数学矩阵等价标准型问题研究
摘要：矩阵在高等代数内容中发挥非常重要的作用，在教学过程中尤其受到重视。
形成一个庞大的矩阵知识体系，其中包括了线性变化、线性代数等方面的内容，
囊括了大量的矩阵知识。矩阵的等价关系是高等数学学习矩阵的一个重要范畴，
在高等代数中有全面介绍，在解决矩阵问题的过程中需要掌握矩阵标准形的应
用。本篇文章中，由于标准形最为广泛，一般情况下都采用标准形的方式研究等
价标准形、合同标准形、若当标准形、相似标准形以及正交标准形，更在标准形
的进一步研究中发挥重要的作用。在与标准形相关的问题中，矩阵等价标准形处
于一个非常重要的地位，也是需要做出重点探究的内容，掌握矩阵等价标准形的
性质特征，在以后的学习过程中发挥重大作用。其中，矩阵等价标准形作为非常
重要的研究对象，需要做出更深层次的探究，最终帮助我们了解矩阵等价标准形
的特征，探究更广泛的应用。数学领域其它内容问题，物理、化学等学科，都需
要使用到矩阵等价标准形一系列知识。不容忽视矩阵的三个重要关系，即等价关
系、相似关系和合同关系，三者之间存在一定的联系，来达到相互影响、相互促
进的作用，需要在教学的过程中充分利用矩阵的三种关系，对线性代数的教学也
给予一定辅助。
关键词：矩阵；标准形；等价关系；标准型应用
数学教学的过程中，必然会接触到高等代数这门学科，作为数学学习的基本
性学科，涉及到更多的知识概念、定理证明和性质描述等等。作为大学生数学课
程，一般情况下是构建代数体系、代数难题，但是由于缺乏具体模型而逻辑性要
求更高，使在学习的过程中造成一定的难度性，实际应用的时候使人手足无措。
究其原因在于学生不了解高等代数与初等代数的区别，用中学生的思想观念和学
习方法来学习，未领会高等代数中蕴含的数学方法和思想，对概念和定理的理解
不足，缺少对数学方法的理解和总结。高等代数涉及的数学思想有很多，比如等
价、类比、划归、结构、分类等思想，了解和应用这些数学思想可以更好地了解
和掌握高等代数中的数学知识。等价思想是高等代数中比较重要的一种思想方
法，是学生从计算解题到学习代数结构的结合点，为后续课程的学习起到铺垫的
作用。在教学中，教师应深刻理解和把握课程内容，澄清教学体系，学科思想，
把握重点，化解难点，解决疑点，达到帮助学生更好地学习和掌握高等代数知识
的目的，也有助于高校高等代数精品课程的建设。本文就高等代数中的等价思想
及其应用作了一些探究。
矩阵作为数学领域中一项基础概念在高等代数的基础性学科中涉及，具有非
常大的研究价值，也作为数学领域研究的一个重要载体，受到数学教学工作者一
致的重视。关于矩阵的起源，颇具有偶然性，“矩阵”概念的提出要归结于西尔
维斯特，而最初的目的却是与行列式进行区分，使得初学者在学习的过程中很好
地区别矩阵与行列式。但是，矩阵在概念出现之前便已经形成一定规模，积累一
些知识理论基础，尽管在逻辑上存在一定差距，也不妨碍其继续完善和发展。矩
阵的发展离不开行列式，行列式的许多性质有助于推动矩阵理论探究，在行列式
性质探究活动中可以发现无论行列式结果与题目是否相关，矩阵都具有研究价
值。在探究的过程中，进一步发现矩阵的性质特征。一般情况下根据理论，矩阵
的出现早于矩阵，但是实际发展的时候却是行列式早于矩阵。
矩阵所表现出来的特性与元素的特质有很大的关系，回顾矩阵出现至今已经
经历两个多世纪，形成一定规模和理论体系，最终成为数学领域内一个重要分支
体系。矩阵体系下，又产生众多理论分支，诸如矩阵方程论、广义逆矩阵论和矩
阵分解论等等，在矩阵理论体系中发挥重要作用。矩阵在实际应用的过程中具有
非常广泛的范围，也不是只局限在数学研究过程中，更在化学、物理、科技和力
学等方面有所涉及。
一、标准化概念
人们在生产生活的过程中，需要依据统一的标准来实现对事物的规范，使其
更具权威性、原则性、合理性和适用性，这就需要经过标准化的过程，即制定、
发布和实施于一体。
实施标准化产生经济和社会效益较为可观，更好地资源利用和分配。但是，标准
化的过程是一个较为复杂的整体，综合到同一原理、协调原理以及最优化原理，
[1]
只有所有原理相互促进、相互协调才能够将标准化作用发挥到最大程度。数学
领域研究环节，统舱采取标准化的方法学习应用理论知识。作为高等代数中的重
