板块三启智培优·破译高考板块四模拟演练·提能增分板块一板块三板块二高考一轮总复习·数学[理]（经典版）板块四第8章平面解析几何第5讲椭圆板块一知识梳理·自主学习板块二典例探究·考向突破板块一板块三板块二高考一轮总复习·数学[理]（经典版）板块四
[必备知识]
考点1椭圆的概念
在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做．这两定点叫做椭圆的，两焦点间的距离叫做．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：
(1)若，则集合P为椭圆；
(2)若，则集合P为线段；
(3)若，则集合P为空集．
椭圆
焦点
焦距
a>c
a＝c
a
考点2椭圆的标准方程和几何性质
[必会结论]
椭圆的常用性质
(1)设椭圆＋＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，P点在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，P点在长轴端点处．
(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a为斜边，a2＝b2＋c2.
(3)已知过焦点F1的弦AB，则ABF2的周长为4a.
(4)过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦之长为.
(5)椭圆离心率e＝.
[考点自测]
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()
(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．()
(3)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．()
×
√
√
(4)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．()
(5)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．()
×
√
2．[2017·浙江高考]椭圆＋＝1的离心率是()
A.B.C.D.
解析椭圆方程为＋＝1，
a＝3，c＝＝＝.
e＝＝.故选B.
3．[2018·广东模拟]已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝()
A．2B．3C．4D．9
解析由4＝(m>0)m＝3.故选B.
4．[课本改编]已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则椭圆C的方程是()
A.＋＝1B.＋＝1
C.＋＝1D.＋＝1
解析依题意，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，所以解得a2＝9，b2＝8.
故椭圆C的方程为＋＝1.
5．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m＝________.
解析椭圆x2＋my2＝1可化为x2＋＝1，
因为其焦点在y轴上，所以a2＝，b2＝1，
依题意知＝2，解得m＝.
6．[2018·上海联考]若椭圆的方程为＋＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a＝________.
4或8
解析当焦点在x轴上时，10－a－(a－2)＝22，解得a＝4；当焦点在y轴上时，a－2－(10－a)＝22，解得a＝8.
考向椭圆的定义及标准方程
例1(1)[2018·杭州模拟]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若AF1B的周长为4，则C的方程为()
A.＋＝1B.＋y2＝1
C.＋＝1D.＋＝1
解析由题意及椭圆的定义知4a＝4，则a＝，又＝＝，c＝1，b2＝2，C的方程为＋＝1.选A.
(2)设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为________．
4
解析连接PF2，则OM为PF1F2的中位线，
|OM|＝3，|PF2|＝6.
|PF1|＝2a－|PF2|＝10－6＝4.
触类旁通
(1)在利用椭圆定义解题的时候，一方面要注意到常数2a>|F1F2|这个条件；另一方面要熟练掌握由椭圆上任一点与两个焦点所组成的“焦点三角形”中的数量关系．
(2)待定系数法求椭圆方程，若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．
【变式训练1】(1)[2018·厦门模拟]已知椭圆＋y2＝1，F1，F2为其两焦点，P为椭圆上任一点．则|PF1|·|PF2|的最大值为()
A．6B．4C．2D．8
解析设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝2a＝4，|PF1|·|PF2|＝mn≤2＝4(当且仅当m＝n＝2时，等号成立)．故选B.
(2)已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2，则椭圆C的方程是_______________．
＋＝1
解析设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)．
由题意知解得a2＝16，b2＝12.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(3)[2017·豫北六校联考]设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|，且|AB|＝4，ABF2的周长为16.则|AF2|＝________.
5
解析由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3.
ABF2的周长为16，4a＝16，a＝4.
则|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，
|AF2|＝8－|AF1|＝8－3＝5.
考向椭圆的几何性质
例2(1)[2017·全国卷]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为()
A.B.C.D.
解析由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a.
又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，
圆心到直线的距离d＝＝a，解得a＝b，
＝，e＝＝＝
＝＝.故选A.
(2)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．
解析由题意知，2a＋2c＝2(2b)，即a＋c＝2b，又c2＝a2－b2，消去b，整理得5c2＝3a2－2ac，即5e2＋2e－3＝0，解得e＝或e＝－1(舍去)．
触类旁通
椭圆离心率的求解方法
求椭圆的离心率，常见的有三种方法：一是通过已知条件列方程组，解出a，c的值；二是由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
【变式训练2】(1)[2016·全国卷]直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为()
A.B.C.D.
解析不妨设直线l过椭圆的上顶点(0，b)和左焦点(－c，0)，b>0，c>0，则直线l的方程为bx－cy＋bc＝0，由已知得＝×2b，解得b2＝3c2，又b2＝a2－c2，所以＝，即e2＝，所以e＝(e＝－舍去)．故选B.
(2)[2018·锦州模拟]设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2F1F2，PF1F2
＝30°，则C的离心率为________．
解析在RtPF2F1中，令|PF2|＝1，因为PF1F2＝30°，所以|PF1|＝2，|F1F2|＝.所以e＝＝＝.
考向椭圆中的焦点三角形
例3[2018·漳浦县校级月考]椭圆＋y2＝1上的一点P与两焦点F1，F2所构成的三角形称为焦点三角形．
(1)求·的最大值与最小值；
(2)设F1PF2＝θ，求证：SF1PF2＝tan.
解(1)设P(x，y)，F1(－，0)，F2(，0)，
则·＝(－－x，－y)·(－x，－y)＝x2＋y2－3＝x2－2.
x2∈[0,4]，x2－2[－2,1]．
·的最大值为1，最小值为－2.
