第一章§1第1课时
一、选择题
1．数列1,3,7,15，…的一个通项公式是an＝()
A．2n B．2n＋1
C．2n－1 D．2n－1
[答案]D
[解析]由数列的前四项可知，该数列的一个通项公式为an＝2n－1.
2．下列有关数列的说法正确的是()
同一数列的任意两项均不可能相同；
数列－1,0,1与数列1,0，－1是同一个数列；
数列中的每一项都与它的序号有关．
A． B．
C． D．
[答案]D
[解析]是错误的，例如无穷个3构成的常数列3,3,3，…的各项都是3；是错误的，数列－1,0,1与数列1,0，－1各项的顺序不同，即表示不同的数列；是正确的，故选D.
3．数列0，，，，，…的通项公式为()
A．an＝ B．an＝
C．an＝ D．an＝
[答案]C
[解析]解法一：验证当n＝1时，a1＝0，排除A、D；
当n＝2时，a2＝，排除B，故选C.
解法二：数列0，，，，，…即数列，，，，，…，
该数列的一个通项公式为an＝，故选C.
4．下列数中，是数列{n(n＋1)}中的一项的是()
A．380 B．29
C．32 D．23
[答案]A
[解析]令380＝n(n＋1)，n2＋n－380＝0(n－19)(n＋20)＝0，n＝19.故选A.
5．已知数列1，，，，…，，…，则3是它的()
A．第22项 B．第23项
C．第24项 D．第28项
[答案]B
[解析]an＝，由＝3，得n＝23，
3是数列的第23项，故选B.
6．已知数列，，，，…，，则0.96是该数列的()
A．第22项 B．第24项
C．第26项 D．第28项
[答案]B
[解析]因为数列的通项公式为an＝，
由＝0.96得n＝24，故选B.
二、填空题
7．已知数列，3，，，3，…，，…，则9是这个数列的第________项．
[答案]14
[解析]数列可写为，，，，，…，，…，
所以an＝，
令＝9.n＝14.
8．已知数列{an}的通项公式是an＝，则它的前4项为________．
[答案]，，，
[解析]取n＝1,2,3,4，即可计算出结果．
当n＝1时，a1＝＝，
当n＝2时，a2＝＝，
当n＝3时，a3＝＝，
当n＝4时，a4＝＝.
三、解答题
9．根据下面数列{an}的通项公式，写出它的前5项．
(1)an＝；(2)an＝sin；(3)an＝2n＋1.
[解析](1)在通项公式中依次取n＝1,2,3,4,5，得到数列{an}的前5项为0,1，，，；
(2)在通项公式中依次取n＝1,2,3,4,5，得到数列{an}的前5项为：1,0，－1,0,1；
(3)在通项公式中依次取n＝1,2,3,4,5，得到数列{an}的前5项为3,5,9,17,33.
10．写出下列各数列的一个通项公式：
(1)4,6,8,10，…；
(2)，，，，，…；
(3)－1，，－，，…；
(4)3,33,333,3333,….
[解析](1)各项是从4开始的偶数，所以an＝2n＋2；
(2)每一项分子比分母少1，而分母可写成21,22,23,24,25，…，分子分别比分母少1，故所求数列的通项公式可写为an＝；
(3)通过观察，数列中的数正负交替出现，且先负后正，则选择(－1)n.又第1项可改写成分式－，则每一项的分母依次为3,5,7,9，…，可写成(2n＋1)的形式．分子为3＝1×3,8＝2×4,15＝3×5,24＝4×6，可写成n(n＋2)的形式．所以此数列的一个通项公式为an＝(－1)n.
(4)将数列各项写为，，，，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…，所以an＝(10n－1).
一、选择题
1．数列{an}中，a1＝1，以后各项由公式a1·a2·a3·…·an＝n2给出，则a3＋a5等于()
A.B.
C.D.
[答案]C
[解析]a1·a2·a3·…·an＝n2，
a1·a2·a3＝9，a1·a2＝4，a3＝.
同理a5＝，a3＋a5＝＋＝.
2．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－14n＋65，则下列叙述正确的是()
A．20不是这个数列中的项
B．只有第5项是20
C．只有第9项是20
D．这个数列第5项、第9项都是20
[答案]D
[解析]令an＝20，得n2－14n＋45＝0，解得n＝5或n＝9，故选D.
3．数列2,0,4,0,6,0，…的一个通项公式是()
A．an＝[1＋(－1)n]
B．an＝[1＋(－1)n＋1]
C．an＝[1＋(－1)n＋1]
D．an＝[1＋(－1)n]
[答案]B
[解析]经验证可知B符合要求．
4．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋lg(1＋)，则an＝()
A2＋lgn
B．2＋(n－1)lgn
C．2＋nlgn
D．1＋n＋lgn
[答案]A
[解析]由an＋1＝an＋lg(1＋)an＋1－an＝lg(1＋)，那么an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)＝2＋lg2＋lg＋lg＋…＋lg＝2＋lg(2×××…×)＝2＋lgn.
二、填空题
5．在数列{an}中，a1＝2，a2＝1，且an＋2＝3an＋1－an，则a6＋a4－3a5＝________.
[答案]0
[解析]解法一：a1＝2，a2＝1，an＋2＝3an＋1－an，
a3＝3a2－a1＝3×1－2＝1，
a4＝3a3－a2＝3×1－1＝2，
a5＝3a4－a3＝3×2－1＝5，
a6＝3a5－a4＝3×5－2＝13，
a6＋a4－3a5＝13＋2－3×5＝0.
解法二：an＋2＝3an＋1－an，
令n＝4，则有a6＝3a5－a4，
a6＋a4－3a5＝0.
6．已知数列{an}的通项公式an＝n2－4n－12(nN＋)则
(1)这个数列的第4项是________；
(2)65是这个数列的第________项；
(3)这个数列从第________项起各项为正数．
[答案](1)－12(2)11(3)7
[解析](1)由a4＝42－4×4－12＝－12，得第4项是－12；
(2)由an＝n2－4n－12＝65，得n＝11或n＝－7(舍去)，
65是第11项；
(3)设从第n项起各项为正数，
由得解得6
又n是正整数，
n＝7，
即从第7项起各项为正数．
三、解答题
7．已知数列2，，2，…的通项公式为an＝，求a4，a5.
[解析]将a1＝2，a2＝代入通项公式得
，
解得，
an＝，
a4＝＝，a5＝＝.
8．(1)在数列1，，3，，，…中，3是数列的第几项？
(2)已知无穷数列：1×2,2×3,3×4，…，n(n＋1)，…，判断420与421是否为该数列的项？若是，应为第几项？
[解析](1)a1＝1＝，a2＝＝，
a3＝，a4＝，由此归纳得
an＝＝.
令an＝＝3，n＝12.故3是此数列的第12项．
(2)由an＝n(n＋1)＝420，解得n＝20或n＝－21(舍去)，故420是此数列的第20项．
由an＝n(n＋1)＝421，得n2＋n－421＝0，此方程无正整数解，故421不是该数列中的项．
[方法总结]数列{an}的通项公式为an＝f(n)，对于一个数m，若m是此数列中的项，则方程f(n)＝m必有正整数解；反之，若f(n)＝m无正整数解，则m肯定不是此数列中的项．
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