练习题

2550
42
39
将0.14，0.33，0.35，0.3，0.75，0.39，1.43，1.69平均分成两组，使它们的乘积相等。
一个整数a与1080的积是一个完全平方数，求a的最小值与这个平方数。
算数基本定理
标准分解式
A(0.14，0.33，0.75，1.69),
B(0.35，0.30，0.39，1.43)
30,32400
1080×a=2
3
×3
3
×5×a=b
2
,则a最小为2×3×5=30，才能使b
2
成立。
这时b
2
=2
4
×3
4
×5
2
=32400
已知τ（A）=12，τ（B）=10(整数b有10个约数)，它们的质因数只有3和5，且（A，B）=75，求A+B。
先将这八个数扩大100倍，得14，33，35，3，75，39，143，169，根据算数基本定理，他们的
标准分解式
为：14=2×7，33=3×11，35=5×7，30=2×3×5，75=3×5
2
，39=3×13，143=11×13，169=13×13。上述八个标准分解式中共出现2个2，4个3，4个5，2个7，2个11，4个13，再没有其它不同的质因数。分组的基本原则，就要使每个组含有相同的质因数及其个数，即每个组含有1个2，2个3，2个5，1个7，1个11，2个13。
A（0.14，0.33，0.75，1.69）,B(0.35，0.30，0.39，1.43)
三大余数定理
1.余数的加法定理
?a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
即：(a+b)%c=(a%c+b%c)%c
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.
2.余数的乘法定理
a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
即：(ab)%c=(a%cb%c)%c
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.
3.同余定理
若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b(modm)，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：
若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除
用式子表示为：如果有a≡b(modm)，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)
那么：如果有mk%m=0，b%m=0,就有（mk+b）%m
5397被一个质数除，所得余数是15.求这个质数.
23
求645763除以7的余数。
可以先去掉7的倍数630000余15763，再去掉14000还余下1763，再去掉1400余下363，再去掉350余13，最后得出余数是6.这个过程可简单地记成
645763→15763→1763→363→13→6.
如果演算能力强，上面过程可以更简单地写成：
645763→15000→1000→6.
带余除法可以得出下面很有用的结论：
如果两个数被同一个除数除余数相同，那么这两个数之差就能被那个除数整除。
6
有一个大于1的整数，它除967，1000，2001得到相同的余数，那么这个整数是多少？
所求整数应能整除967，1000，2001的两两之差，即
1000-967=33=3×11，
2001-1000=1001=7×11×13，
2001-967=1034=2×11×47.
这个整数是这三个差的公约数11.
11
有一串数排成一行，其中第一个数是15，第二个数是40，从第三个数起，每个数恰好是前面两个数的和，问这串数中，第1998个数被3除的余数是多少？
我们可以按照题目的条件把这串数写出来，再看每一个数被3除的余数有什么规律，但这样做太麻烦。根据上面说到的结论，可以采取下面的做法，从第三个数起，把前两个数被3除所得的余数相加，然后除以3，就得到这个数被3除的余数，这样就很容易算出前十个数被3除的余数，列表如下：
从表中可以看出，第九、第十两数被3除的余数与第一、第二两个数被3除的余数相同。因此这一串数被3除的余数，每八个循环一次，因为
1998=8×249+6，
所以，第1998个数被3除的余数，应与第六个数被3除的余数一样，也就是2.
一些有规律的数，常常会循环地出现.我们的计算方法，就是循环制.计算钟点是
1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12
这十二个数构成一个循环。
按照七天一轮计算天数是
日，一，二，三，四，五，六.这也是一个循环，相当于一些连续自然数被7除的余数
0，1，2，3，4，5，6的循环，用循环制计算时间：钟表、星期、月、四季，说明人们很早就发现循环现象.用数来反映循环现象也是很自然的事。
循环现象，我们还称作具有“周期性”，12个数的循环，就说周期是12，7个数的循环，就说周期是7.例10中余数的周期是8。研究数的循环，发现周期性和确定周期，是很有趣的事。
在100至200之间，有三个连续的自然数，其中最小的能被3整除，中间的能被5整除，最大的能被7整除，写出这样的三个连续自然数.
先找出两个连续自然数，第一个能被3整除，第二个能被5整除（又是被3除余1）.例如，找出9和10，下一个连续的自然数是11.
3和5的最小公倍数是15，考虑11加15的整数倍，使加得的数能被7整除.11+15×3=56能被7整除，那么54，55，56这三个连续自然数，依次分别能被3，5，7整除.
为了满足“在100至200之间”将54，55，56分别加上3，5，7的最小公倍数105.所求三数是
159，160，161。
1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋……＋98×99＋99×100=
333300
169150
0×1+2×3+4×5+……+96×97+98×99
164150
1×2+3×4+5×6+…+97×98+99×100=
1×3+2×4+3×5……+97×99+98×100=
解1：此算式可看作数列求和，其通项为n(n+1)，可拆为n+n
2。
而1+2+……+n=n(n+1)/2，
1
2
+2
2
+……n
2
=n(n+1)(2n+1)/6
。99×100/2+99×100×199/6=99×100×101/3=333300
解2：此算式可看作数列求和，其通项为n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-（n-1)n(n+1)]/3，前后相消，最后剩下99
×100×101÷3＝333300
解3：
1×2+2×3+3×4+……+（n-1)n+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
解：此算式可看作数列求和，通项为(n-1)(n+1)=n
2
-1,
结果=n(n+1)(2n+1)/6-98=99×100×199/6-99=328251
解：此算式可看作数列求和，通项为(2n-1)×2n=4n
2
-2n,
结果=4×n(n+1)(2n+1)/6-2×n×（n+1）/2
=4×50×51×101/6-50×51=100×101×17-2550=169150
数列
5n(n+1)(n+2)(n+3)=n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)-(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)
设A为所求,
则5A=979899100101
A=97989920101
如图所示，长方形ABCD内的阴影
部分的面积之和为70，AB=?8，
AD=15四边形BFGO的面积为____．