(2)证明：由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，
在F1PF2中，由余弦定理可得：
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cosθ＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|(1＋cosθ)，
可得4c2＝4a2－2|PF1|·|PF2|(1＋cosθ)|PF1|·|PF2|＝，
即有F1PF2的面积S＝|PF1|·|PF2|sinF1PF2＝b2＝b2tan＝tan.
触类旁通
椭圆的焦点三角形：椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理．
以椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的PF1F2中，若F1PF2＝θ，则
(1)|PF1|＋|PF2|＝2a；
(2)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ；
(3)SPF1F2＝|PF1||PF2|·sinθ，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，SPF1F2取最大值，为bc；
(4)焦点三角形的周长为2(a＋c)；
(5)当P为短轴端点时，θ最大；
(6)若焦点三角形的内切圆圆心为I，延长PI交F1F2于点Q，则＝＝，所以＝＝＝(e为离心率)．
【变式训练3】(1)如图所示椭圆中，P为椭圆上一点，F为其一个焦点，PF为直径的圆与长轴为直径的圆的关系为________．
内切
解析设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，F、F′分别是椭圆的左、右焦点，
作出以线段PF为直径的圆和以长轴为直径的圆x2＋y2＝a2，如图所示．
设PF中点为M，连接PF′，
∴OM是PFF′的中位线，可得|OM|＝|PF′|，即两圆的圆心距为|PF′|.
根据椭圆定义，可得|PF|＋|PF′|＝2a，
圆心距|OM|＝|PF′|＝(2a－|PF|)＝a－|PF|，即两圆的圆心距等于它们的半径之差，
因此，以PF为直径的圆与以长轴为直径的圆x2＋y2＝a2相内切．
(2)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且.若PF1F2的面积为9，则b＝________.
3
解析由题意知|PF1|＋|PF2|＝2a，，
所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，
所以(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝4c2，
所以2|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，
所以|PF1||PF2|＝2b2，
所以SPF1F2＝|PF1||PF2|＝×2b2＝b2＝9.
所以b＝3.
考向直线与椭圆的综合问题
命题角度1弦的中点问题
例4[2018·南昌模拟]已知椭圆：＋x2＝1，过点P的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为()
A．9x－y－4＝0B．9x＋y－5＝0
C．2x＋y－2＝0D．x＋y－5＝0
解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为A，B在椭圆＋x2＝1上，所以两式相减得＋x－x＝0，得＋(x1－x2)(x1＋x2)＝0，又弦AB被点P平分，所以x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，将其代入上式得
＋x1－x2＝0，得＝－9，即直线AB的斜率为－9，所以直线AB的方程为y－＝－9，即9x＋y－5＝0.
命题角度2弦长问题
例5[2018·陕西咸阳模拟]在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点P(2,1)，且离心率e＝.
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点．求PAB面积的最大值．
解(1)e2＝＝＝，a2＝4b2.
又椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点P(2,1)，
＋＝1，a2＝8，b2＝2.
故所求椭圆方程为＋＝1.
(2)设l的方程为y＝x＋m，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立整理，得x2＋2mx＋2m2－4＝0.
Δ＝4m2－8m2＋16>0，解得|m|<2.
x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4.
则|AB|＝×
＝.
点P到直线l的距离d＝＝.
S△PAB＝d|AB|＝××＝≤＝2.
当且仅当m2＝2，即m＝±时取得最大值．
触类旁通
直线与椭圆综合问题的处理方法
解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．
核心规律
1.椭圆中的参数a，b，c三者的关系为a2－b2＝c2，这是椭圆中参数关系的核心．
2.求离心率常用两种方法：
(1)求得a，c的值，代入公式e＝即可；
(2)列出a，b，c的方程或不等式，根据b2＝a2－c2将b消掉，转化为含有a和c的关系，最后转化为关于e的方程或不等式．
满分策略
1.判断椭圆的两种标准方程的方法为比较标准方程形式中x2和y2的分母大小．
2.关于离心率的范围问题，一定不要忘记椭圆离心率的固有范围0
3.注意椭圆的范围，在设椭圆＋＝1(a>b>0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因.
题型技法系列15——椭圆离心率范围的求解技巧
[2018·衡中模拟]F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使F1PF2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是______________．
解题视点将垂直问题转化为向量的数量积，再借助于椭圆本身的属性|x|≤a破解．
≤e<1
解析解法一：设P(x0，y0)为椭圆上一点，则＋＝1.
＝(－c－x0，－y0)，＝(c－x0，－y0)，
若F1PF2＝90°，则·＝x＋y－c2＝0.
x＋b2＝c2，x＝.
∵0≤x≤a2，0≤≤1.
∴b2≤c2，a2≤2c2，≤e<1.
解法二：如图，由题意，F1PF2≥90°，OPF2≥45°，
sin∠OPF2＝≥，
≤e<1.
答题启示建立关于a，b，c的关系式?等式或不等式?，并且最后要把其中的b用a，c表示，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法.
跟踪训练
已知过椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点F1，F2的两条互相垂直的直线的交点在椭圆内部(不包括边界)，则此椭圆离心率的取值范围是()
A．(0,1)B.
C. D.
解析设椭圆＋＝1的短轴的一个端点为B，中心为O，椭圆上任意一点为M，过焦点F1，F2的两条互相垂直的直线的交点为P，则点P在以O为圆心，|F1F2|为直径的圆上，且该圆的半径r＝|OP|＝|F1F2|＝c(其中c＝)，则由椭圆的性质及题意可得r
|
|
