§6若尔当(Jordan)标准形的理论推导
我们用初等因子的理论来解决若尔当标准形的计算问题.首先计算若尔当标
准形的初等因子.
不难算出若尔当块
0000
1000
J00100
0010nn
n
的初等因子是(0).
事实上，考虑它的特征矩阵
0000
1000
EJ00100
0010
n
显然EJ0(0)，这就是EJ0的n级行列式因子.由于EJ0有一个
n1级子式是
1000
0100
(1)n1,
0010
0001
所以它的n1级行列式因子是1，从而它以下各级的行列式因子全是1.因此它的
不变因子
n
d1()dn1()1,dn()(0).
n
由此即得，EJ0的初等因子是(0).
再利用§5的定理9，若尔当形矩阵的初等因子也很容易算出.
设
J1
J2
J
Js
是一个若尔当形矩阵，其中
i000
1i00
Ji0100(i1,2,,s).
001i
kiki
ki
既然Ji的初等因子是(i)(i1,2,,s)，所以EJi与
1
1
ki
(i)
等价.于是
Ek1J1
EkJ2
EJ2
EksJs
与
1
1
k1
(1)
1
1
k2
(2)
1
1
ks
(s)
等价.因此，J的全部初等因子是：
k1k2ks
(1),(2),,(s).
这就是说，每个若尔当形矩阵的全部初等因子就是由它的全部若尔当形矩阵
的初等因子构成的.由于每个若尔当块完全由它的级数n与主对角线上元素0所
n
刻划，而这两个数都反映在它的初等因子(0)中.因此，若尔当块被它的初
等因子唯一决定.由此可见，若尔当形矩阵除去其中若尔当块排列的次序外被它
的初等因子唯一决定.
定理10每个n级的复数矩阵A都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形
矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被矩阵A唯一决定的，它称为A的若尔当
标准形.
例1§5的例中，12级矩阵的若尔当标准形就是
10
11
10
11
10
11
1
1
i0
1i
i0
1i1212
例2求矩阵
126
A103
114
的若尔当标准形.
定理10换成线性变换的语言来说就是：
定理11设A是复数域上n维线性空间V的线性变换，在V中必定存在一组
基，使A在这组基下的矩阵是若尔当形，并且这个若尔当形矩阵除去其中若尔
当块的排列次序外是被A唯一决定的.
应该指出，若尔当形矩阵包括对角矩阵作为特殊情形，那就是由一级若尔当
块构成的若尔当形矩阵，由此即得
定理12复数矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是A的初等因子全为一次
的.
根据若尔当形的作法，可以看出矩阵A的最小多项式就是A的最后一个不变
因子.因此有
定理13复数矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是A的不变因子都没有重
根.
虽然我们证明了每个复数矩阵A都与一个若尔当形矩阵相似，并且有了具体
求矩阵A的若尔当标准形的方法，但是并没有谈到如何确定过渡矩阵T，使
1
TAT成若尔当标准形的问题.T的确定牵涉到比较复杂的计算问题.
最后指出，如果规定上三角形矩阵
01000
00100
00001
00000
为若尔当块，应用完全类似的方法，可以证明相应于定理10，定理11的结论也
成立. |
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