几何证明
东城区19.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D.BF平分∠ABC交AD于点E，交AC于点F.求证：AE=AF.
19.证明：BAC=90°，
∴∠FBA+∠AFB=90°.-------------------1分
∵AD⊥BC，
DBE+∠DEB=90°．----------------2
∵BE平分∠ABC,
∴∠DBE=∠FBA.-------------------3分
∴∠AFB=∠DEB.-------------------4分
∵∠DEB=∠FEA，
∴∠AFB=∠FEA.
∴AE=AF.-------------------5分
西城区19．如图，平分，于点，的中点为，．
（1）求证：．
（2）点在线段上运动，当时，图中与全等的三角形是__________．
【解析】（1）证明：平分，
，
于点，
，
为直角三角形．
的中点为，
，，
，
，
，
．
（2）．
区19．如图，△中，，为的中点，连接，过点作的平行线，求证：平分．
19.证明：∵，为的中点，
∴.
∴.……………
∵，
∴.
∴.
∴平分.
区19．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
求证：DE=DF．
19．证明：连接AD.
∵AB＝BC，D是BC边上的中点，
∴∠BAD=∠CAD.………………………3分
∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴DE＝DF．………………………5分
（其他证法相应给分）
石景山区19．问题:将菱形的面积五等分．
小红发现只要将菱形周长五等分，再将各分点与菱形的对角线交点连接即可解决问题．如图，点是菱形的对角线交点，，下面是小红将菱形面积五等分的操作与证明思路，请补充完整.
（1）在边上取点，使，连接，；
（2）在边上取点，使，连接；
（3）在边上取点，使，连接；
（4）在边上取点，使，连接．
由于＋＋＋.
可证S△AOES△HOA.
19．解：3，2，1；………………2分
EB、BF；FC、CG；GD、DH；HA.………………4分
求证：∠DAB=∠ACE.
19.证明：∵AC＝BC，CE为△ACB的中线，
∴∠CAB＝∠B，CE⊥AB.……………………………………………2分
∴∠CAB＋∠ACE＝90°.………………………………………………3分
∵AD为△ACB的高线，
∴∠D＝90°.
∴∠DAB＋∠B＝90°.……………………………………………………4分
∴∠DAB＝∠ACE.………………………………………………………5分
燕山区
证明：=2,=,=,
+,
==.
19.=,=
+
==2……………………….5′
门头沟区
19．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，∠BAC＝60°，∠ABE＝25°.
求∠DAC的度数.
19.解（本小题满分5分）∵BE平分ABC，
ABC=2∠ABE=2×25°=50°，
∵AD是BC边上的高，
BAD=90°﹣ABC=90°﹣50°=40°，
∴∠DAC=∠BAC﹣BAD=60°﹣40°=20°
大兴区，△ABC中，AB=AC，点DBC，AC上一点，DE⊥AD.若∠BAD=55°，
∠B=50°，求∠DEC的
19．解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵∠B=50°，
∴∠C=50°．……………………1分
∴∠BAC=180°-50°-50°=80°．…………………………………………………2分
∵∠BAD=55°，
∴∠DAE=25°．…………………………………………………………………3分
∵DE⊥AD，
∴∠ADE=90°．…………………………………………………………………4分
∴∠DEC=∠DAE+∠ADE=115°．………………………………………………5分
平谷区
19．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边上一点，EF垂直平分CD，交AC于点E，交BC于点F，连结DE，求证：DE∥AB．
19．证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C． 1
∵EF垂直平分CD，
∴ED=EC． 2
∴∠EDC=∠C． 3
∴∠EDC=∠B． 4
∴DF∥AB． 5
怀柔区
19.如图，在平面直角坐标系xOy中，每个小正方形的边长都为1，△DEF和△ABC的顶点都在格点上，回答下列问题：
(1)△DEF可以看作是△ABC经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△ABC得到△DEF的过程：；
(2)画出△ABC绕点B逆时针旋转90o的图形△A′BC′；
(3)在(2)中，点C所形成的路径的长度为.
19.(1)答案不唯一.例如：先沿y轴翻折，再向右平移1个单位，向下平移3个单位；先向左平移1个单位，向下平移3个单位，再沿y轴翻折.……………3分
(2)如图所示………………………………………4分
(3)π.………………………………………………5分
延庆区19．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE∥AB交AC于点E．求证：AE=DE．
19．证明：∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠DAE，
∵DE∥AB
∴∠BAD=∠ADE……3分
∴∠DAE=∠ADE……4分
∴AE=DE……5分
ABCD中，点E是CD延长线上一点，
且DE=DC，求证：∠E=∠BAC.
19．证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=，AB∥CD．…………………………………………………1分
∵DE=DC，
∴AE=AC．…………………………………………………………………2分
∴∠E=∠ACE．………………………………………………………………3分
∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACE．……………………………………………………………4分
∴∠E=∠BAC．……………………………………………………………5分
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