二次函数综合专题
东城区26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴
交于A，B两点（点A在点B左侧）．
（1）当抛物线过原点时，求实数a的值；
（2）①求抛物线的对称轴；
②求抛物线的顶点的纵坐标（用含的代数式表示）；
（3）当AB≤4时，求实数a的取值范围．
26.解：(1)∵点在抛物线上，∴，.--------------------2分
(2)①对称轴为直线；
②顶点的纵坐标为.--------------------4分
(3)（i）当
依题意，
解得
（ii）当
依题意，
解得
综上，，或.--------------------7分
西城区26.在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于点，抛物线的顶点为，直线：．
（1）当时，画出直线和抛物线，并直接写出直线被抛物线截得的线段长．
（2）随着取值的变化，判断点，是否都在直线上并说明理由．
（3）若直线被抛物线截得的线段长不小于，结合函数的图象，直接写出的取值范围．
【解析】（1）当时，抛物线的函数表达式为，直线的函数表达式为，直线被抛物线截得的线段长为，画出的两个函数的图象如图所示：
（2）抛物线：与轴交于点，
点的坐标为，
，
抛物线的顶点的坐标为，
对于直线：，
当时，，
当时，，
无论取何值，点，都在直线上．
（3）的取值范围是或．
区26．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点在x轴上，，（）是此抛物线上的两点．
（1）若，
①当时，求，的值；
②将抛物线沿轴平移，使得它与轴的两个交点间的距离为4，试描述出这一变化过程；
（2）若存在实数，使得，且成立，则的取值范围是．
26．解：抛物线的顶点在轴上，
.
.………………1分
（1），.
抛物线的解析式为.
，，解得，.………………2分
②依题意，设平移后的抛物线为.
抛物线的对称轴是，平移后与轴的两个交点之间的距离是，
是平移后的抛物线与轴的一个交点.
，即.
变化过程是：将原抛物线向下平移4个单位.………………4分
（2）.………………6分
区26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线的最高点的纵坐标是2．
（1）求抛物线的对称轴及抛物线的表达式；
（2）将抛物线在1≤x≤4之间的部分记为图象G1，将图象G1沿直线x=1翻折，翻折后的图象记为G2，图象G1和G2组成图象G．过(0，b)作与y轴垂直的直线l，当直线l和图象G只有两个公共点时，将这两个公共点分别记为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，求b的取值范围和x1+x2的值．
26．解：（1）∵抛物线，
∴对称轴为x=2．………………………………………1分
∵抛物线最高点的纵坐标是2，
∴a=-2．………………………………………2分
∴抛物线的表达式为.……………3分
（2）由图象可知，或-6≤b<0.………………6分
由图象的对称性可得：x1+x2=2．………………7分
石景山区26．在平面直角坐标系中，将抛物线（）向右平移个单位长度后得到抛物线，点是抛物线的顶点．
（1）直接写出点的坐标；
（2）过点且平行于x轴的直线l与抛物线交于，两点．
①当时，求抛物线的表达式；
②若，直接写出m的取值范围．
26．解:（1）.…………………………………2分
（2）①设抛物线的表达式为，
如图所示，由题意可得.
∵，，
∴.
∴.
∴点的坐标为.
∵点在抛物线上，
可得.
∴抛物线的表达式为，
即.…………………5分
②.…………………7分
26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B.
（1）求点A，B的坐标；
（2）若方程有两个不相等的实数根，且两根都在1，3之间
（包括1，3），结合函数的图象，求a的取值范围.
26.解：（1）．A（0，－4），B（2，0）．．．的取值范围为．
燕山区
（1）求k的值和点A的坐标；
（2）当t=4时，直线y=t与直线l交于点M，反比例函数
（n≠0）的图象经过点M，求反比例函数的解析式；
(3)当t<4时，若直线y=t与直线l和（2）反比例函数的图象分别交于点C，D，当CD间距离大于等于2时，求t的取值范围.
24.解：（1）∵直线l:y=kx+k经过点B(0,2)，
∴k=2
∴y=2x+2
∴A(-1,0)……………………….2′
（2）当t=4时，将y=4代入y=2x+2得，x=1
∴M(1,4)代入得，n=4
∴……………………….2′
（3）当t=2时，B(0,2)即C(0,2)，而D(2,2)
如图，CD=2，当y=t向下运动但是不超过x轴时，符合要求
∴t的取值范围是0
门头沟区
26.有一个二次函数满足以下条件：
①函数图象与x轴的交点坐标分别为，
②对称轴是；
③该函数有最小值是-2.
