安庆师范学院数学与计算科学学院2015届毕业论文
Jordan标准型与矩阵可对角化
作者：徐朱城指导老师：宛金龙
摘要本文以-矩阵的性质为基础,对角化问题为主线，推导出线性代数中最深刻的
结论——Jordan标准型定理.然后,应用Jordan标准型定理去解决Hamilton-Cayley定理
的证明,矩阵分解,线性微分方程组求解的问题.
关键词矩阵对角化-矩阵Smith标准型Jordan标准型Hamilton-Cayley定
理
1引言
n阶矩阵A与对角阵相似的充要条件是A有n个线性无关的特征向量.那
么当只有m(mn)个线性无关的特征向量时,A与对角阵是不相似的.对这种
情况,我们“退而求其次”,寻找“几乎对角的”矩阵来与A相似.这就引出了矩
阵在相似下的各种标准型问题.
Jordan标准型是最接近对角的矩阵并且其有关的理论包含先前有关与对
角阵相似的理论作为特例.此外,Jordan标准型的广泛应用涉及到
Hamilton-Cayley定理的证明,矩阵分解,线性微分方程组的求解等等.
2-矩阵
由于Jordan标准型的求解与特征多项式有关,而从函数的角度看,特征多
项式实际上是特殊的函数矩阵（元素是函数的矩阵）,这就引出对-矩阵的研
究.
2.1-矩阵及其标准型
定义1称矩阵A()(fij())为-矩阵,其中元素
fij()(i1,2,,m;j1,2,,n)
为数域F上关于的多项式.
定义2称n阶-矩阵A()是可逆的,如果有
ABBAIn
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并称B()为A()的逆矩阵.反之亦然.
[1]
定理1矩阵A()可逆的充要条件是其行列式为非零的常数,即
det(A())c0.
证明：（1）充分性设A=d是一个非零的数.A表示A()的伴
随矩阵,则d1A也是一个-矩阵,且有
Ad1Ad1AAI
因此,A()是可逆的.
(2)必要性设A()有可逆矩阵B(),则
ABI
两边取行列式有
ABI1
由于A与B都是多项式,而它们的乘积为1,所以它们都是零次多项
式,即都是非零常数.证毕.
例题1判断-矩阵
2+121
A=1
1
是否可逆.
解虽然
2
+121
A=1=20
1
A()是满秩的,但A不是非零常数,因而A()是不可逆的.
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注意与数字矩阵不同的是满秩矩阵未必是可逆的.这么定义可逆是有必
要的,可逆的本质就是要保证变换的矩阵可以通过非零常数的倒数逆回去.
定义3如果矩阵A()经过有限次的初等变换化成矩阵B()，则称矩
阵A()与B()等价,记为
AB
定理2矩阵A()与B()等价的充要与条件是存在可逆矩阵
P、Q,使得
BPAQ
证明因为AB,所以A()可以经过有限次初等变换变成
B(),即存在初等矩阵
P1(),P2(),,Ps()
与初等矩阵
Q1(),Q2(),,Qt()
使得
B()P1()P2()Ps()A()Q1()Q2()Qt()
令
P()P1()P2()Ps(),
Q()Q1()Q2()Qt()
就是所要求的-矩阵.它们都是初等矩阵的乘积,从而使可逆的.证毕.
引理1设-矩阵
a11()a12()a1n()
a21()a22()a2n()
A()=
am1()am2()amn()
的左上角元素a11()0,并且至少有一个aij()不能被a11()整除,则一定可
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以找到一个与A()等价的矩阵,它的左上角元素不为零,且次数比a11()的次
数低.
定理3任意mn阶的-矩阵A()都必定可以通过初等变换找到一个
与之等价的Smith标准型.
d1()
d2()
Ddr()
0
0
这里
rank(A())r.
非零对角元d1(),d2(),,dr()是首一（首项系数为1）多项式，并且
di()|di1()(i1,2,,r1)
[2]
例题2求-矩阵
12
A()
1+222
的Smith标准型.
解
22
11100
A()0000
2222
10000
即为所求的Smith标准型.
2．2-矩阵的性质
定义4矩阵A()的Smith标准型中的非零对角元
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d1(),d2(),，dr()
称为A()的不变因子.
定义5矩阵A()的所有非零k阶子式的首一（最高次项系数为1）最
大公因式Dk称为A()的k阶行列式因子.