点知识，矩阵标准形理论在学习的过程中被广泛使用。随着矩阵标准形的概念在
数学中的出现，也使力学、计算方式等方面不断应用。
二、矩阵标准形类与分类
在矩阵体系中的分类主要为等价标准形、合同标准形、相似标准形、若当标准
形以及正交标准形。在对各种类研究的过程中，尤其重视相似标准形、合同标准
形和等价标准形三者之间的联系，查阅相关文献资料分别作出说明探究，详细阐
述三者之间所产生的的效果。
2.1.矩阵等价标准形
2.1.1等价关系的概念
如果能够达到以条件：
1、自反性。存在任意aA，便满足关系a~a；
2、传递性。对任意a,b,cA，如果有a~b、b~c，那么有a~c。
这样满足上述条件便可以称为等价关系。
2.1.2矩阵等价关系的概念以及性质
如果有mn方阵A和B，并且还有m阶的可逆方阵E、n阶的可逆方阵F，就
可以满足EAFB，这样的A、B关系被称为等价关系。
等价作为矩阵中的一种重要特性，也具有自身所下面的性质：
①反身性：AE''AE
1''1''
②对称性：有条件BEAF，并且A(E)B(F)，于是A与B有等价关系，
倒过来也存在等价关系。
③传递性：如果A和B满足等价关系，B和C也满足等价关系，那么A和C等
价关系。
注意：A的等价是由数个A的等价矩阵构成，至于通过非退化线性替换而产生的
二次型矩阵便和最初二次型矩阵成等价关系。
定理1：两矩阵等价当且仅当她们的型相同且秩相等。
证明：若有AB，则表示B是由A的初等变换而得到的，A和B的尺码是一样
的，在初等变换的过程中对矩阵的秩不产生任何影响，则A与B的秩也一样。
A和B属于mn的矩阵，且二者的秩为r，根据矩阵等价标准形定理能够得
到AD与BD，由传递性便可以得到关系AB。
定理2：数域P上的任意对称矩阵等价于一对角矩阵。
对于对角化二次型中仅含有平方项，一般都是采取非退化线性替换的方式达到
[2]
最终目的，这个过程称为f(x1,x2,...,xn)的一个标准化。
例1.化二次型f(x1,x2,x3)2x1x22x1x36x2x3为标准形
[2]
作非退化线性替换
x1y1y2,
x2y1y2,在非退化线性替换，使
x3y3,
22
f(x1,x2,,xn)2a12x1x22a12(z1z2)(z1z2)2a12z12a12z2，即
22
f(x1,x2,x3)2(y1y2)(y1y2)2(y1y2)y36(y1y2)y32y12y24y1y38y2y3
2222
2(y1y3)2y32y22y23y2y3
y1y3z1
y1z1z3
y2z2
令即为y2z2
y3z3
y3z3
则有
222
f(x1,x2,x3)2z12z22z38z2z3
222
2z12(z24z2z3)2z3
2222222
2z12(z22z3)8z32z32z12(z22z3)6z3
w1z1z1w1
令w2z22z3即为z2w22w3
w3z3z3w3
222
则可得f(x1,x2,x3)2w12w26w3
2.1.3矩阵等价标准形的定义
r0
任给一个sn的方阵A，有初等变换能够出现sn矩阵，其中，Er代
00
表r阶单位矩阵，0代表零矩阵，也就是表示为r(E)0。
r0
有s阶可逆矩阵P以及n级可逆矩阵Q，满足条件PAQ，但凡与
00
r0r0
等价的sn方阵集合成为标准形，都可以用表达式来表示。
0000
snIr0
定理1：若有AF，并且r(A)r，便可知和A存在等价关系。
00sn
I0
r成为矩阵A的等价标准形。若是r(A)0，就表示零矩阵也属于A的等
00sn
[3]
价标准形。
注：从定理1里面可以得到，相同等价类里面的方阵满足等价关系，并且可以了
sn
解它们的秩也是相同的；从另一个方面来看，F里面的矩阵如果秩一样，一定
是在相同等价类中。
定理2：若有A、BFsn，那么A和B满足等价的充分必要条件为r(A)r(B)。
注：定理2表明，若是矩阵在相同等价类中便有等价的关系，所以它们的秩也一
sn
样；从另一个方面来看，F里面的矩阵如果秩一样，一定是在相同等价类中。
2.13矩阵等价标准形的求解方法
初等变换法：
如果对矩阵A进行数次初等行变换，那就相当于在矩阵A的左边乘对应矩阵；
