特殊平行四边形课后练习
主讲：
下列说法中，正确的是()
A．B．对角线相等的四边形是平行四边形
C．四条边相等的四边形是菱形
D．矩形的对角线一定互相垂直
如图，四边形ABCD中，ABCD．则下列说法中，不正确的是()
A．当AB=CD，AO=DO时，四边形ABCD为矩形
B．当AB=AD，AO=CO时，四边形ABCD为菱形
C．当ADBC，AC=BD时，四边形ABCD为正方形
D．当AB≠CD，AC=BD时，四边形ABCD为等腰梯形
如图，已知四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，①求证：四边形EFGH是平行四边形．②探索下列问题，并选择一个进行证明．a．原四边形ABCD的对角线AC、BD满足时，四边形EFGH是矩形．b．原四边形ABCD的对角线AC、BD满足时，四边形EFGH是菱形．c．原四边形ABCD的对角线AC、BD满足时，四边形EFGH是正方形．
如图所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE、等边△BCF．(1)求证：四边形DAEF是平行四边形；(2)探究下列问题：(只填满足的条件，不需证明)①当△ABC满足条件时，四边形DAEF是矩形；②当△ABC满足条件时，四边形DAEF是菱形；③当△ABC满足条件时，以D、A、E、F为顶点的四边形不存在．
如图所示，在四边形ABCD中，点E、F是对角线BD上的两点，且BE=FD．(1)若四边形AECF是平行四边形，求证：四边形ABCD是平行四边形；(2)若四边形AECF是菱形，那么四边形ABCD也是菱形吗？为什么？(3)若四边形AECF是矩形，试判断四边形ABCD是否为矩形，不必写理由．
如图，任意四边形ABCD，对角线AC、BD交于O点，过各顶点分别作对角线AC、BD的平行线，四条平行线围成一个四边形EFGH．试想当四边形ABCD的形状发生改变时，四边形EFGH的形状会有哪些变化？完成以下题目：(1)①当ABCD为任意四边形时，EFGH为；②当ABCD为矩形时，EFGH为；当ABCD为菱形时，EFGH为；当ABCD为正方形时，EFGH为；(2)请(1)中①②你所写的结论进行证明．(3)反之，当用上述方法所围成的平行四边形EFGH分别是矩形、菱形时，相应的原四边形ABCD必须满足怎样的条件？
如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点．(1)求证：MBA≌△NDC；(2)四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？请说明理由．
在折纸这种传统手工艺术中，蕴含许多数学思想，我们可以通过折纸得到一些特殊图形．把一张正方形纸片按照图～的过程折叠后展开．
(1)猜想四边形ABCD是什么四边形；(2)请证明你所得到的数学猜想．
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=5cm，BC=8cm，M是CD的中点，P是BC边上的一动点(P与B，C不重合)，连接PM并延长交AD的延长线于Q．(1)试说明△PCM≌△QDM(2)当P在B、C之间运动到什么位置时，四边形ABPQ是平行四边形？并说明理由．
如图，矩形ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，动点M从点D出发，按折线D?C?B方向以2cm/s的速度运动，动点N从点D出发，沿DA方向以1cm/s的速度向点A运动．动点M、N同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．(1)若点E在线段BC上，且BE=4cm，经过几秒钟，点A、E、M、N组成平行四边形？(2)动点M、N在运动的过程中，线段MN是否经过矩形ABCD的两条对角线的交点？如果线段MN过此交点，请求出运动的时间；如果线段MN不过此交点，请说明理由．
如图，已知，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=120°，CD=4，∠ABC=∠DCB，求BC的长．
已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3．求：四边形ABCD的面积．
特殊平行四边形
课后练习
C．
详解故本选项错误；B．对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项错误；C．四边相等的四边形是菱形，故本选项正确；D．矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故本选项错误；故选C．
C．
详解：A的结论正确，AB=CD可判定为平行四边形，AO=DO可判定对角线相等，故是矩形；B的结论正确，AB=AD可判定ABD为等边三角形，AO=CO可判定CDB也为等边三角形，故是菱形；C的结论错误，判定结果为矩形，不一定是正方形；D的结论正确，对角线相等的梯形是等腰梯形；故选C．
．详解：①连接AC，BD，∵四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，∴EH∥BD，FG∥BD，∴EH∥FG，同理：GH∥EF，∴四边形EFGH是平行四边形．②a．当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形．∵由①得：四边形MONH是平行四边形，∴当AC⊥BD时，四边形MONH是矩形，∴∠EHG=90°，∴四边形EFGH是矩形．b．当AC=BD时，四边形EFGH是菱形．∵HG=AC，EH=BD，∴EH=GH，∴四边形EFGH是菱形；c．由a与b可得：原四边形ABCD的对角线AC、BD满足AC⊥BD且AC=BD时，四边形EFGH是正方形．故答案为：a．AC⊥BD，b．AC=BD，c．AC⊥BD且AC=BD．
