板块三启智培优·破译高考板块四模拟演练·提能增分板块一板块三板块二板块四高考一轮总复习·数学[理]（经典版）第3章三角函数、解三角形第5讲简单的三角恒等变换板块一知识梳理·自主学习板块二典例探究·考向突破板块一板块三板块二板块四高考一轮总复习·数学[理]（经典版）
[必备知识]
考点1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
考点2二倍角的正弦、余弦、正切公式
公式名 公式 二倍角的正弦 sin2α＝ 二倍角的余弦 cos2α＝ 二倍角的正切 tan2α＝
2sinαcosα
cos2α－sin2α＝1－2sin2α＝2cos2α－1
[必会结论]
1．降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.
2．升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.
3．公式变形：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1tanα·tanβ)．
4．辅助角公式：asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，
其中sinφ＝，cosφ＝.
[考点自测]
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．()
(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．()
(3)在锐角ABC中，sinAsinB和cosAcosB大小不确定．()
√
√
×
(4)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．()
(5)存在角α，使得sin2α＝2sinα成立．()
√
×
2．[2018·江西九江模拟]计算sin－cos的值为()
A．0B．－C．2D.
解析sin－cos＝2＝2sin＝2sin＝－.故选B.
3．[2017·山东高考]已知cosx＝，则cos2x＝()
A．－B.C．－D.
解析cos2x＝2cos2x－1＝2×2－1＝.故选D.
4．[2018·山西四校联考]已知sin＝，－＜α＜0，则cos的值是()
A.B.C．－D．1
解析由已知得cosα＝，sinα＝－，cos＝cosα＋sinα＝－.
5．[2017·江苏高考]若tan＝，则tanα＝________.
解析tan＝
＝＝，
6tanα－6＝1＋tanα(tanα≠－1)，tanα＝.
tanα＝tan
＝＝＝.
6．[2017·全国卷]函数f(x)＝2cosx＋sinx的最大值为________．
解析f(x)＝2cosx＋sinx＝，
设sinα＝，cosα＝，则f(x)＝sin(x＋α)，
函数f(x)＝2cosx＋sinx的最大值为.
考向三角函数的化简求值
例1(1)[2018·衡水中学二调]－＝()
A．4B．2
C．－2D．－4
解析－＝－
＝＝＝＝－4.
(2)4cos50°－tan40°＝()
A.B.
C. D．2－1
解析4cos50°－tan40°＝
＝＝
＝
＝
＝.
触类旁通
三角函数式化简的常用方法
(1)异角化同角：善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分，恰当选择三角公式，能求值的求出值，减少角的个数．
(2)异名化同名：统一三角函数名称，利用诱导公式切弦互化、二倍角公式等实现名称的统一．
(3)异次化同次：统一三角函数的次数，一般利用降幂公式化高次为低次．
【变式训练1】(1)[2018·九江模拟]化简等于()
A．－2B．－C．－1D．1
解析＝＝＝－1.
(2)计算：tan20°＋4sin20°＝________.
解析原式＝＋4sin20°＝
＝＝
＝＝
＝＝.
考向三角函数的条件求值
命题角度1给值求值问题
例2(1)[2016·全国卷]若cos＝，则sin2α＝()
A.B.C．－D．－
解析解法一：sin2α＝cos＝cos＝2cos2－1＝2×2－1＝－.故选D.
解法二：cos＝(cosα＋sinα)＝cosα＋sinα＝1＋sin2α＝，sin2α＝－.故选D.
(2)[2017·全国卷]已知α，tanα＝2，则cos＝________.
解析cos＝cosαcos＋sinαsin
＝(cosα＋sinα)．
又由α，tanα＝2，知sinα＝，cosα＝，
cos＝×＝.
命题角度2给值求角问题
例3(1)[2018·江苏徐州质检]已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求β.
解0<β<α<，0<α－β<.
又cos(α－β)＝，
sin(α－β)＝＝.
∵cosα＝，0<α<，sinα＝，
cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝.
0<β<，β＝.
(2)已知α，β(0，π)，且tan(α－β)＝，tanβ＝－，求2α－β的值．
解tanα＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝>0，0<α<.
又tan2α＝＝＝>0，
∴0<2α<，
tan(2α－β)＝＝＝1.
tanβ＝－<0，<β<π，－π<2α－β<0，
2α－β＝－.
触类旁通
三角函数的条件求值技巧
(1)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可．
(2)通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则：已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．
考向三角恒等变换的综合应用
例4[2017·浙江高考]已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sinxcosx(xR)．
(1)求f的值；
(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．
解(1)由sin＝，cos＝－，
得f＝2－2－2××，
所以f＝2.
(2)由cos2x＝cos2x－sin2x与sin2x＝2sinxcosx得
f(x)＝－cos2x－sin2x＝－2sin，
所以f(x)的最小正周期是π.
由正弦函数的性质得＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，kZ，
解得＋kπ≤x≤＋kπ，kZ，
所以f(x)的单调递增区间是(kZ)．
触类旁通
三角恒等变换在三角函数图象和性质中的应用
(1)图象变换问题
先根据两角和差公式、倍角公式把函数表达式变换为正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)＋t或余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)＋t的形式，再进行图象变换．
(2)函数性质问题
求函数周期、最值、单调区间的方法步骤：
①利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成y＝Asin(ωx＋φ)＋t或y＝Acos(ωx＋φ)＋t的形式；
利用公式T＝(ω>0)求周期；
根据自变量的范围确定ωx＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值；
根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋t或y＝Acos(ωx＋φ)＋t的单调区间．
【变式训练2】已知函数f(x)＝cos2x＋cos2，xR.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在上的最大值和最小值．
解(1)f(x)＝cos2x＋cos2
＝＋
＝sin2x＋cos2x＋1
＝sin＋1，
则函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)函数f(x)在上单调递增，在上单调递减．
f＝，f＝＋1，f＝1＋，
f(x)min＝，f(x)max＝＋1.
核心规律
重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的拆分要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．
满分策略
1.运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．
2.三角变换的应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为最简形式y＝Asin(ωx＋φ)再研究性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题.
规范答题系列2——逆向思维构造辅助角公式解题
[2017·北京高考]已知函数f(x)＝cos－2sinxcosx.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求证：当x时，f(x)≥－.
解题视点(1)根据三角恒等变换公式将函数解析式化简为“一角一函数”的形式，(2)证明f(x)≥－时注意x的取值范围．
解(1)f(x)＝cos2x＋sin2x－sin2x
＝sin2x＋cos2x
＝sin，
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)证明：因为－≤x≤，
所以－≤2x＋≤.
所以sin≥sin＝－，
所以当x时，f(x)≥－.
[答题模板]第一步：将f(x)化为asinx＋bcosx的形式；
第二步：构造f(x)＝
；
第三步：和差公式逆用f(x)＝sin(x＋φ)(其中φ为辅助角)；
第四步：利用f(x)＝sin(x＋φ)研究三角函数的性质；
第五步：反思回顾，查看关键点、易错点和解题规范．
化简时公式的准确应用是灵魂；研究三角函数性质时注意整体思想的应用．
跟踪训练
已知函数f(x)＝2sinxsin.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)当x时，求函数f(x)的值域．
解(1)f(x)＝2sinx＝×＋sin2x＝sin＋.所以函数f(x)的最小正周期为T＝π.由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，kZ，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，kZ，
所以函数f(x)的单调递增区间是，kZ.
(2)当x时，2x－，sin，f(x).
故f(x)的值域为.
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