如果对矩阵A进行数次初等列变换，相当于在矩阵A的右边乘以对应矩阵。通过
[4]Ir0
这样的初等变换，最终达到将A化为最简单的形式。
00
2.2矩阵合同标准形
合同标准形的定义：如果有n阶方阵A和B，而且有一个n级可逆方阵P，并且
1
2
有关系PTAPB，那么就讲A和B是合同的。其中，B
N
注意：方阵合同所具有的性质有反身形、对称性与合同性，而A的合同类是由合
同方阵所构成。当然，和A合同的方阵都具有秩一样的特征。如果A是对称方阵，
并能够与B合同，那么可以推出B也是对称方阵。
从方阵A的合同类里面寻找最简形式的方阵，判断其能否和对角矩阵合同。
[3]
[4]
如果方阵A为一般矩阵，就没有办法与对角矩阵合同。需要注意的是，如果A在
实对称矩阵的情况下，就有n阶可逆矩阵P，满足条件PTAP，那么表示A和
对角矩阵合同。因此，能够通过对方阵A采取各种行、列的初等变换，从而实
现将A转换为，并且对单位方阵E采取同样列变换就能够把E转变为P。这样
一来，便能够求出方阵A的合同标准形。关于合同标准形的具体求法，主要有
合同变换法、配方法和正交变换法。
合同变换法：
第一步：在方阵的第i行乘b，同样在第i列乘b，要求b0。
第二步：分别把第i、j两行和两列互换，即第i、j两行互换，并且把第i、
j两列也互换。
第三步：分别在第i行乘与第j列相加、第i列乘与第i行相加。
配方法：
若是二次型里面能够找到xi的平方项，然后把所有的xi项集合，进行配方成为完
全平方，最后对其余含有的变量进行逐一配方，使其成为平方项。
如果二次型里面找不到平方项，但是有aij(ij)，那么就要做非退化线性替换
xiyiyj
xjyiyj，得到的二次型里面有平方项，比较方便采用上面的方式完成配
xkyk(kj)
方。
正交变换法：通过学习实对称矩阵特征值和特征向量，在二次型化标准形的过程
[5]
中就可以利用正交变换的办法，具体方法如下：
1.观察在二次型方阵A里面的所有特征值1,2,n以及相应的特征向量，就可
以发现特征值与特征向量之间相互正交的关系。如果里面的特征值是单重，那就
就要采取单位化的方式处理；如果里面的特征值是r重根，那就要采取先找出r个
线性无关的特征向量，再用施密特正交来找出其对应的单位特征向量，最终相互
正交。上述方法所得的标准形里面平方项的系数为1,2,n，都是A的所有特
征值，但是n相互正交的单位特征向量根据特征值所对应的顺序所列出的矩阵就
[5]
是最终的正交变换。
注意：1.满足矩阵合同的必要条件是秩一样，如果是同级对称矩阵，那么不仅秩
一样，正惯性指数也是一样的。
2如果矩阵合同，就能够得到它们的秩和正惯性指数都相同，反过来就不满
足。
2.3矩阵相似标准形
1
若有n阶方阵A、B，并且有可逆方阵P，满足PAPB，就将A和B视为
相似矩阵。如果方阵A的相似矩阵集合起来，就可以将其称为A的相似类。
相似矩阵具有如下性质：
自反性：A~A
对称性：如果A~B，那么B~A
传递性：如果A~B，B~C，那么A~C
若是判定矩阵A和B相似，需要满足以下要求：
1、方阵A能够经过相似变换成为方阵B
2、方阵A和B的级数相同，并且不变因子一样。
注：矩阵相似的必要条件为它们的秩一样，若是两个同级方阵，则需要满足的是
方阵相似就一定有秩相等的条件，综合同级方阵相似的决定性因素就是二者的不
1011
变因子一样。诸如有A，B，虽然A和B的特征值一样，可是B
0101
的线性无关的特征向量只存在一个，那么就可以得到B和对角矩阵A不相似。
方阵A与B相似所满足的充要条件为：
1.方阵A通过相似变换转变成为方阵B；
2.方阵A和B属于同级方阵并且不变因子一样。
注意：矩阵相似所满足的必要条件是两者秩一样，而同级方阵相似的最终原因是
所拥有的不变因子是一样的。若是方阵相似，则它们的秩一样，迹一样，行列式
一样，特征值也一样，并且特征多项式也一样。若是两个同级方阵能够对角化，
[6]
便相似条件与完全相同的特征值等同。若是两个同级方阵不能对角化，则完全
相同的特征值成为相似的必要而并非充要条件。
综合，可以得到探究相似的重要目标是解决矩阵相似对角化问题。
[6]
方阵相似对角化受到特征值与特征向量很大程度的影响，如果方阵是可逆
