2019版一轮创新思维理数（北师大版）课件：第十三章+选修4－4 坐标系与参数方程+【KS5U+高考】

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[基础梳理]

1．坐标系

(1)坐标变换

设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点(λx，μy)，称φ为坐标系中的伸缩变换．

(2)极坐标系

在平面内取一个定点O，叫作极点；自极点O引一条射线Ox，叫作极轴；再选一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．



设M是平面内任意一点，极点O与点M的距离|OM|叫作点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫作点M的极角，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫作点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．



2．直角坐标与极坐标的互化

把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，

则

3．常用简单曲线的极坐标方程

曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点，半径为r的圆 ρ＝r 圆心为(r,0)，半径为r的圆 ρ＝2rcosθ

圆心为，半径为r的圆 ρ＝2rsinθ

(0≤θ<π) 曲线 图形 极坐标方程 过极点，倾斜角为α的直线 θ＝α(ρR)

或θ＝π＋α(ρR) 过点(a,0)，与极轴垂直的直线 ρcosθ＝a 过点，与极轴平行的直线 ρsinθ＝a 4.曲线的参数方程

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数

并且对于t的每一个允许值，上式所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，则称上式为这条曲线的，其中变数t称为参变数，简称．

参数方程

参数

5．直线、圆、椭圆的参数方程曲线 参数方程 过点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l (t为参数) 圆心在点M0(x0，y0)，半径为R的圆 (θ为参数) 曲线 参数方程 圆心在原点，半径为R的圆 (θ为参数) 椭圆＋＝1(a>b>0) (φ为参数) [三基自测]

1．点P的直角坐标为(1，－)，则点P的极坐标为________．2．在极坐标系中，圆心在且过极点的圆的方程为_______________．3．参数方程(t为参数)化为普通方程为____________________．

(2，－)

ρ＝－2cosθ

3x＋y－4＝0(x[0,2))

4．在极坐标系中，直线ρcosθ－ρsinθ－1＝0与圆ρ＝2cosθ交于A，B两点，则|AB|＝________.5．(2017·高考全国卷改编)直线(t为参数)与圆(θ为参数)相切，则切线的倾斜角为________．

2

或

伸缩变换|

[例1]在同一直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线4x2＋9y2＝36变成曲线x′2＋y′2＝1.

法一：设变换为φ：可将其代入x′2＋y′2＝1，得λ2x2＋μ2y2＝1.

将4x2＋9y2＝36变形为＋＝1，

比较系数得λ＝，μ＝.

所以故将椭圆4x2＋9y2＝36上的所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的，可得到圆x′2＋y′2＝1.

法二：利用配凑法将4x2＋9y2＝36化为2＋2＝1，与x′2＋y′2＝1对应项比较即可得

故将椭圆4x2＋9y2＝36上的所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的，可得到圆x′2＋y′2＝1.

1．平面上的曲线y＝f(x)在变换φ：的作用下的变换方程的求法是将代入y＝f(x)，得＝f，整理之后得到y′＝h(x′)，即为所求变换之后的方程．

2．应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标(x，y)与变换后的坐标(x′，y′)．

[纠错训练]

(2018·池州模拟)求曲线x2＋y2＝1经过φ：变换后得到的新曲线的方程．

曲线x2＋y2＝1经过φ：变换后，即将代入圆的方程，可得＋＝1，即所求新曲线方程为：＋＝1.

极坐标与直角坐标的互化|

[例2]已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝6cosθ，曲线C2的极坐标方程为θ＝(ρR)，两曲线相交于A，B两点．

(1)把曲线C1，C2的极坐标方程转化为直角坐标方程；

(2)求弦AB的长度．

(1)曲线C2：θ＝(ρR)的直角坐标方程为y＝x.曲线C1：ρ＝6cosθ，即ρ2＝6ρcosθ，所以x2＋y2＝6x，即(x－3)2＋y2＝9.

故曲线C1的直角坐标方程为(x－3)2＋y2＝9.(2)因为圆C1的半径为r＝3，圆心(3,0)到直线y＝x的距离d＝，所以AB＝2＝3.所以弦AB的长度为3.

1．极坐标方程与普通方程的互化技巧

(1)将极坐标方程两边同乘ρ或同时平方，将极坐标方程构造成含有ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程．

(2)巧借两角和差公式，转化ρsin(θ±α)或ρcos(θ±α)的结构形式，进而利用互化公式得到普通方程．

(3)将直角坐标方程中的x转化为ρcosθ，将y换成ρsinθ，即可得到其极坐标方程．2．涉及圆的极坐标方程的解决方法

方法一：先把涉及的直线或圆的极坐标方程化为直角坐标方程，再根据直角坐标系中的相关知识进行求解；

方法二：直接利用极坐标的相关知识进行求解，其关键是将已知条件表示成ρ和θ之间的关系．这一过程需要用到解三角形的知识，并需要掌握直线和圆的极坐标方程．

[母题变式]

将本例曲线C1变为ρ＝cosθ＋sinθ，曲线C2变为ρsin＝.