定理4等价矩阵具有相同的秩和相同的各级行列式因子.
证明设-矩阵A()经过一次行初等变换化为了B()，f()与g()
分别是A()与B()的k阶行列式因子.需要证明f()=g().分3种情况讨
论：
i,j
（1）A()B(),此时,B()的每个k阶子式或者等于A()的某
个k阶子式,或者与A()的某个阶子式反号,所以,f()是B()的k阶子式的
公因子,从而f()|g().
i(c)
（2）A()B(),此时,B()的每个k阶子式或者等于A()的
某个k阶子式,或者等于A()的某个k阶子式的c倍.所以,f()是B()的k
阶子式的公因式,从而f()|g().
ij()
（3）A()B(),此时,B()中那些包含i行与j行的阶子式
和那些不包含i行的k阶子式都等于A()中对应的k阶子式；B()中那些包
含i行但不包含j行的k阶子式,按i行分成两个部分,而等于A()的一个k阶
子式与另一个k阶子式的()倍的和,,也就是A()的两个k阶子式的线性
组合,所以,f()是的k阶子式公因式,从而f()|g().
对于列变换,可以一样地讨论.总之,A()经过一系列的初等变换变成
B()，那么f()|g().又由于初等变换的可逆性,B()经过一系列的初等变
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换可以变成A(),从而也有g()|f().
当A()所有的阶子式为零时,B()所有的k阶子式也就等于零；反之亦
然.故A()与B()又相同的各阶行列式因子,从而有相同的秩.证毕.
既然初等变换不改变行列式因子,所以,每个-矩阵与它的标准型有完全
相同的行列式因子.而求标准型的矩阵是较为简单的,因而,在求一个-矩阵的
行列式因子时,只要求出它的标准型的行列式因子即可.
现在来计算标准型矩阵的行列式因子.设标准型为
d1()
d2()
dr()
0
0
其中di()(i1,,r)是首项系数为1的多项式,且
di()|di1()(i1,,r1),其他的元素都是0.易证,在这种形式的矩阵中,
如果有一个k阶子式包含的行与列的标号不完全相同,那么这个k阶子式一定
为0.因此,为了计算k阶行列式因子,只要看由i1,i2,,ik有行与i1,i2,,ik列
(1i1
d()d()d().
i1i2ik
显然,这种k阶子式的最大公因式就是
d1()d2()dk().
定理5矩阵A()的Smith标准型是唯一的,并且
Dk()
d1()D1(),dk()(k2,3,,r).
Dk1()
证明设A()的标准是
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d1()
d2()
dr().
0
0
d1()
d2()
由于A()与dr()等价，则它们有相同
0
0
的秩与相同的行列式因子,因此,A()的秩就是标准型的主对角线上非零元
素的个数r.A()的k阶子式因子就是
Dk()d1()d2()dk()(k1,2,,r)
于是
D2()Dr()
d1()=D1(),d2()=,,dr()=.
D1()Dr1()
这说明A()的标准型的主对角线上的非零元素是被A()的行列式因子所唯
一决定的,所以A()得标准型是唯一的.证毕.
定理6矩阵A()与B()等价的充要条件是它们有相同的行列式因子
（或相同的不变因子）.
证明：上一个定理的证明给出了-矩阵的行列式因子与不变因子之间的
关系.这个关系式说明行列式因子与不变因子是相互确定的.因此,说两个矩阵
有相同的各阶行列式因子,就等于说它们有相同的各级不变因子.
必要性已由定理1.2.1给出.
充分性显然.事实上，若-矩阵A()与B()有相同的不变因子,则A()
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与B()和同一个标准型等价,因而A()与B()等价.证毕.
定义6矩阵A()的所有非常数不变因子的首项系数为1的不可约因式
方幂的全体称为A()的初等因子.
定理7矩阵A()与B()等价的充要条件是它们有相同的初等因子,并
且秩相等.
例题3求矩阵B的初等因子,其中
ab
ba1
ab
B=
ba1
ab
ba
解:
ab
ba1
ab
IB=
ba1
ab
ba
由于有两个5阶子式
abb
ba1a1
ab[(a)2b2]2(a),abb30
ba1a1
aab
是互素的,所以
D5()=1
从而
D1()==D4()=1
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而又
223
D6()=IB[(a)b]
所以B的不变因子为
33
d1()d5()1,d6()D6()(ab)(ab),
所以B的初等因子为
(ab)3,(ab)3.
