2018全国卷Ⅰ高考压轴卷
理科数学
本试卷共23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，，则等于
A．B．C．D．
设，则“”是“”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
为得到的图象,只需把函数的图象上所有的点()
A、向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)
B、向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)
C、向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)
D、向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)
展开式中任取一项，则所取项是有理项的概率为（）
A． B． C． D．
已知函数，若（、、互不相等），且的取值范围为，则实数m的值为（）．
A．0 B．－1 C．1 D．2
B．C．D．
7.设函数，若存在区间，使在上的值域为，则的取值范围是（）
A．B．C.D．
执行如图所示的程序，若输入的，则输出的所有的值的和为
A．243B．363C．729D．1092
已知抛物线，圆.过点的直线交圆于两点，交抛物线于两点，且满足的直线恰有三条，则的取值范围为（）
A．B．C．D．
函数的图象可能是（）
A．B．
C．D．
若且函数在处有极值，则的最大值等于
A．121 B．144 C．72 D．80
12.已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是
A.B．C．D．
与圆相交于两点，若
的平分线过线段的中点，则实数
14.边长为8的等边△ABC所在平面内一点O，满足，若M为△ABC边上的点，点P满足，则|MP|的最大值为设，若关于，的不等式组表示的可行域与圆存在公共点，则的最大值的取值范围为为了判断高中三年级学生选修文理科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到22列联表：
理科 文科 总计 男 13 10 23 女 7 20 27 总计 20 30 50 已知P（K23.841）0.05，P（K25.024）0.025．
根据表中数据，得到K2=4.844，则认为选修文理科与性别有关系出错的可能性约为．
已知数列的前项和为，向量，满足条件⊥
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在内，则为合格品，否则为不合格品.表1是甲套设备的样本的频数分布表，图1是乙套设备的样本的频率分布直方图.
表1：甲套设备的样本的频数分布表
质量指标值 [95,100) [100,105) [105,110) [110,115) [115,120) [120,125] 频数 1 4 19 20 5 1 图1：乙套设备的样本的频率分布直方图
（Ⅰ）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；
甲套设备 乙套设备 合计 合格品 不合格品 合计 （Ⅱ）根据表1和图1，对两套设备的优劣进行比较；
（Ⅲ）将频率视为概率.若从甲套设备生产的大量产品中，随机抽取3件产品，记抽到的不合格品的个数为，求的期望.
附：
P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.050 0.025 0.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 .
19.（12分）
如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=BC=2AD=2，四边形EDCF为矩形，CD=，平面EDCF⊥平面ABCD．
（1）求证：DF∥平面ABE．
（2）求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值．
（3）在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为，若存在，求出线段BP的长．
已知椭圆的短轴长为，离心率为，点，是上的动点，为的左焦点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若点在轴的右侧，以为底边的等腰的顶点在轴上，求四边形面积的最小值.
已知函数．
（1）当时，判断函数的单调性；
（2）当有两个极值点时，
①求a的取值范围；
②若的极大值小于整数m，求m的最小值．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4-4，坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中中，曲线的参数方程为为参数，）.以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为.
（1）设是曲线上的一个动点，当时，求点到直线的距离的最大值；
（2）若曲线上所有的点均在直线的右下方，求的取值范围.
23.[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数，.
（1）求不等式的解集；
（2）若方程有三个实数根，求实数的取值范围.
当时，，当ab一正一负时，
，当时，，所以，故选C．
解：由题意可得二项展开式的通项=根据题意可得，为整数时，展开式的项为有理项，则r=3，9共有2项，而r的所有取值是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11共12个所求的概率为
作出的图象，如图所示，可令，则有图知点，
关于直线对称，所以，又，所以，
由于（、、互不相等），结合图象可知点的坐标为，
代入函数解析式，得，解得．故选．
因为，所以因此在上有两个不同的零点，由得，所以令，则，所以，又，所以当时，当时，要使方程有两个不同的零点，需，选C.
14【Ks5u答案】
15【Ks5u答案】
16【Ks5u答案】5%
【Ks5u解析】根据题意，K2=4.844，又由5.0244.844＞3.841，而P（K23.841）0.05，P（K25.024）0.025，故选修文理科与性别有关系出错的可能性约为5%，故答案为：5%
（1）∵⊥,∴,当时，，
当时，满足上式，∴
（2）
两边同乘，
得，两式相减得：，
．（Ⅰ）根据表1和图1得到列联表
甲套设备 乙套设备 合计 合格品 48 43 91 不合格品 2 7 9 合计 50 50 100 将列联表中的数据代入公式计算得
∵
∴有90%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关.（Ⅱ）根据表1和图1可知，甲套设备生产的合格品的概率约为，乙套设备生产的合格品的概率约为，甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在[105,115）之间，乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备相比较为分散.因此，可以认为甲套设备生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳定，从而甲套设备优于乙套设备（Ⅲ）由题知，∴
19.【】解：（1）证明：取为原点，所在直线为轴，
所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
∴，，
设平面的法向量为，
∴不妨设，
又，
∴，
∴，
又∵平面，
∴平面．
（2）解：∵，，
设平面的法向量为，
∴不妨设，
∴，
∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
（3）解：设，，
∴，
∴，
又∵平面的法向量为，
∴，
∴，
∴或，
∴当时，，
∴，
当时，，
∴，
综上．
（Ⅰ）依题意得解得
∴椭圆的方程是
（Ⅱ）设
设线段中点为∵∴中点，直线斜率为
由是以为底边的等腰三角形∴
∴直线的垂直平分线方程为
令得∵∴
由∴四边形面积
当且仅当即时等号成立，四边形面积的最小值为.
（1）由题．
方法1：由于，，，
又，所以，从而，
于是为(0,＋∞)上的减函数．
方法2：令，则，
当时，，为增函数；当时，，为减函数．
故在时取得极大值，也即为最大值．
则．由于，所以，
于是为(0,＋∞)上的减函数．
（2）令，则，
当时，，为增函数；当时，，为减函数．
当x趋近于时，趋近于．
由于有两个极值点，所以有两不等实根，
即有两不等实数根（）．
则解得．
可知，由于，则．
而，即（#）
所以，于是，（）
令，则（）可变为，
可得，而，则有，
下面再说明对于任意，，．
又由（#）得，把它代入（）得，
所以当时，恒成立，
故为的减函数，所以．
所以满足题意的整数m的最小值为3.
(1)由，得，化成直角坐标方程，得，即直线的方程为，依题意，设，则到直线的距离，当，即时，，故点到直线的距离的最大值为.
(2)因为曲线上的所有点均在直线的右下方，，恒成立，即（其中）恒成立，，又，解得，故取值范围为.
（1）原不等式等价于或或，
得或
∴不等式的解集为.
（2）由方程可变形为，
令，作出图象如下：
于是由题意可得.
高
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