(1)求C1和C2的直角坐标方程；

(2)当θ(0，π)时，求C1与C2公共点的一个极坐标．

(1)曲线C1：ρ＝cosθ＋sinθ，即ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，

曲线C1的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y，即x2＋y2－x－y＝0，曲线C2：ρsin＝，即ρsinθ－ρcosθ＝1，则曲线C2的直角坐标方程为：y－x＝1，即x－y＋1＝0.

(2)由得C1与C2公共点的一个极坐标为.

参数方程|

命题点1直线的参数方程

[例3](2017·高考全国卷)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.

(1)写出C的普通方程；

(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ＋sinθ)－＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．

(1)消去参数t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；消去参数m得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)．

设P(x，y)，由题设得消去k得x2－y2＝4(y≠0)．

所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．

(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)．

联立得cosθ－sinθ＝2(cosθ＋sinθ)．故tanθ＝－，从而cos2θ＝，sin2θ＝.

代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M的极径为.

1．直线的参数方程有两种常见形式：

(1)点角式(α为倾斜角)．

(2)点斜式(参数都是t)

2．使用方法：消参数(三角公式法、相除法)化为普通方程或者利用参数法

(1)若M1，M2是直线l上的两个点，对应的参数分别为t1，t2，则||||＝|t1t2|，||＝|t2－t1|＝.

(2)若线段M1M2的中点为M3，点M1，M2，M3对应的参数分别为t1，t2，t3，则t3＝.

(3)若直线l上的线段M1M2的中点为M0(x0，y0)，则t1＋t2＝0，t1t2<0.

命题点2圆的参数方程

[例4](2018·湛江模拟)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(θ为参数)，直线l经过点P(1,2)，倾斜角α＝.

(1)写出圆C的标准方程和直线l的参数方程；

(2)设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值．

(1)消去θ，得圆的标准方程为x2＋y2＝16.

直线l的参数方程为

即(t为参数)．

(2)把直线l的方程代入x2＋y2＝16，

得2＋2＝16，

即t2＋(2＋)t－11＝0，

所以t1t2＝－11，即|PA|·|PB|＝11.

1．圆的参数方程可利用三角公式消参数后再应用．

2．解决与圆上的动点有关的距离取值范围以及最大值和最小值问题，通常可以转化为点与圆、直线与圆的位置关系．

3．求距离的问题，通过设圆的参数方程，就转化为求三角函数的值域问题．

命题点3椭圆的参数方程

[例5](2017·高考全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．

(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；

(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a.

(1)曲线C的普通方程为＋y2＝1.

当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0，

由解得或

从而C与l的交点坐标为(3,0)，.

(2)直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，故C上的点(3cosθ，sinθ)到l的距离为d＝.当a≥－4时，d的最大值为.由题设得＝，所以a＝8；当a<－4时，d的最大值为.由题设得＝，所以a＝－16.

综上，a＝8或a＝－16.

1．区分椭圆的参数方程的参数的几何意义是离心角，与圆的参数方程的参数不同．

2．椭圆的参数方程消参数时，先变为＝cosθ，＝sinθ，再利用cos2θ＋sin2θ＝1求解．

[跟踪训练]

(2018·荆门模拟)在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，直线l的参数方程为(t为参数，α为直线的倾斜角)．

(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程．

(2)若直线l与曲线C有唯一的公共点，求角α的大小．

(1)当α＝时，直线l的普通方程为x＝－1；

当α≠时，直线l的普通方程为y＝(x＋1)tanα.

由ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ，

所以x2＋y2＝2x，即为曲线C的直角坐标方程．

(2)把x＝－1＋tcosα，y＝tsinα代入x2＋y2＝2x，整理得t2－4tcosα＋3＝0.

由Δ＝16cos2α－12＝0，得cos2α＝，所以cosα＝或cosα＝－，故直线l倾斜角α为或.

1.(2017·高考全国卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＝4.

(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；

(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求OAB面积的最大值．

(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．

由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.

由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ(ρ>0)．

因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．

(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)．由题设知|OA|＝2，ρB＝4cosα，于是OAB的面积S＝|OA|·ρB·sinAOB

＝4cosα·|sin|＝2|sin－|≤2＋.

当α＝－时，S取得最大值2＋.所以OAB面积的最大值为2＋.

2.(2016·高考全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a>0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cosθ.

(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；

(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tanα0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.

(1)消去参数t得到C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2.C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆．

将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0.

(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组



若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sinθcosθ＋1－a2＝0，

由已知tanθ＝2，可得16cos2θ－8sinθcosθ＝0，

从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.

a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上．

所以a＝1.