的，那么它们的特征值是相等的。而n级方阵之所以能够对角化，也是因为有线
性无关的特征向量。在不变量的问题上，分别对矩阵等价、相似不变量、可对角
化矩阵相似、对称矩阵的合同等对出不变量探究，明确地得到矩阵等价的不变量
是秩，相似不变量的为不变因子，而对角化矩阵相似的为特征值，最后对称矩阵
合同的是惯性数。
矩阵等价、相似以及合同之间的相互联系
（1）等价关系程度较弱。合同和相似也属于一种等价关系，如果有两个矩阵相
似或者合同，那必定满足等价关系。但是，反过来却不适用。相似与合同二者之
间不能变换，若两个实对称相似，则也可判断合同。
（2）鉴于实对称矩阵的相似不变量为特征值，而合同的不变量为秩和正惯性指
数，所以就可以推出实对称矩阵相似的话必定满足合同关系。
（3）若是矩阵A与B相似并不能判定A和B都与对角阵相似，所以，即使矩阵A
没有办法和对角矩阵相似，也不能断定A不与矩阵B相似。
从变换方式看
从变化的角度来理解矩阵等价、相似以及合同的关系，在三者相互转换的过
程中，虽然采取的方法不相同，但是最本质的内容却相同。其中，等价矩阵经过
可数次的初等变换而得到，而在初等变换的过程中对行、列的变动不存在特定规
范；但是，相似矩阵与合同矩阵却与等价矩阵存在很大的不同，在进行初等变换
过程中对行、列的变动次数相同，特别在行变换与列变换的次数基础上做出相对
照的要求；在相似矩阵初等列变换的的过程中做列变换的同时也需要对应做出行
变换，而在合同矩阵初等列变换的过程中也是相同的变换要求。
综合上面的结论来看，等价矩阵、相似矩阵以及合同矩阵在转换方式中差距
较大，但是却在线性代数领域占据重要的地位，也要求每一位学习者能够深入了
解三者的变换方式，体会其中不同之处，并且能够在不同的地方找到相同的性质，
充分理解等价矩阵、相似矩阵与合同矩阵在线性代数中的应用，提高学习者的学
习能力，做到独立思考和解决问题。
从数学定义看：
PAQB|P||A||Q||B|
从矩阵等价、矩阵相似、矩阵合同的数学定义来看，，
P1APB|P1||A||P||A||B|，
[7]
CTACB|CT||A||C||B||C|2|A||B|，
注意：等价矩阵、相似矩阵、合同矩阵它们同可逆或同不可逆.
判断方阵A是不是对角矩阵，就需要在其相似类中间找到结构最为简单的
方阵。通常情况下，方阵A是不能对角化的，当其满足存在n个线性无关的特征
向量的情况下才能够实现对角化；当方阵A的每一个特征值i的重数等于
nr(iEA)，那么方阵A也可以实现对角化。
2.4矩阵正交标准形
定义：对任何一个n级实对称矩阵A，有一个n级正交矩阵T，满足T''ATT1AT
是对角形的条件。实际情况下，设A属于n级实对称矩阵，采取正交矩阵T将A
''1
转换为对角矩阵，便能够将TATTATdiag(1,2,,n)称为A在正交相似
变换下的标准形。
2.5矩阵若当标准形
矩阵的若当标准形在数学、计算与力学方面适用性较为强，所以也会将矩阵的若
当标准型的方法当作一项重要的探究内容，进行大量的工作。
0000
1000
若当标准形：若当标准块表示为J00100，而若当标准形是多
001
0nn
A1
A
个若当块构成的，通常表示为2
As
[7]
i
1i
其中，Ai1，并且1,2,,s中有些可以一样。
1i
1i
kiki
100000
0000110000
200
1000004000
比如，120，都属于若当块，但是却是
0100000400
012
0010000140
000014
一个若当形矩阵。
注意：1.因为一级若当块属于一级方阵，所以若当形矩阵里面也包含了对角矩阵。
2.因为若当标准形是下三角类型，可以判定特征多项式里面一切根属于主
对角线上面的元素。
126
[8]
例3，求矩阵A103的若尔当标准形
114
首先求EA的初等因子：
2
1260132
EA=13011
114114
100
011
01232
100100
011010
2
002100(1)2
100
2
所以，A的初等因子是1，(1)，A的若当标准形是010
011
三、矩阵等价标准形的应用
[8] |
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