（1）请根据以上信息求出二次函数表达式；
（2）将该函数图象的部分图象向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“G”，
平行于x轴的直线与图象“G”相交于点、、（），结合画出的函数图象求的取值范围.
26.（本小题满分7分）
（1）解：有上述信息可知该函数图象的顶点坐标为:
设二次函数表达式为：……………1分
∵该图象过
∴，解得……………2分
∴表达式为
（2）图象正确………………………………………………………3分
由已知条件可知直线与图形“G”要有三个交点
当直线与x轴重合时，有2个交点,由二次函数的轴对称性可求
……………………………………4分
∴……………………………………5分
②当直线过的图象顶点时，有2个交点，
由翻折可以得到翻折后的函数图象为
∴令时，解得，舍去…………6分
∴
综上所述…………7分
大兴区xOy中,抛物线，与y轴交于点C，与x轴交于点A,B，且.
（1）求的
（2）当m=时，将抛物线向平移个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在ABC的内部（不包括ABC的边），求的取值范围（直接写出答案即可）．
关于x的一元二次方程
得x=2m+1,x=m………………………………………………………2分
∵m＞0,x1＜x2
∴x1=m,x2=2m+1.……………………………………………………3分
2x1-x2+3=2m-2m-1+3=2……………………………………………4分
（2）符合题意的n的取值范围是.…………………………………7分
平谷区
26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线的对称轴为直线x=2
（1）求；
（2）A（x1，y），B（x2y2），其中
①当时，结合函数图象求出的值；
把函数图象沿直线向上翻折，新图象在0≤x≤时，，求m的取值范围
26．解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x=2，
∴b=2． 1
（2）①∴抛物线的表达式为．
∵A（x1，y），B（x2，y），
∴直线AB平行x轴．
∵，
∴AB=3．
∵对称轴为x=2，
∴AC=． 2
∴当时，． 3
②当y=m=-4时，0≤x≤5时，； 4
当y=m=-2时，0≤x≤5时，； 5
∴m的取值范围为． 6
怀柔区
26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=nx2-4nx+4n-1(n≠0)，与x轴交于点C，D(点C在点D的左侧)，与y轴交于点A．
(1)求抛物线顶点M的坐标；
(2)若点A的坐标为（0，3），AB∥x轴，交抛物线于点B，求点B的坐标；
(3)在(2)的条件下，将抛物线在B，C两点之间的部分沿y轴翻折，翻折后的图象记为G，若直线与图象G有一个交点，结合函数的图象，求m的取值范围．
26.
(1)M(2，-1)；………………………………………………………………………………2分
(2)B(4，3)；…………………………………………………………………………………3分
(3)∵抛物线y=mx2-4mx+4m-1(m≠0)与y轴交于点A（0,3）,
∴4n-1=3.
∴n=1.……………………………………………………………………………………4分
∴抛物线的表达式为.
由.
由△=0，得:……………………………………………………………………5分
∵抛物线与x轴的交点C的坐标为（1,0），
∴点C关于y轴的对称点C1的坐标为（-1,0）.
把（-1,0）代入，得：.……………………………………………6分
把（-4,3）代入，得：.
∴所求m的取值范围是或＜m≤5.…………………………………………7分
延庆区26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-4ax+3a(a＞0)与x轴交于A，B两点（A在B的左侧）．
（1）求抛物线的对称轴及点A，B的坐标；
（2）点C（t，3）是抛物线上一点，（点C在对称轴的右侧），过点C作x轴的垂线，垂足为点D．
①当时，求此时抛物线的表达式；
②当时，求t的取值范围．
26．（1）对称轴：x=2……1分
A（1，0）或B（3，0）……1分
（2）
①如图1，∵AD=CD
∴AD=3
∴C点坐标为（4，3）……3分
将C（4，3）代入
∴
∴a=1
∴抛物线的表达式为：……4分
②……6分
过程略
26．在平面直角坐标系中，若抛物线顶点A的横坐标是-1，且与y轴交于点B（0，-1），点P为抛物线上一点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若将抛物线点P平移后的对应点为Q如果OP=OQ，求点Q的坐标
26．解：（1）依题意，b=2,
由B（0，-1），得c=-1,
∴抛物线的表达式是．……………………2分
4
（2）向下平移4个单位得到，………………………3分
∵OP=OQ，
P、Q两点横坐标相同，纵坐标互为相反数．
∴．
∴，．…………………………………………………5分
把，分别代入．
得出Q1（-3，-2），Q2（1，-2）．…………………………………7分
1/14
x
y
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