3Jordan标准型与矩阵可对角化
在掌握了-矩阵的基本概念:行列式因子、不变因子、初等因子基础上
我们将进入Jordan标准型与矩阵可对角化理论的核心.
3．1对角化的定义及判定定理
定义7如果方阵A相似于对角阵,即存在可逆矩阵P和对角阵D,使得
1
APDP,则称A可对角化.
[3]
定理8(对角化定理)n阶矩阵A可对角化的充分必要条件是A有n
个线性无关的特征向量.
1
事实上,APDP,D为对角阵的充分必要条件是P的列向量是A的n
个线性无关的特征向量.此时,D的对角线上的元素分别是A的对应于P中的
特征向量的特征值.
换句话说,A可对角化的充分必要条件是有n个线性无关的特征向量形成
n
的基,我们称这样的向量为特征向量基.
证首先看到,若P是列为1,2,,n的任一n阶矩阵,D是对角线元素
为1,2,,n的对角阵,那么
APA1,2,,nA1A,2,A,n（1）
而
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1A
2
PDP11,22,,nn（2）
n
1
现在假设A可对角化且APDP,用P右乘等式两边,则有APPD.此时
由（1）和（2）得
A1,A2,,An11,22,,nn（3）
由列相等,有
A1=11,A2=22,,An=nn（4）
因为P可逆,故P的列1,2,,n必定线性无关.同样,因为这些1,2,,n
非零,（4）表示1,2,,n是特征值,1,2,,n是相应的特征向量.这就证
明了定理中第一,第二和随后的第三个命题的必要性.
最后，给定任意n个特征向量1,2,,n，用它们作为矩阵P的列,并用
相应的特征值来构造矩阵D,由（1）~（3）,等式APPD成立而不需要特征
向量有任何条件.若特征向量是线性无关的，则P是可逆的,由APPD可推
1
出APDP.证毕.
例题4可能的话,将下面的矩阵A对角化：
243
A463
331
解由A的特征多项式：
0det(AI)324(1)(2)2
得特征值是1和2.但当我们找特征向量时
对于1的特征向量：
1
11
1
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对于2的特征向量：
1
21
0
没有有其他特征向量了,A的每个特征向量都是1或2的倍数,因此不能利用
3
A的特征向量构造出的基.由定理3.1.1,A不能对角化.
3．2Jordan标准型与对角化的关系
定义8形如
J()
n11
Jn2(2)
J,（n1n2++nk=n）
J()
nkk
的块对角阵为Jordan型矩阵,并称方阵
i1
i
Jn(i),(i1,2,,k)
i1
i
nini
为ni阶Jordan块.
注意当J()Jordan,
nii都是一阶块时即
J(),J(),,J(),
n111n222nkkk
有J为对角阵,由此看出对角阵其实只是Jordan阵的特例.
性质1矩阵J可对角化,当且仅当kn.
性质2Jordan块的个数k（相同的子块计重复出现的次数）是J的.线性
无关特征值向量的个数.
定理9两个数字方阵相似的充要条件是它们的特征矩阵等价.
定义9称n阶数字矩阵A的特征矩阵EA的行列式因子、不变因子
和初等因子为矩阵A的行列式因子、不变因子和初等因子.
定理10两个数字方阵相似的充要条件是它们有相同的行列式因子（或不
变因子）.
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定理11复数域上两个数字方阵相似的充要条件是它们有相同的初等因
子.
m
注意其实,结合上定理,不难发现初等因子a与m阶Jordan块
a1
a
1
amm
存在一一对应关系.因此可利用特征矩阵的初等因子求矩阵的Jordan标准型,
即有如下定理：
定理12(Jordan标准型定理)复数域上任何一个数字方阵A都与一个
Jordan型矩阵相似,这个Jordan型矩阵除去其中Jordan块排序外是被A唯一
确定的,称它为A的Jordan标准型.
证明:设n阶复矩阵A的初等因子为
m1m2ms
(1),(2),,(s)
其中1,2,,s可能有相同的,指数m1m2ms也可能有相同的.每一个初等
mi
因子(i)对应于一个Jordan块,
i1
i
Jn(i),(i1,2,,s).
i1
i
nini
这些Jordan块构成一个Jordan型矩阵,
J1
J2
J
Js
易知,J的初等因子就是
m1m2ms
(1),(2),,(s).
