一、最值的表示§284均值不等式(二)二、最值的求法三、均值不等式求最值(最值定理)已知两正数□,○，若四个式子中有一个为常数，且□与○能够相等，则其他三个式子有最值注1：此法非通法多元有优势小作抓“等”字大作“正常等”注2：书写格式三因一果注3：常见题型明考暗考配凑连用嵌积重点1□○1+□○□○+□2+○2，，，不等式概述1.性质是基础概念性质应用解不等式证不等式求最值2.多多益善十四条文字背诵是关键1.基本性质①大小的定义②对称性③传递性如果a-b是正数，那么a＞b；如果a-b是等于零，那么a=b；如果a-b是负数，那么a＜b；如果a＞b,b＞c,那么a＞c如果a>b，那么bb?a＞bb＜aa>b，b>c?a>c⑴对一个不等式的运算(变形)④加(减):如果a>b，那么a+c>b+c⑤乘(除)：如果a>b,且c>0,那么ac>bc如果a>b,且c<0,那么acb,c>0?ac>bca>b?a+c>b+ca>b,c<0?acb，且c>d，那么a+c>b+d⑨同号可倒：⑧乘：a>b，c>d?a+c>b+d如果a>b>0，且c>d>0，那么ac>bda>b>0，c>d>0?ac>bd若a>b,ab>0,则注1.若2个不等式需进行减(除)运算，一般是转换成加(乘)注2.若变量间具有约束关系时，等号没有可加(乘)性⑦加：同向可正值同向可3.重要的(经典)不等式⑩11均值不等式：(调和平均值)(几何平均值)(幂平均值)(算数平均值)当且仅当a=b=c时，“=”成立(当且仅当○=□时等号成立)□2+○2≥±2□○当且仅当□=○时等号成立二元的均值不等式若□,○∈R+,则21□○1+□○2□○+≤□2+○2注1：使用前提是正数当且仅当等相连放缩消元变结构应用特例求最值注2：与对号函数的关联或注3：即13柯西不等式i：一般式ii：向量式12三角形(绝对值)不等式方和积≥积和方|□1±□2±□3……□n|≤|□1|+|□2|+|□3|+……+|□n||□|-|○|≤|□±○|≤|□|+|○|14排序不等式反序和≤乱序和≤顺序和15伯努利不等式参课本P：51～52ⅰ:若x＞-1,且α≤0或α≥1，则ⅱ:若x＞-1,且0≤α≤1，则(当且仅当n=1时等号成立)如果x是实数,且x＞-1,x≠0,且n为大于1的自然数,则注：伯努利不等式常见的推论：ⅲ:若xi＞-1,则糖水不等式(调日术，插值定理)若,a,b,c,d,m,n＞0,则特例2：若,a,b,m＞0,则特例1：若,a,b,m＞0,则用化学溶液的浓度：解释此不等式，是显然成立的①设f(x)是(a,b)内的凸函数,则对于(a,b)内任意的n个实数琴生(Jensen)不等式,有当且仅当时取等号②设f(x)是(a,b)内的凹函数,则对于(a,b)内任意的n个实数,有当且仅当时取等号二元不等式一元不等式抽象不等式含参不等式整式不等式分式不等式不等式组绝对值不等式根式不等式连不等式指数不等式对数不等式三角不等式线性规划四成立……解不等式①常见题型②常见解法①常见题型形法数法“纯”不等式法函数法函数图象线性规划其他图象解不等式③一般的，不等式解集的端点值是方程的根数法：形法：①比较法②分析法③综合法④反证法⑤数归法⑥放缩法⑦函数法⑧……法证明不等式常用的方法数法：形法：函数图象最值定理（均值不等式）线性规划函数法（导数法）求最值常用的方法一、最值的表示§284均值不等式(二)二、最值的求法三、均值不等式求最值(最值定理)已知两正数□,○，若四个式子中有一个为常数，且□与○能够相等，则其他三个式子有最值注1：此法非通法多元有优势小作抓“等”字大作“正常等”注2：书写格式三因一果注3：常见题型明考暗考配凑连用嵌积重点1□○1+□○□○+□2+○2，，，符号文字图象等式:不等式:若且存在则f(x)有最小值C一、最值的表示练习1.最值的表示②①(1)下列不等式能否说明f(x)有最小值？若,且存在,则f(x)有最小值C有常能等③符号文字图象等式:不等式:若且存在则f(x)有最小值C一、最值的表示有常能等二、最值的求法形法数法函数图象线性规划………………函数法最值定理已知两正数□,○，若四个式子中有一个为常数，且□与○能够相等，则其他三个式子有最值注1：此法非通法多元有优势小作抓“等”字大作“正常等”注2：书写格式三因一果注3：常见题型明考暗考配凑连用嵌积重点1□○1+□○□○+□2+○2，，，三、均值不等式求最值(最值定理)练习1.小作抓“等”字：注1：利用均值不等式求最值(最值定理)时，各个元之间的位置是平等的.故寻找出对称不等式或对称等式是关键.注2：将多元不等式中的元，任意互换之后,该不等式依然不变，则称该不等式为对称不等式.(2)(2009年重庆)已知a＞0,b＞0,则的最小值是A．2 B． C．4 D．5【C】析1：从问题入手最关键的是构造出：≥常数析2：易得≥常数是对称不等式……(3)(2013年湖南)已知【12】R+______析1：从问题入手最关键的是构造出：≥常数析2：但“≥常数”及“”析3：但若将2b及3c看成是第二元和第三元，显然又具有对称性了……显然没有对称性练习2.此法非通法多元有优势(4)已知a＞0,b＞0,且ab=a+b+3,则ab的最小值是_____设解：因故又因ab=a+b+3，即解得t≥3或t≤1（舍）……析2：此题大作，解法甚多，但由于涉及到两元；故最值定理法,是个不错的选择.【3】析1：小作抓“等”字……解：因当且仅当时等号成立故而所以函数的最大值为,即练习3.大作“正常等”缺少要配凑(6).若a＞2,b＞3,则的最小值为___________当且仅当析：因=83即当a=3,b=4时,……若,且(Ⅰ)求(7)(2014年新课标Ⅰ)的最小值解：因,故当且仅当a=b=时等号成立故当且仅当a=b=时等号成立所以的最小值为若,且(Ⅰ)求（Ⅱ）是否存在，使得？并说明理由(7)(2014年新课标Ⅰ)的最小值是,故不存在由(Ⅰ)知，而使得解： (a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2
当且仅当bi＝0或存在一个数k，使ai＝kbi时等号成立
已知≤≤≤…≤,≤≤≤…≤
若…,是…,的任意一个排列,
则称为乱序和
称为反序和
称为顺序和
|
|