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详解：(1)∵△ABD和△FBC都是等边三角形，BD=BA，BF=BC，∠DBA=∠FBC=60°，∴∠DBA?∠FBA=∠FBC?∠FBA，∴∠DBF=∠ABC．在△ABC和△DBF中，BA=BDABC=∠DBF，BC=BF，
∴△ABC≌△DBF．∴AC=DF=AE．同理△ABC≌△EFC．∴AB=EF=AD．∴四边形ADFE是平行四边形．(2)当∠BAC=150°，∠DAE=360°?60°?60°?150°=90°，∴平行四边形DAEF是矩形．当AB=AC≠BC，有AD=AE，∴平行四边形DAEF是菱形．当∠BAC=60°，△FBC与△ABC重合，故以D、A、E、F为顶点的四边形不存在．
见详解．
详解：连AC，设AC、BD相交于点O(1)∵四边形AECF是平行四边形，∴OE=OF，OA=OC，∵BE=FD，∴OB=OD．∴四边形ABCD是平行四边形(2)∵四边形AECF是菱形，∴OE=OF，OA=OC，AC⊥BD．∵BE=FD，∴OB=OD．∴四边形ABCD是菱形(3)四边形ABCD不是矩形．
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详解：(1)平行四边形；菱形；矩形；正方形(2)结合图形，联想特殊四边形的特征及识别很容易发现，其中的桥梁为AC、BD．①当ABCD为任意四边形时，EFGH为平行四边形．∵EH∥AC∥FG，EF∥BD∥GH，∴四边形EFGH为平行四边形．②若ABCD为矩形，则EFGH为菱形．∵EH∥AC∥FG，EF∥BD∥GH．∴四边形EACH，ACGF，EFBD，BDHG，EFGH均为平行四边形．∴EH=AC=FG，EF=BD=GH．∵四边形ABCD为矩形．∴AC=BD．∴EH=AC=FG=EF=BD=GH．∴四边形EFGH为菱形．(3)当平行四边形EFGH是矩形时，四边形ABCD必须满足：对角线互相垂直．当平行四边形EFGH是菱形时，四边形ABCD必须满足：对角线相等．
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详解：(1)四边形ABCD是矩形，AB=CD，AD=BC，A=∠C=90°，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，AM=AD，CN=BC，AM=CN，在MAB和NDC中，AB=CD，∠A=∠C=90°，AM=CN，MBA≌△NDC；(2)四边形MPNQ是菱形．理由如下：连接AP，MN，则四边形ABNM是矩形，AN和BM互相平分，则A，P，N在同一条直线上，易证：ABN≌△BAM，AN=BM，MAB≌△NDC，BM=DN，P、Q分别是BM、DN的中点，PM=NQ，DM=BN，DQ=BP，MDQ=∠NBP，MQD≌△NPB，∴四边形MPNQ是平行四边形，M是AD中点，Q是DN中点，MQ=AN，MQ=BM，MP=BM，MP=MQ，平行四边形MQNP是菱形．
．详解：(1)四边形ABCD是菱形；(2)AMG沿AG折叠，使AM落在AC上，MAD=∠DAC=∠MAC，同理可得CAB=∠NAB=∠CAN，DCA=∠MCD=∠ACM，ACB=∠NCB=∠ACN，四边形AMCN是正方形，MAC=∠MCA=∠NAC=∠NCA，DAC=∠BAC=∠BCA=∠DCA，AD∥BC，ABDC，四边形ABCD为平行四边形，DAC=∠DCA，AD=CD，四边形ABCD为菱形．
．详解：(1)∵AD∥BC，∴∠QDM=∠PCM，∵M是CD的中点，∴DM=CM，∵∠DMQ=∠CMP，∴△PCM≌△QDM(2)当四边形ABPQ是平行四边形时，PB=AQ，∵BC?CP=AD+QD，∴8?CP=5+CP，∴CP=(8?5)÷2=1.5，∴当PC=1.5时，四边形ABPQ是平行四边形．
．详解：(1)∵点N只在AD上运动，∴当点M运动到BC边上的时候，点A、E、M、N才可能组成平行四边形，即2.5＜t＜7.5，设经过t秒，四点可组成平行四边形．分两种情形：①当M点在E点右侧，如图：此时AN=EM，则四边形AEMN是平行四边形，
∵DN=t，CM=2t?5，∴AN=10??t，EM=10??4?(2t?5)，∴10??t=10??4?(2t?5)，解得：t=1，∵2.5＜t＜7.5，∴t=1舍去②当M点在B点与E点之间，如图，则MC=2t?5，BM=10?(2t?5)=15?2t，∴ME=4?(15?2t)=2t??11，2t?11=10?t，解得t=7，此时符合，∴当t=7秒时，点A、E、M、N组成平行四边形；(2)动点M、N在运动的过程中，线段MN能经过矩形ABCD的两条对角线的交点，此时M在BC上，如图，∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，AD∥BC，∴∠NAO=∠MCO，在△ANO和△CMO中NAO=∠MCO，AO=OC，∠AON=∠COM，
∴△ANO≌△CMO(ASA)，∴AN=CM，设N运动的时间是t秒，则10?t=2t?5，解得：t=5，即动点M、N在运动的过程中，线段MN能经过矩形ABCD的两条对角线的交点，此时运动的时间是5秒．
8．
详解：∵AD∥BC，∠A=120°，∴∠ABC=180°?120°=60°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABC=×60°=30°，又∵∠ABC=∠DCB=60°，∴∠BDC=180°?30°?60°=90°，∴BC=2CD=2×4=8．
18．详解：过D作DE∥AB，交CB于E点，又∵AD∥CB，∴四边形ABED是平行四边形，∴EB=AD=3，DE=AB=4，∵CB=6，∴EC=BC?BE=6?3=3，∵CD=5，∴CD2=DE2+CE2，∴△DEC是直角三角形，∴∠DEC=90°，∴四边形ABCD的面积是：(AD+CB)?DE=(3+6)×4=18．
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