如图所示，∠ACB=∠EFB=90
o

E为DB中点，已知△CDB的面
积为12，求△ABF的面积是
多少？

6
1993
根据题意，AC//EF,S
△ABF
=S
△CEB
=1/2S
△DBC
=1/2×12=6
(直角梯形AEFC中，S
△AEF
=S
△CEF，
S
△AEF
+S
△EFB
=S
△CEF
+S
△EFB，
即S
△ABF
=S
△CEB
；△CDB中，CE是中线，则S
△CEB=
1/2S
△CDB
)
两位完全平方数有6个：81、64、49、36、25、16，根据题意，个位和十位，十位和百位组成的两位数都是完全平方数。它们是816、649、364、164，816+649+364+164=1993.
有些三位数具有下面的性质：
(1)去掉百位数字后，剩下的两位数是一个完全平方数；
(2)去掉个位数字后，剩下的两位数是一个完全平方数。
所有满足这些性质的三位数之和为____.
原价是n/104%=n
×
100/104=n×25/26，原价是有限小数的情况下，最小分母为2，这时n=13。（对于化简后的最简分数，如果分母中除了2和5以外,不含有其他质因数,这个分数就能化成有限小数。分母中含有2和5以外的质因数,这个分数就不能化成有限小数。）
13
一件物品原价是一个有限小数，提价4%后变为n元（n为正整数），那么n的最小值是____。
下图是一个对称的四角星形，其中四个
顶点构成一个正方形，其它四个顶点在
一个圆上，正方形的边长是10厘米，阴
影部分的面积是正方形面积的1/3，那
么圆的半径是____。
5/3
31
阴影外四个三角形的面积是2/3×100=200/3，每个三角形的面积是200/3/4=50/3=10×h/2，h=10/3，r=5-h=5-10/3=15/3-10/3=5/3
一个口袋中装有红、黄、白、蓝、绿五种颜色的珠子，多人一起伸手摸珠，结果发现总有3个人取出的珠子颜色相同，那么，参加摸珠的至少有几个人？
一副54张的扑克牌，至少需要摸出多少张，才可以保证有2张梅花和3张红桃？

每个人取出两个球，它们的颜色组合共有15种：两球颜色相同的5种，不同的10种。构造15个不同的抽屉，与15种珠子颜色对应，参加摸珠的每个人把摸出的珠子放到与其颜色匹配的抽屉里，根据抽屉原理可知，参加取球的至少有15×2+1=31人。
从最坏的情况考虑：先摸出两张王牌，然后摸出所有的方块和黑桃，共计13×2+2=28张牌，接着就是最关键也是最容易出错的地方，那就是什么是最坏的情况。因为要保证有2张梅花和3张红桃，所以我们只需要不符合其中一个即可，比如摸到了13张梅花和2张红桃就是不符合要求的（想想看为什么13张红桃和1张梅花为什么不是最坏的情况？），但是如果再摸一张就必定符合要求了，所以至少需要摸出28+13+2+1=44张。
44
某个年级有202人参加考试，满分为100分，且得分都为整数，总得分为10101分，则至少有多少人得分相同？
2006名营员去游览长城，颐和园，天坛。规定每人最少去一处，最多去两处游览，至少有几个人游览的地方完全相同？
335
分值从0～100，共101种可能的分值，10101÷（0＋1＋2＋……＋100）＝2……1，则至少有3人得分相同
某校派出学生204人上山植树15301株，其中最少一人植树50株，最多一人植树100株，则至少有多少人植树的株数相同？
5
1×2×3×4+3×4×5×6+5×6×7×8+······﹢97×98×99×100
873/760
解：此算式可看作数列求和，通项为



