE.＝60故③正确；∵BC⊥面CDNM又∵DM⊥NC面BCN.故④正确故填③④.
授人以渔
题型一平面基本性质的应用
已知在正方体ABCD－A中D1C1，C1B1的中点＝P＝Q.求证：(1)D四点共面；(2)若A交平面DBFE于R点则P三点共线；(3)DE，BF，CC1三线交于一点．
【证明】(1)如图所示．
因为EF是△D的中位线所以EF∥B在正方体AC中所以EF∥BD.所以EF确定一个平面即D四点共面．
(2)在正方体AC中设A确定的平面为α又设平面BDEF为β.因为Q∈A所以Q∈α.又Q∈EF所以Q∈β.所以Q是α与β的公共点．同理是α与β的公共点．所以α∩β＝PQ.又A＝R所以R∈A且R∈β.则R∈PQ故P三点共线．
(3)∵EF∥BD且EF
★状元笔记★
(1)点共线问题的证明方法证明空间点共线一般转化为3证明这些点都在这两个平面的交线上．(2)线共点问题的证明方法证明空间三线共点先证两条直线交于一点再证第三条直线经过这点将问题转化为证明点在直线上．
(3)点线共面问题的证明方法纳入平面法：先确定一个平面再证有关点、线在此平面内；辅助平面法：先证有关点、线确定平面α再证明其余点、线确定平面β最后证明平面α重合．
思考题1(1)如图所示在正方体ABCD－A中分别是AB和AA的中点求证：
①E，C，D1，F四点共面；三线共点．
【证明】①如图所示连接EF
∵E，F分别是AB的中点又A四点共面．
②∵EF∥CD1，EF
∴CE与D必相交设交点为P.则由P∈CE平面ABCD得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD又平面ABCD∩平面ADD＝DA直线DA三线共点．【答案】①略②略
(2)已知三个平面两两相交且有三条交线试证三条交线互相平行或者相交于一点．
【解析】设α∩β＝a＝bα＝c
由a则a∩b＝O.如图①或a∥b如图②.
若a∩b＝O则O∈α则O∈γ又γ∩α＝c因此O∈c；若a∥b则a∥γ又a＝c则a∥c因此三条交线相交于一点或互相平行．【答案】略
【讲评】所谓线共点问题就是证明三条或三条以上的直(1)证明三线共点的依据是公理3.(2)证明三线共点的思路是：先证两条直线交于一点再证明第三条直线经过该点把问题化归到证明点在直线上的问题．实际上点共线、线共点的问题都可以化归为点在直线上的问题来处理．
题型二空间两直线的位置关系(微专题)
微专题1：
(1)在图中分别GH，MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)
【解析】图①中直线GH∥MN；图②中三点共面但M面GHN因此直线GH与MN异面；图③中连接MG因此GH与MN共面；图④中共面但H面GMN因此GH与MN异面．所以图②中GH与MN异面．【答案】②④
(2)如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的为________对．
【解析】还原后的正方体如图
其中AB与CD、AB与GH、EF与GH为异面直线共3对．【答案】3
★状元笔记★
异面直线的判定方法(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线即两条直线平行或相交由假设出发经过严格的推理导出矛盾从而否定假设肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．(2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．
思考题2(1)如图在正方体ABCD－A中分别C1D1，C1C的中点有以下四个结论：
①直线AM与CC是相交直线；直线AM与BN是平行直线；直线BN与MB是异面直线；直线AM与DD是异面直线．其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论的序号都填上)．
