2019版高考数学（理）培优增分一轮全国经典版课件：第3章+三角函数、解三角形3-3+【KS5U+高考】

板块三启智培优·破译高考板块四模拟演练·提能增分板块一板块三板块二板块四高考一轮总复习·数学[理]（经典版）第3章三角函数、解三角形第3讲三角函数的图象和性质板块一知识梳理·自主学习板块二典例探究·考向突破板块一板块三板块二板块四高考一轮总复习·数学[理]（经典版）

























































[必备知识]

考点正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质









































































































[必会结论]

1．函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T＝，函数y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝.

2．正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期．而正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期．

3．三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式．

























[考点自测]

1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)y＝cosx在第一、二象限内是减函数．()

(2)函数y＝sin是偶函数，最小正周期为π.()

(3)函数y＝sinx的对称轴方程为x＝2kπ＋(kZ)．()

(4)函数y＝tanx在整个定义域上是增函数．()

























×

























√

























×

























×



























2．[课本改编]若函数f(x)＝－cos2x，则f(x)的一个递增区间为()

A.B.

C. D.





























解析由f(x)＝－cos2x知递增区间为，kZ，故只有B项满足．



























3．[2018·福建模拟]函数f(x)＝sin的图象的一条对称轴是()

A．x＝B．x＝

C．x＝－D．x＝－



























解析由x－＝＋kπ，得x＝kπ＋，当k＝－1时，x＝－.

























4．[2018·厦门模拟]函数y＝sin＋1的图象的一个对称中心的坐标是()

A.B.

C. D.



























解析对称中心的横坐标满足2x＋＝kπ，解得x＝－＋，kZ.当k＝1时，x＝，y＝1.故选B.



























5．[课本改编]函数y＝tan的定义域是()

A.B.

C. D.



















































解析y＝tan＝－tan，由x－≠＋kπ，kZ，得x≠kπ＋，kZ.故选D.



























6．函数y＝3－2cos的最大值为________，此时x＝_______________________.



























5

















































解析函数y＝3－2cos的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝π＋2kπ(kZ)，即x＝＋2kπ(kZ)．



























＋2kπ(kZ)

















































考向三角函数的定义域、值域

例1(1)[2018·烟台模拟]函数y＝的定义域为()

A.

B.(kZ)

C.(k∈Z)

D．R



























解析cosx－≥0，得cosx≥，2kπ－≤x≤2kπ＋，kZ.



























(2)函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为__________．



























2－

























解析0≤x≤9，－≤x－≤，

－≤sin≤1，

故－≤2sin≤2.

即函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值为2，最小值为－.所以最大值与最小值的和为2－.































本例(2)中的函数换为“y＝3－sinx－2cos2x，x”，如何解答？



















































解x∈，sinx∈.

又y＝3－sinx－2cos2x＝3－sinx－2(1－sin2x)

＝22＋，

当sinx＝时，ymin＝；

当sinx＝－或sinx＝1时，ymax＝2.

故函数的最大值与最小值的和为2＋＝.

























本例(2)中的函数换为“y＝sinx－cosx＋sinxcosx，x[0，π]”，又该如何解答？



























解令t＝sinx－cosx，又x[0，π]，

t＝sin，t[－1，]．

由t＝sinx－cosx，得t2＝1－2sinxcosx，

即sinxcosx＝.

























∴原函数变为y＝t＋，t[－1，]．

即y＝－t2＋t＋.

当t＝1时，ymax＝－＋1＋＝1；

当t＝－1时，ymin＝－－1＋＝－1.

故函数的最大值与最小值的和为1－1＝0.























触类旁通

三角函数定义域、值域的求解策略

(1)求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，也可借助三角函数线或三角函数图象来求解．

(2)求解三角函数的值域(最值)，首先把三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)，或用换元法(令t＝sinx，或t＝sinx±cosx)化为关于t的二次函数求值域(最值)．























































(3)换元法的应用：把sinx或cosx看作一个整体，转化为二次函数，求给定区间上的值域(最值)问题．此时注意所换元的取值范围．



























【变式训练1】(1)函数y＝的定义域为()

A.

B.(k∈Z)

C.(k∈Z)

D.(k∈Z)



























解析由2sinx－1≥0，得sinx≥，所以2kπ＋≤x≤2kπ＋(kZ)．































(2)函数y＝cos，x的值域是___________．





















































解析x，x＋，

y∈.



























考向三角函数的单调性

例2已知函数f(x)＝2sin(ω＞0)的最小正周期为π.