.由于J与A有相同的初等因子,所以它们相似.
假设有另一个Jordan型矩阵K与A相似，那么与A有相同的初等因子，
因此，K与J除了其中Jordan块排序外是相同的，唯一性得证.证毕.
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例题5
（1）在例2.2.1中求出的B()的初等因子的基础上,求出B的Jordan标
准型.
（2）求出例3.1.1的Jordan标准型.
解
（1）由于B()的初等因子为:
33
ab,ab
所以B的Jordan标准型为
ab1
ab1
ab
ab1
ab1
ab
（2）由
2431
IA4631
331(1)(2)2
知A的Jordan标准型为
1
21.
2
4Jordan标准型的性质及应用
Jordan标准化的应用是广泛的,下面将利用其给出HamiltonCayley
定理的证明,并说明其在矩阵分解及在求解线性微分方程组中的应用.
4．1Jordan标准型在证明HamiltonCayley定理中的应用
[4]
定理13（HamiltonCayley定理）设A是复数域C上任意n阶方
阵,A的特征多项式为()|IA|,则(A)0,其中I为n阶单位矩阵.
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1
证明：存在秩为n的n阶复方阵P,使PAPJ,其中J是A的Jordan
标准型,可以写成
1
2
J,
n
其中代表1或0,因为1,2,,n是A的特征值,故
()|IA|=(-1)(-2)(-n).
从而
(A)=(A-1I)(A-2I)(A-nI)
1111
=(PJP-1I)(PJP-2I)(PJP-nI)=P(J-1I)(J-2I)(J-nI)P
0121n
2102n1
=PP
n1n20
0001n
0002n
=PP1==0
0
利用HamiltonCayley定理可以简化矩阵计算.
其实,该定理换成线性变换语言为：
定理14[5]（关于线性变换的HamiltonCayley定理）设V为n维复
线性空间,T:VV为给定的线性变换,设1，2，m为T的特征值.
fT()(1)(m)
为T的特征多项式.令g(T)表示将fT()中的用T代替,k用kI代替之后
所得到的常系数变换,即
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g(T)(T1I）(TmI）,
则g(T)是零算子,即g(T)将V中每一个向量都映为零向量：
g(T)(x)0,xV.
注意每个特征值k都满足多项式方程fT()0,HamiltonCayley
定理则是说T满足方程fT(T)0.
4．2Jordan标准型在矩阵分解中的应用
定理15复数域C上任意n阶方阵,都等于两个对称矩阵的乘积,并且其
中之一是的非退化的.
证明：设A的Jordan标准型为
J1
J2
J
JS
则存在P,
使
1
PAPJ
令
1
1
Qi,
1
Qi与Ji阶数相同.
令
Q1
Q2
Q,
QS
则有
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''1''
QQQ,JQJQ.
故
AP1JPP1QJ''QPP1Q(P1)''A''PQP''(P1Q(P1)'')(A''PQP'')
令
11''''''
BPQ(P),CAPQP,
则
ABC
其中,B对称且非退化,C为对角阵,这是因为
C''PQ''''PAPQ''''PAP1PPQ''''PAP1PPQ''''JP
''''''''''''1''''''
PQJQQPPJQPPJ(P)PQPAPQPC.
定理16[6]设A是数域P上的n阶方阵,能分解成P上一次因子之积,则
AMN,其中M是幂零阵,N相似于对角阵,且MNNM.
证明（证法一）MA()能分解成P上一次因子之积,说明A的Jordan
标准型J是一个n阶方阵
J1
J2
J
JS
令
0i
10i
JiBiCi
10i
Bi是幂零Jordan块,Ci是对角阵.
设Ji的阶为ri,kmax(r1,r2,,rn).
则
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AP1JPP1(BC)PP1BPP1CP
其中
B1C1
B2C2
B,C.
BSCS
令
P1BPM,P1CPN
则
k1k1
MPBPP0P0,
N相似于对角阵C,且
MNP1BPP1CPP1BCPP1CBPP1CPP1BPNM
证毕.
证明（证法二）由定理12,存在可逆矩阵P,
使得
1
APJP,
其中
J()
m11
J
Jms(s)
并且J()(i1,,s)mJordan.
mii是主对角线元为i的i阶块
令
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01
NiJm(i)iIm,(i1,,s),
ii1
0
mimi
易知Ni是幂零矩阵,
因而
N1
NP1P
Ns
也是幂零矩阵.
