高考一轮总复习·数学[理]（经典版）板块四模拟演练·提能增分高考一轮总复习·数学[理]（经典版）
[A级基础达标]
1．[2016·湖北八校联考]设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为()
A.B.C.D.
解析由题意知a＝3，b＝，c＝2.设线段PF1的中点为M，则有OMPF2，OM⊥F1F2，PF2⊥F1F2，
|PF2|＝＝.又|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，
|PF1|＝2a－|PF2|＝，＝×＝.故选B.
2．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是()
A.＋＝1B.＋＝1
C.＋＝1D.＋＝1
解析依题意，所求椭圆的焦点位于x轴上，且c＝1，e＝＝a＝2，b2＝a2－c2＝3，因此椭圆C的方程是＋＝1.
3．“－3
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
解析要使方程＋＝1表示椭圆，只须满足解得－3
4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为()
A．(－3,0)B．(－4,0)
C．(－10,0)D．(－5,0)
解析圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝1，圆心坐标是(3,0)，c＝3.又b＝4，a＝＝5.椭圆的焦点在x轴上，椭圆的左顶点为(－5,0)．故选D.
5．[2018·黑龙江双鸭山模拟]过椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点作垂直于x轴的直线与椭圆有四个交点，且这四个交点恰好为正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为()
A.B.C.D.
解析过椭圆的两个焦点作垂直于x轴的直线与椭圆有四个交点，且这四个交点恰好为正方形的四个顶点，c＝，即ac＝a2－c2，e2＋e－1＝0，0
6．[2018·惠来月考]以F1(－1,0)，F2(1,0)为焦点且与直线x－y＋3＝0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是()
A.＋＝1B.＋＝1
C.＋＝1D.＋＝1
解析解法一：由题意知，c＝1，a2－b2＝1，故可设椭圆的方程为＋＝1，
离心率的平方为：，
直线x－y＋3＝0与椭圆有公共点，将直线方程代入椭圆方程得
(2b2＋1)x2＋6(b2＋1)x＋8b2＋9－b4＝0，
由Δ＝36(b4＋2b2＋1)－4(2b2＋1)(8b2＋9－b4)≥0，
∴b4－3b2－4≥0，b2≥4，或b2≤－1(舍去)，
b2的最小值为4，
的最大值为，此时，a2＝b2＋1＝5，
离心率最大的椭圆方程是：＋＝1.故选C.
解法二：令直线x－y＋3＝0与椭圆的一个交点为P，则2a＝|PF1|＋|PF2|，
e＝＝，当|PF1|＋|PF2|最小时e最大，F1，F2在直线x－y＋3＝0的同侧，F1关于x－y＋3＝0的对称点F1′(－3,2)，|PF1|＋|PF2|＝|PF1′|＋|PF2|≥|F1′F2|＝2，即2a≥2，a≥，当a＝时e最大，此时b2＝a2－c2＝4，所求椭圆方程为＋＝1.故选C.
7．[2018·深圳检测]若x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是________．
(0,1)
解析将椭圆的方程化为标准形式得＋＝1，因为x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，所以>2，解得0
8．[2018·江西模拟]过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．
解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)分别代入椭圆方程相减得＋＝0，根据题意有x1＋x2＝2×1＝2，y1＋y2＝2×1＝2，且＝－，所以＋×＝0，得a2＝2b2，所以a2＝2(a2－c2)，整理得a2＝2c2，得＝，所以e＝.
9．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为e＝，其左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2，设点M(x1，y1)，N(x2，y2)是椭圆上不同两点，且这两点分别与坐标原点的连线的斜率之积为－.
(1)求椭圆C的方程；
(2)求证：x＋x为定值，并求该定值．
解(1)c＝，e＝，a＝2，b2＝a2－c2＝1，
则椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明：由于·＝－，
则x1x2＝－4y1y2，xx＝16yy.
而＋y＝1，＋y＝1，则1－＝y，1－＝y，
＝yy，则(4－x)(4－x)＝16yy，
(4－x)(4－x)＝xx，展开得x＋x＝4为一定值．
10．[2018·山东模拟]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点和短轴的两个端点都在圆x2＋y2＝1上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若斜率为k的直线过点M(2,0)，且与椭圆C相交于A，B两点，试探讨k为何值时，OAOB.
解(1)依题意b＝1，c＝1，所以a2＝2.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝k(x－2)．
由消去y得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0.