前后相消，最后剩下（1/2-1/20）+1/2（3-1/19-1/20）=873/760
有一个四位数等于它的数字和的四次方，这个数是多少？
2401
解：此算式可看作数列求和，通项为2n×(2n+1)=4n
2
+2n,
结果=4×n(n+1)(2n+1)/6+2×n×（n+1）/2
=4×49×50×99/6+49×50=100×49×33+2450=164150
解：设该数为ABCD,则A×10
3
+B×10
2
+C×10+D=(A+B+C+D)
4

显然，A+B+C+D<10
当A+B+C+D=9时，(A+B+C+D)
4
=6561，不满足A+B+C+D=9
当A+B+C+D=8时，(A+B+C+D)
4
=4096，也不满足
当A+B+C+D=7时，(A+B+C+D)
4
=2401，满足
31
从1到2000的所有正整数中，有多少个数乘以72后是完全
平方数。
5397-15=5382，
而5382=2×3
2
×13×23.
因为除数要比余数15大，除数又是质数，所以它只能是23.
算数基本定理
标准分解式
算数基本定理
标准分解式
余数性质
有限小数性质
抽屉原理
抽屉原理
最不利原则
亡故的先父留下遗嘱，共有遗产17个元宝，老大得元宝的二分之一、老二得元宝的三分之一、老三得元宝的九分之一，问他们每一个人分别应该分几个元宝？
分数
9，6，2
75=3×5
2
,令A=3×5
2
×3
m1
×5
n1
=3
m1+1
×5
n1+2
，B=3×5
2
×3
m2
×5
n2
=3
m2+1
×5
n2+2
,则(m1+1+1)(n1+2+1)=12,(m2+1+1)(n2+2+1)=10,由此得m2=0,n2=2
m1=2,n2=0(还有m1=1,n1=1的可能，但考虑到两数最大公约数是75，舍去此解)，这时A+B=3
3
×5
2
+3×5
4
=2550
解：设老大应分得a个元宝，则被分的元宝总数为2a，老二应分得2a/3个元宝，老三应分得2a/9个元宝，a+2a/3+2a/9=17a/9=17，a=9，2a/3=6，2a/9=2
【注意】1/2+1/3+1/9<1,所以17×(1/2+1/3+1/9)<17,分不完，不能用17/2，17/3，17/9来分
另解：1/2+1/3+1/9=17/18，老大在17/18中所占比例为（1/2）/（17/18）=9/17，老大分得的元宝数量为17×9/17=9，同理老二的为6,老三的为2.
被除数和除数的和是82，它们的商是2余数是3，求被除数是多少？
带余除法
四个海盗杰克、吉米、汤姆和桑吉在一起分金币，每个人最后的金币数都是整数，杰克与吉米的个数之比为3:4，汤姆和桑吉的个数之比为5:6，杰克和桑吉的个数之比为4:5，吉米比汤姆多分了56个，那么杰克比桑吉少分到多少个金币？
比例
求1/2、1/3、……、1/100这99个分数中，有多少个纯循环小数？
纯循环小数
解：分母中不含2或5这样的因数的分数，就可以化为纯循环小数。
分母含有2的共有100÷2=50个
分母含有5的共有100÷5=20个
分母同时含有2和5的共100÷10=10个
因此不含2和5的有99-50-20+10=39个。
答：99个分数中，有39个可以化为纯循+G36环小数。

若最简分数a/b的分母b只含有2和5以外的质因数（即b的质因数不包括2和5）,则该分数能化为纯循环小数.
如图，一个多边形的每条边长1cm，
一共有12条边。空白部分为正三角
形，一共有12个，求阴影部分的面
积。
6
1、12个菱形。内部各点连线到中心点，与12个
顶角构成12个菱形。每个菱形30度角所对高是
边长一半，得总面积1210.5=6
2、6个正方形。内部隔点连线得正六边形，由六
个正三角形组成，每个正三角形正好和外面空白
正三角形对应相等，与阴影部分的两个三角形组
成一个正方形。所以阴影部分面积等于6个正方
形面积。
五年级某班转来一位新同学，五位同学了解了这位新同学的一些情况，列表如下，其中，每位同学了解的情况，只有1项是正确的，请判定这位新同学的情况。
===-+-+++……+=?