板块三启智培优·破译高考板块四模拟演练·提能增分板块一板块三板块二板块四高考一轮总复习·数学[理]（经典版）第3章三角函数、解三角形第4讲函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用板块一知识梳理·自主学习板块二典例探究·考向突破板块一板块三板块二板块四高考一轮总复习·数学[理]（经典版）
[必备知识]
考点1y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x[0，＋∞) 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝
ωx＋φ
φ
考点2用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示．
x ωx＋φ y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
0
π
2π
考点3函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤
[必会结论]
函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种作法：
(1)五点法：用“五点法”作图，关键是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，，2π来求出相应的x，通过列表，描点得出图象．如果在限定的区间内作图象，还应注意端点的确定．
(2)图象变换法：由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”(即“先φ后ω”)与“先伸缩后平移”(即“先ω后φ”)．
[考点自测]
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)将y＝sin2x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin的图象．()
(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.()
×
×
(3)把y＝sinx的图象上点的横坐标伸长为原来的2倍，得到y＝sinωx的图象，则ω的值为.()
(4)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．()
(5)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.()
√
×
√
2．[2018·柳州模拟]若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图，则ω＝()
A．5B．4C．3D．2
解析由图象可知，＝x0＋－x0＝，即T＝＝，故ω＝4.
3．[2016·全国卷]将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为()
A．y＝2sin B．y＝2sin
C．y＝2sin D．y＝2sin
解析函数y＝2sin的周期为π，所以将函数y＝2sin的图象向右平移个单位长度后，得到函数图象对应的解析式为y＝2sin＝2sin.故选D.
4．[2018·西安模拟]已知函数f(x)＝cos(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象()
A．关于点对称B．关于直线x＝对称
C．关于点对称D．关于直线x＝对称
解析＝π得ω＝2，函数f(x)的对称轴满足2x＋＝kπ(kZ)，解得x＝－(kZ)，当k＝1时，x＝.选D.
5．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式是()
A．f(x)＝2sin
B．f(x)＝2sin
C．f(x)＝2sin
D．f(x)＝2sin
解析由图象知函数的最大值为2，即A＝2，函数的周期T＝4＝2π＝，解得ω＝1，即f(x)＝2sin(x＋φ)，由题图知＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，解得φ＝＋2kπ(k∈Z)，又因为0<φ<，所以φ＝，故f(x)＝2sin.
6．[2018·海南模拟]把函数y＝sinx的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图象向左平移个单位，得到的函数图象的解析式是()
A．y＝cos2xB．y＝－sin2x
C．y＝sinD．y＝sin
解析由y＝sinx图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，所得图象的解析式为y＝sin2x，再向左平移个单位得y＝sin，即y＝cos2x.
考向三角函数的图象变换
例1将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是()
A．y＝sinB．y＝sin
C．y＝sinD．y＝sin
解析将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平移个单位长度后，所得图象的函数解析式为y＝sin；再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是y＝sin.故选C.
触类旁通
两种图象变换的区别
由y＝sinx的图象变换到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω>0)个单位长度．
【变式训练1】将函数y＝cos的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴是()
A．x＝B．x＝
C．x＝πD．x＝
解析y＝cosy＝cosy＝cos，即y＝cos.
由余弦函数的性质知，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，又当x＝时，y＝cos＝1.故选D.
考向求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例2[2016·全国卷]函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则()
A．y＝2sin
B．y＝2sin
C．y＝2sin
D．y＝2sin
解析由题图知A＝2，＝－＝，则T＝π，所以ω＝2，则y＝2sin(2x＋φ)，
因为题图经过点，所以2sin＝2，
＋φ＝2kπ＋，kZ，即φ＝2kπ－，kZ.
当k＝0时，φ＝－，所以y＝2sin.故选A.
触类旁通
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的解析式的步骤
(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝.
(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝.
(3)求φ，常用方法有：
代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．
五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．
【变式训练2】已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)，y＝f(x)的部分图象如图，则f＝________.
解析由函数图象，知＝－，所以T＝，即＝，所以ω＝2.结合图象可得2×＋φ＝kπ＋，kZ，即φ＝kπ＋，kZ.因为|φ|<，所以φ＝.又由图象过点(0,1)，代入得Atan＝1，所以A＝1.所以函数的解析式为f(x)＝tan，所以f＝tan＝.