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
因为OAOB，所以x1x2＋y1y2＝0.
而y1y2＝k2(x1－2)(x2－2)，
所以x1x2＋k2(x1－2)(x2－2)＝0，
即(1＋k2)x1x2－2k2(x1＋x2)＋4k2＝0，
所以－＋4k2＝0，
解得k2＝，此时Δ>0，所以k＝±.
[B级知能提升]
1．[2018·湖南郴州]设e是椭圆＋＝1的离心率，且e，则实数k的取值范围是()
A．(0,3)B.
C．(0,3) D．(0,2)
解析当k>4时，c＝，由条件知<<1，
解得k>；
当0
由条件知<<1，解得0
2．[2018·重庆模拟]已知F1，F2为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点E是椭圆C上的动点，·的最大值、最小值分别为()
A．9,7B．8,7C．9,8D．17,8
解析由题意可知椭圆的左右焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1，0)，设E(x，y)，则＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，·＝x2－1＋y2＝x2－1＋8－x2＝x2＋7(－3≤x≤3)，所以当x＝0时，·有最小值7，当x＝±3时，·有最大值8.故选B.
3．[2018·鼓楼期末]由半椭圆＋＝1(x≥0)与半椭圆＋＝1(x≤0)合成的曲线称作“果圆”，如图所示，其中a2＝b2＋c2，a>b>c>0.由右椭圆＋＝1(x≥0)的焦点F0和左椭圆＋＝1(x≤0)的焦点F1，F2确定的F0F1F2叫做果圆的焦点三角形，若果圆的焦点三角形为锐角三角形，则右椭圆＋＝1(x≥0)的离心率的取值范围为()
A.B.
C. D.
解析连接F0F1、F0F2，
根据“果圆”关于x轴对称，可得F1F0F2是以F1F2为底边的等腰三角形，
F0F1F2是锐角三角形，
等腰F0F1F2的顶角为锐角，即F1F0F2∈.
由此可得|OF0|>|OF1|，
|OF0|，|OF1|分别是椭圆＋＝1，＋＝1的半焦距，
c>，平方得c2>b2－c2.
又b2＝a2－c2，c2>a2－2c2，解得3c2>a2，
两边都除以a2，得3·2>1，解之得>.
∵右椭圆＋＝1(x≥0)的离心率e＝(0,1)，
所求离心率e的范围为.故选C.
4．[2017·北京高考]已知椭圆C的两个顶点分别为A(－2，0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：BDE与BDN的面积之比为45.
解(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意得解得c＝，所以b2＝a2－c2＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明：设M(m，n)，则D(m,0)，N(m，－n)，
由题设知m≠±2，且n≠0.
直线AM的斜率kAM＝，
故直线DE的斜率kDE＝－，
所以直线DE的方程为y＝－(x－m)，
直线BN的方程为y＝(x－2)．
联立
解得点E的纵坐标yE＝－.
由点M在椭圆C上，得4－m2＝4n2，所以yE＝－n.
又SBDE＝|BD|·|yE|＝|BD|·|n|，
SBDN＝|BD|·|n|，
所以BDE与BDN的面积之比为45.
5．已知过点A(0,2)的直线l与椭圆C：＋y2＝1交于P，Q两点．
(1)若直线l的斜率为k，求k的取值范围；
(2)若以PQ为直径的圆经过点E(1,0)，求直线l的方程．
解(1)依题意，直线l的方程为y＝kx＋2，
由消去y得(3k2＋1)x2＋12kx＋9＝0，
令Δ＝(12k)2－36(3k2＋1)>0，
解得k>1或k<－1，
所以k的取值范围是(－∞，－1)(1，＋∞)．
(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，
则P(0,1)，Q(0，－1)或P(0，－1)，Q(0,1)，
此时以PQ为直径的圆过点E(1,0)，满足题意．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋2，
P(x1，y1)，Q(x2，y2)，又E(1,0)，
所以＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)．
由(1)知x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以·＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2
＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋(kx1＋2)(kx2＋2)
＝(k2＋1)x1x2＋(2k－1)(x1＋x2)＋5
＝＋(2k－1)＋5
＝.
因为以PQ为直径的圆过点E(1,0)，
所以·＝0，即＝0，
解得k＝－，满足Δ>0，
故直线l的方程为y＝－x＋2，
综上，所求直线l的方程为x＝0或y＝－x＋2.
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