练习23：直线与平面
3
AO=AE·cos30°=,又F是PC的中点,
2
32
在Rt△ASO中,SO=AO·sin45°=,
4
3930
22
又SE=EO+SO=+=,
484
32
SO15
4
在Rt△ESO中,cos∠ESO===,
SE5
30
4
15
即所求二面角的余弦值为.
5
方法二由(1)知AE,AD,AP两两垂直,以A为坐标原点,建立如图所示的空
间直角坐标系,
又E、F分别为BC、PC的中点，所以
A（0，0，0），B（3，-1，0），C（3，1，0），
31
D（0，2，0），P（0，0，2），E（3，0，0），F(，，1），
22
所以AE=(3，0，0），
31
AF=(，，1）.
22
设平面AEF的一法向量为
m=（x1，y1，z1），
?
?3x=0,
1
m?AE=0
?
?
因此
?
?
31
x+y+z=0.
?
?
m?AF=0111
?
22
?
取z1=-1，则m=（0，2，-1），
因为BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，
所以BD⊥平面AFC，
故为平面AFC的一法向量.
BD
又BD=（-3，3，0），
m?MD
2×315
所以cos〈m,MD〉===.
5
5×12
m?MD
因此,二面角E—AF—C为锐角,
15
所以所求二面角的余弦值为
5
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