在令
I
1m1
1
MPP,
sIms
则M相似于对角矩阵，并且
MNA,MNNM
注意定理16等价于如下命题：
设是数域P上n维线性空间V的线性变换,则.其中是数域
P上n维线性空间V的线性变换且是幂零变换,也是数域P上n维线性空
间V的线性变换且可对角化,并且.
4．5Jordan标准型在求解线性微分方程组中的应用
例题6解线性微分方程组
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d1
12
dt
d2
4132
dt
d3
123
dt
dx
解把微分方程组写成矩阵形式Ax，
dt
其中
d1
dt
1110
dxd2
x2,,A430
dtdt
3102
d3
dt
对微分方程组实行一个非奇异线性变换XPY，
其中
0101
P021，Y2.
1113
于是得
200
dy1dx11
PPAXPAPYJY,J011.
dtdt
001
故
d1
21
dt
d2
2+3
dt
d3
3
dt
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其一般解为
2t
1c1e
tt
2c2ec3te
t
3c3e
再由XPY求得原微分方程组的一般解为
tt
1c2ec3te
tt
22c2ec3(2t1)e
2ttt
3c1ec2ec3(t1)e
其中t1,t2,t3是任意常数.
注意解线性微分方程组可以用Jordan标准型来考察.设P是将A化为
Jordan型的相似变换矩阵,若我们引进新变量z,
令
yPz,
则
dz
PAPz,
dt
亦即
dz1
PAPz.
dt
方程组的矩阵经过了一次相似变换,它现在是A的Jordan标准型.
从例题6中可以看到,在解决具体问题中不仅要求出Jordan标准型，而且
需要求出变换矩阵P,关于矩阵P的求法可参看文献[6].
结束语
至此,我们透彻地解决了Jordan标准型与矩阵可对角化的问题,也看到了
Jordan标准型在理解矩阵，多项式等方面的强大应用.但遗憾的是在数值应用
方面，几乎没有用到Jordan标准型——这限制了其在计算机方面的应用.这是
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因为一个矩阵的Jordan标准型未必是该矩阵的各元素的连续函数，这样，矩
阵的各元的一个小的变化就会引起Jordan标准型的各元一个大的变化.这样就
不能指望用稳定的方法计算Jordan标准型了.
尽管有这样的局限性，Jordan标准型还是值得继续研究的，我们也将其
更加深刻地认识到：在线性代数的理论体系下最深刻的概念之一矩阵的Jordan
标准型只不过是包含该矩阵的GL(n,C)-轨道的某一最简单的表示.这一更深刻
的认识涉及到群表示理论.总之，在探寻Jordan标准型与矩阵可对角化的关系
中,我们认识到了认识是无止境的这一哲学命题,我们也有理由相信还有更加
美妙的结果在等待着我们去发现.
参考文献
[1]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组,高等代数（第二版）[M],北京,高等教育出
版社,1998
[2]钱吉林,高等代数解题精粹（第二版）[M],北京,中央民族大学出版社,2002
[3]DavidC.Lay,LinearAlgebraandItsApplications(ThirdEdition)[M],Beijing,Pearson
EducationAsiaLimitedandChinaMachinePress,2005
[4]Jordan标准型矩阵的性质及其应用[J],德州学院学报（自然科学版）,第9卷第4期
2003年8月21-23
[5]TomM.Apostol,LinearAlgebra:afirstcourse,withapplicationstodifferential
equations[M],Beijing,Posts&TelecomPress,2010
[6]王卿文,线性代数核心思想及应用[M],北京,科学出版社,2012
JordanCanonicalFormandDiagonalizationofMatrix
Author:XuZhuchengSupervisor:WanJinlong
AbstractThispaperbasingonthepropertiesof-matrixand
diagonalizationasthemainline,deducesthemostprofoundconclusionof
LinearAlgebra--Jordancanonicalformtheorem.Then,itusestheJordan
canonicalformtheoremtosolvetheproblemsoftheproofofH-Caylay
Theory,thematrixdecomposition,lineardifferentialequationsandsoon.
Keywordsdiagonalizationofmatrix-matrixSmith
canonicalformJordancanonicalformHamilton-CaylayTheory
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