考向函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质的综合应用
命题角度1函数图象与性质的综合应用
例3[2015·全国卷]函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为()
A.，kZ
B.，kZ
C.，kZ
D.，kZ
解析由图象可知＋φ＝＋2mπ，＋φ＝＋2mπ，mZ，所以ω＝π，φ＝＋2mπ，mZ，所以函数f(x)＝cos＝cos的单调递减区间为2kπ<πx＋<2kπ＋π，kZ，即2k－
命题角度2图象变换与性质的综合应用
例4[2018·太原模拟]已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期是π，若将f(x)的图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f(x)的图象()
A．关于直线x＝对称B．关于直线x＝对称
C．关于点对称D．关于点对称
解析f(x)的最小正周期为π，＝π，ω＝2，
f(x)的图象向右平移个单位后得到g(x)＝sin＝sin的图象，
又g(x)的图象关于原点对称，
－＋φ＝kπ，kZ，φ＝＋kπ，kZ，
又|φ|＜，φ＝－，f(x)＝sin.
当x＝时，2x－＝－，A，C错误；
当x＝时，2x－＝，B正确，D错误．
命题角度3函数图象与实际问题的综合应用
例5如图所示，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.
(1)求这段时间的最大温差；
(2)写出这段曲线的函数解析式．
解(1)由图可得，这段时间的最大温差是30－10＝20℃.
(2)图中从6时至14时的图象是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象．
·＝14－6，解得ω＝.
由图可得，A＝(30－10)＝10，b＝(30＋10)＝20.
这时y＝10sin＋20.
将x＝6，y＝10代入上式，可取φ＝.
综上，所求解析式为y＝10sin＋20，x[6,14]．
触类旁通
函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质
(1)奇偶性：当φ＝kπ(kZ)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数；当φ＝kπ＋(kZ)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数．
(2)周期性：y＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期为T＝.
(3)单调性：根据y＝sint和t＝ωx＋φ(ω>0)的单调性来研究，由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(kZ)得单调递增区间；由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(kZ)得单调递减区间．
(4)对称性：利用y＝sinx的对称中心为(kπ，0)(kZ)求解，令ωx＋φ＝kπ(kZ)求得对称中心的横坐标．利用y＝sinx的对称轴为x＝kπ＋(kZ)求解，令ωx＋φ＝kπ＋(kZ)得其对称轴．
核心规律
1.已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.
2.由函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质求解析式时，若最大值与最小值对应的自变量为x1，x2，则＝|x1－x2|min.通过代入解析式点的坐标解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求．
满分策略
1.在三角函数的平移变换中，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x变为x±|φ|.
2.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝x0对称，则ωx0＋φ＝kπ＋(k∈Z)，即过函数图象的最高点或最低点，且与x轴垂直的直线为其对称轴．
3.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象关于点(x0,0)成中心对称，则ωx0＋φ＝kπ(k∈Z)，即函数图象与x轴的交点是其对称中心.
题型技法系列5——异名三角函数的图象变换技巧
[2017·全国卷]已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sin，则下面结论正确的是()
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
解题视点解决三角函数图象变换题时，若两函数异名，则通常利用公式sinx＝cos和cosx＝sin将异名三角函数转化为同名三角函数，然后分析变换过程．
解析首先利用诱导公式化异名为同名．
y＝sin＝cos＝cos＝cos，
由y＝cosx的图象得到y＝cos2x的图象，需将曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变；由y＝cos2x的图象得到y＝cos的图象，需将y＝cos2x的图象上的各点向左平移个单位长度．故选D.
答题启示三角函数图象变换
(1)伸缩变换：将y＝sinx图象上的各点的横坐标变为原来的ω倍，纵坐标不变，可得到y＝sin的图象；将y＝sinx图象上各点的纵坐标变为原来的A倍，横坐标不变，可得到y＝Asinx的图象．
(2)平移变换：函数图象的平移变换遵循“左加右减”的法则，但是要注意平移量是指自变量x的变化量．
跟踪训练
[2018·合肥二检]为了得到函数y＝cos的图象，可将函数y＝sin2x的图象()
A．向左平移单位长度B．向右平移单位长度
C．向左平移单位长度D．向右平移单位长度
解析由题意，得y＝cos＝sin＝sin，则它是由y＝sin2x向左平移个单位得到的．故选C.
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