【解析】本题是判断两条直线的位置关系具体分析如下：A三点共面且在平面AD中但C平面AD1因此直线AM与CC是异面直线同理AM与BN也是异面直线与DD也是异面直线；①②错误正确；M三点共面且在平面MBB中但N平面MBB因此直线BN与MB是异面直线正确．【答案】③④
(2)几何体三视图如图若两条异面直线称为一对则由该几何体的所有棱构成的异面直线共有________对．
【解析】该几何体为四棱锥每条侧棱可形成两对共8对．【答案】8
微专题2：如图在正方体ABCD－A中分别是BC的中点则下列说法错误的是()
A．MN与CC垂直．与AC垂直与BD平行．与A平行
【思路】先证MN与BD平行然后根据BD与各直线的位置关系判断MN与各直线的位置关系．【解析】如图连接C
在△C中故项正确；因为CC平面ABCD所以CC所以MN与CC垂直故项正确；
因为AC⊥BD所以MN与AC垂直故项正确；A1B1与BD异面所以MN与A1不可能平行故项错误．【答案】
★状元笔记★
线线平行或垂直的判定方法(1)对于平行直线可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理来判断．(2)对于线线垂直往往利用线面垂直的定义由线面垂直得到线
思考题3设A是空间四个不同的点在下列命题中不正确的是()若AC与BD共面则AD与BC共面若AC与BD是异面直线则AD与BC是异面直线若AB＝AC＝DC则AD⊥BC若AB＝AC＝DC则AD＝BC
【解析】ABCD可能为平面四边形也可能为空间四边形不成立．【答案】
题型三异面直线所成的角
在正方体ABCD－A中为AB的中点．(1)求AC与D所成的角；(2)求AC与C所成的角；(3)求BD与CE所成角的余弦值．
【解析】(1)90(2)60°.
(3)连接ADA1D交点为M连接ME则∠MEC(或其补角)即为异面直线BD与CE所成的角设AB＝1＝＝＝＝CD＋DM＝
在△MEC中＝＝因此异面直线BD与CE所成角的余弦值为【答案】(1)90(2)60(3)
★状元笔记★
求异面直线所成角的步骤(1)平移：选择适当的点线段的中点或端点平移异面直线中的一条或两条成为相交直线；(2)证明：证明所作的角是异面直线所成的角；3)寻找：在立体图形中寻找或作出含有此角的三角形并解之；(4)取舍：因为异面直线所成角θ的取值范围是0＜θ≤90所以所作的角为钝角时应取它的补角作为异面直线所成的角．
思考题4(1)(2018·山东师大附中段考)已知三棱锥A－BCD中＝CD且直线AB与CD成60角点M分别是BC的中点直线AB和MN所成的角为________
【解析】本题是三棱锥中求异面直线所成的角．怎样平移构造三角形求解？求解过程如下：如图取AC的中点P连接PM则PM∥AB且PM＝且PN＝所以∠MPN为AB与CD所成的角(或所成角的补角)．则∠MPN＝60或∠MPN＝120若∠MPN＝60因PM∥AB所以∠PMN是AB与MN所成的角(又因AB＝CD所以
PM＝PN则△PMN是等边三角形所以∠PMN＝60即AB与MN所成的角为60若∠MPN＝120则易知△PMN是等腰三角形．所以∠PMN＝30即AB与MN所成的角为30故直线AB和MN所成的角为60或30【答案】60或30
(2)(2018·东北三校联考)如图是三棱锥D－ABC的三视图点O在三个视图中都是所在边的中点则异面直线DO和AB所成角的余弦值等于()
A. C. D.
【解析】本题是求异面直线所成的角，由三视图判断该几何体是什么几何体？棱长是多少？求解过程如下：由题意得如图的直观图从点A出发的三条线段AB两两垂直且AB＝AC＝2＝1是BC中点取AC中点E连接DE则OE＝1.又可知AE＝1由于OE∥AB故∠DOE即为所求两异面直线所成的角或其补角．在直角三角形DAE中＝由O是中点在直角三角形ABC中可以求得AO＝在直角三角形DAO中可求得OD＝由余弦定理得＝＝故选【答案】
1．公理2是立体几何最基本、最重要的定理它的主要作用是确定平面．不共线的三点确定一个平面一定不能丢掉“不共线”条件．两条异面直线所成角的范围是(0]．
|
|