(1)求ω的值；

(2)讨论f(x)在区间上的单调性．



























解(1)因为f(x)＝2sin的最小正周期为π，且ω＞0.从而有＝π，故ω＝1.

























(2)因为f(x)＝2sin.

若0≤x≤，则≤2x＋≤.

当≤2x＋≤，即0≤x≤时，

f(x)单调递增；

当＜2x＋≤，即＜x≤时，f(x)单调递减．

综上可知，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．



























触类旁通

三角函数单调性问题的解题策略

(1)求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中，ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．

(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．





























【变式训练2】(1)设ω是正实数，函数f(x)＝2cosωx在x上是减函数，那么ω的值可以是()

A.B．2C．3D．4



























解析因为函数f(x)＝2cosωx在上单调递减，所以要使函数f(x)＝2cosωx(ω>0)在区间上单调递减，则有≤，即T≥，所以T＝≥，解得ω≤.所以ω的值可以是.故选A.



























(2)函数y＝sin的递增区间是______________________．



























(k∈Z)

























解析y＝－sin，

2kπ＋≤2x－≤2kπ＋

kπ＋≤x≤kπ＋(kZ)．































考向三角函数的奇偶性、周期性及对称性

命题角度1三角函数的周期性与奇偶性

例3[2018·长沙模拟]设函数f(x)＝sin的最小正周期为π，且是偶函数，则()



















































A．f(x)在内单调递减

B．f(x)在内单调递减

C．f(x)在内单调递增

D．f(x)在内单调递增



























解析由条件，知ω＝2.

因为f(x)是偶函数，且|φ|<，所以φ＝，

这时f(x)＝sin＝cos2x.

因为当x时，2x(0，π)，

所以f(x)在内单调递减．





























命题角度2三角函数的周期性与对称性

例4已知ω>0,0<φ<π，直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ等于()

A.B.C.D.



























解析由题意得＝2，

ω＝1，f(x)＝sin(x＋φ)，

＋φ＝＋kπ(kZ)，

φ＝＋kπ(kZ)．

又0<φ<π，φ＝.故选A.

























命题角度3三角函数的奇偶性与对称性

例5[2018·揭阳模拟]当x＝时，函数f(x)＝sin(x＋φ)取得最小值，则函数y＝f()

A．是奇函数且图象关于点对称

B．是偶函数且图象关于点(π，0)对称

C．是奇函数且图象关于直线x＝对称

D．是偶函数且图象关于直线x＝π对称

























解析当x＝时，函数f(x)取得最小值，

sin＝－1，φ＝2kπ－(kZ)，

f(x)＝sin＝sin，

y＝f＝sin(－x)＝－sinx，

y＝f是奇函数，且图象关于直线x＝对称．























触类旁通

函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性和对称性

(1)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(kZ)；若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(kZ)．

(2)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断．



























核心规律

1.讨论三角函数性质，应先把函数式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式．

2.函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.

3.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t＝ωx＋φ，将其转化为研究y＝sint的性质．





















































满分策略

1.闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．

2.要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω>0时的情况．

3.三角函数的最值可能不在自变量区间的端点处取得，直接将两个端点处的函数值作为最值是错误的.

























数学思想系列4——三角函数中的分类讨论思想

[2018·龙岩模拟]已知函数f(x)＝2asin＋a＋b的定义域是，值域是[－5,1]，求a，b的值．

解题视点先求出2x＋的范围，再求出sin的值域；系数a的正、负影响着f(x)的值，因而要分a>0，a<0两种情况讨论；根据a>0或a<0求f(x)的最值，列方程组求解．

















































解因为0≤x≤，所以≤2x＋≤，

－≤sin≤1.

所以当a>0时，解得

当a<0时，解得

因此a＝2，b＝－5或a＝－2，b＝1.

























答题启示?1?对此类问题的解决，首先利用正弦函数、余弦函数的有界性或单调性求出y＝Asin?ωx＋φ?或y＝Acos?ωx＋φ?的最值，但要注意对A的正负进行讨论，以便确定是最大值还是最小值；?2?再由已知列方程求解；?3?本题的易错点是忽视对参数a>0或a<0的分类讨论，导致漏解.

























跟踪训练

已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asinax的图象不可能是()





























解析当a＝0时，f(x)＝1，即图象C；当02π，即图象A；当a>1时，三角函数的最大值为a＋1>2，且最小正周期为T＝<2π，即图象B.