请做：专题层级快练（四十八）专题研究球与几何体的切接问题 专题要点
(1)长方体的外接球：球心：体对角线的交点；半径：r＝(a为长方体的长、宽、高)．
(2)正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球：r＝(a为正方体的棱长)；内切球：球心是正方体中心；半径r＝(a为正方体的棱长)；与各条棱都相切的球：球心是正方体中心；半径r＝(a为正方体的棱长)．
(3)正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分)外接球：球心是正四面体的中心；半径r＝(a为正四面体的棱长)；内切球：球心是正四面体的r＝(a为正四面体的棱长)．
专题讲解
题型一几何体的外接球(微专题)
微专题1：
(1)求棱长为1的正四面体外接球的体积为________
【解析】设SO是正四面体－ABC的高外接球的球心O在SO上设外接球半径为R＝r
则在△ABC中用解直角三角形知识得r＝
从而SO＝＝＝在中由勾股定理得＝(－R)＋()解得R＝球＝＝()3＝【答案】
(2)已知正四棱锥P－ABCD内接于一个半径为R的球则正四棱锥P－ABCD体积的最大值是()
C. D．R3
【解析】如图记O为正四棱锥P－ABCD外接球的球心为底面ABCD的中心则P三点共线连接PO设OO＝x则O＝＝，PO1＝R＋x所以正四棱锥P－ABCD的体积V＝＝(R2－x)(R＋x)＝(－x－Rx＋R＋R)，求导：V＝(－3x－2Rx＋R)＝－(x＋R)(3x－R)当x＝时体积V有最大值C.
【答案】
★状元笔记★
锥体的外接球问题关键是确定球心位置：(1)将锥体还原或补形为正方体或长方体进而确定球心；(2)锥体的外接球球心一定在过底面的外心与底面垂直的直线上；(3)球心到各顶点的距离都相等；(4)球心一定在外接球的直径上！
思考题1(1)(2018·江西宜春模拟)一个几何体的三视图如图所示则该几何体的外接球的表面积为()
A．36π．π D.π
【解析】根据几何体的三视图，得该几何体是底面为等腰直角三角形、高为2的三棱该三棱锥的外接球是对应直三棱柱的外接球．设外接球的半径为R底面是等腰直角三角形底面外接圆的半径为1＝1＋1＝2外接球的表面积是4＝8故选【答案】
(2)(2017·课标全国Ⅰ)已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB＝AC＝BC三棱锥S－ABC的体积为9则球O的表面积为________
【解析】设球O的半径为R为球O的直径点O为SC的中点连接AO＝AC＝BC平面SCA⊥平面SCB平面SCA∩平面SCB＝SC平面SCB所以V－ABC＝V－SBC＝＝(×SC×OB)×AO，即9＝(×2R×R)×R，解得R＝3球O的表面积为S＝4＝4π＝36【答案】36
微专题2：(1)若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上则该球的表面积为________．
【解析】本题主要考查简单的组合体和球的表面积．画出球的轴截面可得球的直径是正方体的对角线所以球R＝则该球的表面积为S＝4＝27故填27【答案】27
(2)(2017·长春模拟)已知三棱柱ABC－A的底面是边长为的正三角形侧棱垂直于底面且该三棱柱的外接球的表面积为12则该三棱柱的体积为________
【解析】设球半径为R上下底面M，N，由题意外接球球心为MN的中点设为O则OA＝R由4＝12得R＝OA＝又易得AM＝由勾股定理可知＝1所以MN＝2即棱柱的高h＝2所以该三棱柱的体积为()2×2＝3【答案】3
★状元笔记★
柱体的外接球问题其解题关键在于确定球心在多面体中的位置找到球的半径或直径与多面体相关元素之间的关系结合原有多面体的特性求出球的半径然后再利用球的表面积和体积公式进行正确计算．常见的方法是将多面体还原到正方体和长方体中再去求解．
思考题2已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体如果该组2的正方形则该球的表面积是________．
