同一个问题不同的角度
越来越多的中考压轴题，在二次函数的图象抛物线上架构几何图形，学生感觉难度较大，主要原因是思维水平跟不上。在平时的训练中，怎样充分应用习题，最大限度发挥习题的效应，来发展学生的思维呢？
题目：如图1，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点，交y轴正半轴于C点，D为抛物线的顶点，点P在OB的延长线上，且∠PCB=∠CBD，求点P的坐标。
一、不同的角度求解，培养学生求异思维
前期基础分析：已知抛物线解析式，能够求出A、B、C、D四点的坐标，A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）、D（1，4），要求点P的坐标，由于点P的位置在x轴上，可将其坐标转化成求线段OP的长，或者把点P看作某条直线与x轴的交点，我们需要求出这条直线的解析式。
思路1：首先根据点C、点B的坐标，发现∠OBC=∠OCB，那么它们的邻补角也相等。结合条件∠PCB=∠CBD，那么涉及到的∠PCB和∠CBP构成了△PCB，以它为模板构造三角形全等。
略解：（如图2）延长BD交y轴于点Q。
∵OC=OB，∴∠OBC=∠OCB，∴∠CBP=∠BCQ，又BC=CB，∠PCB=∠CBQ，
∴△CBP≌△BCQ，∴BP=CQ，∴OP=OQ，
∵B（3，0）、D（1，4），∴直线BD的解析式为：y=-2x+6，∴Q（0，6）。
∴P（6，0）
思路2：（如图2）发现∠OCB=∠OBC后，结合∠PCB=∠CBD，可以得到∠PCO=∠DBO，而∠PCO、线段OP可以得到直角△PCO，以它为模板构造三角形全等。
略解：同上解，证△COP≌△BOQ即可。
点评：上述两种思路，将点P的坐标转化成求线段的长度，将线段置入三角形，构造出三角形全等，利用已知坐标求出线段的长，思维流畅，构造顺理成章。
思路3：（如图3）由∠PCB=∠CBD，若标出PC与BD的交点M，则可得到MC=MB。容易得到∠MCO=∠MBO，若连接OM，得到△OMC≌△OMB。若能求出点M的坐标，就可以求出直线CM的解析式，从而求出点P的坐标。
略解：连OM，易证△OMC≌△OMB，∴∠COM=∠BOM，∴直线OM解析式为y=x，易知直线BD的解析式为：y=-2x+6，∴M（2，2），又C（0，3），∴直线CM的解析式为：y=，∴P（6，0）
点评：从解析法的角度开始思考问题，关键是找出直线PC上的另一点，求出直线PC的解析式，再求点P的坐标。由条件∠PCB=∠CBD，得等腰三角形，可尝试其顶点M作为直线PC上的另一点。进而思考顶点M的坐标求法。构造易，思维指向性很强，步步逼近目标求解。
思路4：我们很容易发现∠PCO=∠DBO。要求点P的坐标，就是求线段OP的长，而线段OP在直角△PCO中，尝试构造一个包含∠DBO的直角三角形。
略解：（如图4）作DN⊥OB，垂足为N，易证△PCO∽△DBN，∴，易知线段CO=3，BN=2，DN=4，∴，∴OP=6，即P（6，0）
点评：点P坐标转化成线段OP的长，目标转换很准确，思维很大胆，构造简单直接。
思路5：（如图5）要求点P的坐标，转化成求直线CP的解析式，因为点C坐标已知，从而转化成求直线CP上另一点的坐标。哪里找这一点呢？经过演算，可发现点B、C、D构成一个直角三角形，于是过点B作BE⊥BC交PC于点E，构造△DCB≌△EBC。若能求出点E的坐标，就可以求直线CE的解析式，从而求出点P的坐标。要求点E坐标，就先作垂线。过点D、E分别作出坐标轴垂线，得△DCM≌△EBN，可求出BN、EN，从而求出点E坐标。
点评：与思路3思考方向一致，发现很深入，但求解很复杂。
以上各种求解思路，涉及全等、相似等基本知识，包含转化、构造等基本方法，锻炼学生求异思维。
二、不同的角度提问，培养学生求同思维
变式1：假设点P为抛物线上一点，其它条件不变，求点P的坐标。
点评：原题中，实际固定了点P的位置。当点P在抛物线上时，则其位置可能在第一象限，也可能在第四象限。在第一象限时，按原题求解，在第四象限时，过点C作BD的平行线交抛物线可求解。这样变式，培养学生全面思考问题的能力，或者说是分类讨论问题的能力。（如图6）
变式2：如图7，在线段BD上有一点N，在抛物线第一象限上是否存在一点M，使四边形MNCB为等腰梯形？若存在，求点M的坐标。
点评：在抛物线上架构一个等腰梯形，图形变得复杂，由于点M、点N位置都未定，谁先确定也是一个问题，思维更复杂，学生更难把握。培养学生分析问题，透过现象看本质的能力。（提示：由于四边形MNCB为等腰梯形，连接MC，则易得∠MCB=∠NBC，和原题一样。）
变式3：如图8，在抛物线第一象限上有点M，使tan∠MCB=，求点M的坐标。
点评：图形似乎变得简单，但思维方向多维。若发现隐含条件：点B、C、D构成一个直角三角形，且tan∠DBC=，则可转化问题，就是要满足∠MCB=∠DBC，和原题一样。若想将tan∠MCB置入直角三角形，则可过点B作CM的垂线，再构造相似解决（见图5）。培养学生发现、多角度分析问题解决问题能力。
以上各种变式，涉及在抛物线上架构四边形、与三角函数联系，从不同角度看问题本质，都可以转化成原题求解，培养学生的求同思维。
《数学课程标准》提出，数学教学应引导学生通过思考、探索，发展思维，要注重数学知识之间的联系，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力。数学是思维的体操，多角度的看同一道问题，最大限度让每一道习题发挥作用，让学生学会分析、学会构造、学会转化，就能切实培养学生思维的广度和深度。
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