板块三启智培优·破译高考板块四模拟演练·提能增分板块一板块三板块二板块四高考一轮总复习·数学[理]（经典版）第3章三角函数、解三角形第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式板块一知识梳理·自主学习板块二典例探究·考向突破板块一板块三板块二板块四高考一轮总复习·数学[理]（经典版）
[必备知识]
考点1同角三角函数的基本关系式
1．平方关系：
2．商数关系：
sin2α＋cos2α＝1.
tanα＝.
考点2六组诱导公式
[必会结论]
1．同角三角函数基本关系式的常用变形
(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；
(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2；
(sinα＋cosα)2－(sinα－cosα)2＝4sinαcosα.
2．诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．
[考点自测]
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.()
(2)已知sinα＝，α，则cosα＝.()
(3)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角．()
(4)六组诱导公式中的角α可以是任意角．()
(5)若cos(nπ－θ)＝(nZ)，则cosθ＝.()
×
√
×
×
×
2．[2018·商丘模拟]sin(－600°)的值为()
A.B.C．1D.
解析sin(－600°)＝sin(－720°＋120°)＝sin120°＝.
3．已知cos＝，且α，则tanα＝()
A.B.C．－D．±
解析sinα＝－，cosα＝－，tanα＝.选B.
4．若sin(π＋α)＝－，则sin(7π－α)＝________，cos＝________.
解析由sin(π＋α)＝－，得sinα＝，
则sin(7π－α)＝sin(π－α)＝sinα＝，
cos＝cos＝cos
＝cos＝sinα＝.
5．[课本改编]若α是第二象限角，且tanα＝－2，则cosα＝________.
－
解析由tanα＝－2，得sinα＝－2cosα，代入平方关系得5cos2α＝1，因为cosα<0，所以cosα＝－.
6．[2018·桂林模拟]若sin＝，则cos＝________.
－
解析cos＝cos＝sin＝－sin＝－.
考向同角三角函数基本关系式的应用
例1[2018·杭州模拟]已知－
(1)求sinx－cosx的值；
(2)求的值．
解(1)解法一：联立方程
由得sinx＝－cosx，将其代入，
整理得25cos2x－5cosx－12＝0.
－
∴sinx－cosx＝－.
解法二：sinx＋cosx＝，
(sinx＋cosx)2＝2，即1＋2sinxcosx＝，
2sinxcosx＝－.
(sinx－cosx)2＝sin2x－2sinxcosx＋cos2x＝1－2sinxcosx＝1＋＝.
又－0，
∴sinx－cosx<0.
由可知sinx－cosx＝－.
(2)解法一：由已知条件及(1)可知
解得tanx＝－.
又＝＝＝，
＝.
解法二：由已知条件及(1)可知
＝＝＝.
在本例条件下，求的值．
解＝＝＝.
在本例条件下，求sin2x＋sinxcosx的值．
解sin2x＋sinxcosx＝＝＝＝－.
触类旁通
同角三角函数基本关系式及变形公式的应用
(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以实现角α的弦切互化．
(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．
(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
(4)关于sinα，cosα的齐次式，往往转化为关于tanα的式子求解．
【变式训练】(1)已知2tanα·sinα＝3，－＜α＜0，则sinα＝()
A.B．－C.D．－
解析因为2tanα·sinα＝3，所以＝3，所以2sin2α＝3cosα，即2－2cos2α＝3cosα，所以cosα＝或cosα＝－2(舍去)，又－＜α＜0，所以sinα＝－.
(2)已知α是三角形的内角，且tanα＝－，求sinα＋cosα的值．
解由tanα＝－，得sinα＝－cosα，
将其代入sin2α＋cos2α＝1，
得cos2α＝1，cos2α＝，易知cosα＜0，
cosα＝－，sinα＝，
故sinα＋cosα＝－.
考向利用诱导公式化简求值
命题角度1利用诱导公式化简求值
例2已知
f(α)＝，
求f的值．
解f(α)＝
＝－tanα，则f＝－tan＝tan＝1.
命题角度2同角关系和诱导公式的综合应用
例3[2016·全国卷]已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.
－
解析因为sin＝，所以cos＝sin＝sin＝，因为θ为第四象限角，所以－＋2kπ＜θ＜2kπ，kZ，所以－＋2kπ＜θ－＜2kπ－，kZ，所以sin＝－＝－，所以tan＝＝－.
触类旁通
利用诱导公式化简求值的思路
(1)给角求值问题，关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用．
(2)在对给定的式子进行化简或求值时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式来将角进行转化．特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名称搞错．
核心规律
1.三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法；(2)和积转换法；(3)巧用“1”的变换．
2.利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．
满分策略
1.同角三角函数的基本关系及诱导公式要注意角的范围对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系求三角函数值，进行开方时要根据角的范围，判断符号后，正确取舍．
2.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.
易错警示系列6——忽视“角范围”的信息提取致误
[2018·石家庄模拟]设θ为第二象限角，若tan＝，则sinθ＋cosθ＝________.
错因分析(1)不能提炼隐含信息tan＞0.
(2)利用同角三角函数平方关系，开方运算时忽视三角函数符号的判定．
－
解析由tan＝，得cos＝2sin，代入sin2＋cos2＝1，
得sin2＝.
θ为第二象限角．
2kπ＋π＜θ＋＜2kπ＋π，kZ.
又tan＝＞0，
∴2kπ＋π＜θ＋＜2kπ＋π(kZ)，
故sin＝－.
因此sinθ＋cosθ＝sin＝－.
答题启示(1)由tan＝挖掘tan＞0，结合θ为第二象限角，进一步确定角θ＋的范围．
(2)开方运算时，应先根据角θ的范围或象限角判定三角函数值的符号．
跟踪训练
已知sinαcosα＝，且＜α＜，则cosα－sinα的值为()
A．－B.C．－D.
解析＜α＜，
cosα＜0，sinα＜0且|cosα|＜|sinα|，cosα－sinα＞0.
又(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×＝，
cosα－sinα＝.
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