【解析】由三视图知棱长为2的正方体内接于球故正方体的体对角线长为2即为球的直径．所以球的表面积为S＝4()2＝12【答案】12
题型二几何体的内切球
(1)半径为R的球的外切圆柱(球与圆柱的侧面、两底面都相切)的表面积为________体积为________．
【解析】外切圆柱的底面半径为R高为2R表＝S侧＋2S底＝2＋2＝6圆柱＝＝2【答案】6
(2)若正四面体的棱长为a，则其内切球的半径为________．
【解析】如图正四面体A－BCD的中心为O即内切球球心内切球半径R即为O到正四面体各面的距离．
∵AB＝a,正四面体的高h＝又V－BCD＝4V－BCD＝＝【答案】
(3)如图已知球O是棱长为1的正方体ABCD－A的内切球则平面ACD截球O的截面面积为()
A.π
C.π
【解析】平面ACD截球O的截面ACD1的内切圆．
因为正方体的棱长为1所以AC＝CD＝AD＝所以内切圆的半径r＝所以S＝＝＝【答案】
★状元笔记★
(1)正多面体存在内切球且正多面体的中(2)求多面体内切球半径往往可用“等体积法”．多＝S表内切.
(3)正四面体内切球半径是高的外接球半径是高的(4)并非所有多面体都有内切球(或外接球)．
思考题3(1)如图在圆柱O内有一个球O该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O2的体积为V球O的体积为V则的值是________
【解析】设球O的半径为r则圆柱的底面半径为r高为2r所以＝＝【答案】
(2)已知一个三的球体与棱柱的所有面均相切那么这个三棱柱的表面积是________
【解析】根据已知可得球的半径等于1故三棱柱的高等于2底面三角形内切圆的半径等于1即底面三角形的高等于3边长等于2所以这个三棱柱的表面积等于3×2＋2××3＝18.【答案】18
课外阅读
关于几何体面积与体积的最值问题
(2016·课标全国Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABC－A内有一个体积为V的球．若AB⊥BC＝6＝8＝3则V的最大值是()B.
C．6π D.
【解析】由题意可得若V最大则球与直三棱柱的部分面相切若与三个侧面都相切可求得球的半径为2球的直径为4超过直三棱柱的高所以这个球放不进去则球可与上下底面相切此时球的半径R＝此时的体积最大＝＝＝【答案】
(2018·衡水中学调研卷)某工件的三视图如图所示现将该工件通过切削加工成一个体积尽可能大的长方体新工件并使新工件的一个面落在原工件的一个面内则原工件材料的利用率为(材料利用率＝)＝________
【解析】由三视AB为底面正方形的对角线设长方体底面边长为a高为h则＝＝2－长方体体积为V＝a＝－＋2a＝－3＋4a由V得0故函数V＝－＋2a在(0)上是增函数在(＋∞)上是减函数故当a＝时取得最大值为－()3＋2×()＝圆锥的体积为＝故＝
【答案】
(2018·广西模拟)若体积为4的长方体的一个面的面积为1且这个长方体的8个顶点都在球O的球面上则球O的表面积的最小值为________
【解析】设长方体的a，b，c，ab＝1则abc＝4所以c＝4.因为长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径2r所以2r＝＝3当且仅当a＝b时取得最小值所以球O的表面积的最小值为4()2＝18【答案】18
(2018·云南昆明七校模拟)四棱锥S－ABCD的所有顶点都在同一球面上底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内当此四棱锥的体积取得最大值时其表面积等于8＋8则球O的体积等于() B.
C．16π D.
【解析】依题意设球O的半径为R四棱锥S－ABCD的高为h则有h≤R即h的最大值是R易得AB＝所以四棱锥S－ABCD的体积V－ABCD＝.因此当h＝R时四棱锥S－ABCD的体积最大其表面等于()2＋4×R×＝8＋8解得R＝2因此球O的体积为＝故选【答案】
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