形法数法(1)通法特法(2)最值法子集法变换主元法分离参量法先猜后证法含参不等式常成立注1.描述方式繁多引申变式多样含参不等式恒成立含参不等式恰成立含参不等式能成立注3.解法灵活多样技巧性极强注2.常成立是基础恒成立是重点分类讨论含参不等式——四成立：1.含参不等式常成立——分类讨论：(1)实质：——具体问题具体分析化复杂为简单，化陌生为熟练，化大为小；是根据研究对象的共同性和差异性将其分为不同种类的思想方法(2)作用：①分类标准要统一(3)原则：②分类讨论时，要不重不漏③分类讨论要逐级进行，建议尽量书写序号⑤能避免分类标准，要尽量避免之④先分后合，能合必合2.含参不等式恰成立:1.含参不等式常成立——分类讨论：小作：一般的，不等式解集的端点值是方程的根大作：回归到含参不等式常成立最值法子集法变换主元法分离参量法先猜后证法通法特法3.含参不等式恒成立：形法数法(2)(1)4.含参不等式能成立——回归到恒成立用最值法，求与含参不等式恒成立“相反”的最值即可①讨论函数f(x)的单调区间(5).(2008年全国Ⅰ)已知函数练习2.含参不等式四成立解①：因解得f(x)在上↘解得f(x)在，上↗ⅰ:当，ⅱ:当，因在R上恒成立,故f(x)在R上↗即Δ≤0时，即Δ＞0时，含参不等式常成立①讨论函数f(x)的单调区间(5).(2008年全国Ⅰ)已知函数练习2.含参不等式四成立f(x)在上↘当时②函数f(x)在上是减函数，求a的取值范围解②：由①知……解得：含参不等式恒成立最值法子集法通法(6)(2013年辽宁简化)已知f(x)=|x-a|(a＞1),若关于x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|≤2的解集为[1,2],求a的值解：由题意得||x|-|x-a||≤1的解集为[1,2]可得||x|-|x-a||≤1的解为(x≤0)(0＜x＜a)(x≥a)故，即a=3又因|x|-|x-a|=练习2.含参不等式四成立含参不等式恰成立小作：一般的，不等式解集的端点值是方程的根§288含参等式及其含参不等式(一)二、含参不等式：<1>.按问法分类：<2>.按参量分类：<3>.按知识分类：1.常见题型：2.常用思想及方法：<1>.数形结合思想：<2>.分类讨论思想：<3>.参量分离法：<4>.变换主元法：一、含参等式：(含参函数与值域)(含参不等式四成立)不等式概述1.性质是基础概念性质应用解不等式证不等式求最值2.多多益善十四条文字背诵是关键1.基本性质①大小的定义②对称性③传递性如果a-b是正数，那么a＞b；如果a-b是等于零，那么a=b；如果a-b是负数，那么a＜b；如果a＞b,b＞c,那么a＞c如果a>b，那么bb?a＞bb＜aa>b，b>c?a>c⑴对一个不等式的运算(变形)④加(减):如果a>b，那么a+c>b+c⑤乘(除)：如果a>b,且c>0,那么ac>bc如果a>b,且c<0,那么acb,c>0?ac>bca>b?a+c>b+ca>b,c<0?acb，且c>d，那么a+c>b+d⑨同号可倒：⑧乘：a>b，c>d?a+c>b+d如果a>b>0，且c>d>0，那么ac>bda>b>0，c>d>0?ac>bd若a>b,ab>0,则注1.若2个不等式需进行减(除)运算，一般是转换成加(乘)注2.若变量间具有约束关系时，等号没有可加(乘)性⑦加：同向可正值同向可3.重要的(经典)不等式⑩11均值不等式：(调和平均值)(几何平均值)(幂平均值)(算数平均值)当且仅当a=b=c时，“=”成立(当且仅当○=□时等号成立)□2+○2≥±2□○当且仅当□=○时等号成立二元的均值不等式若□,○∈R+,则21□○1+□○2□○+≤□2+○2注1：使用前提是正数当且仅当等相连放缩消元变结构应用特例求最值注2：与对号函数的关联或注3：即12三角形(绝对值)不等式|□1±□2±□3……□n|≤|□1|+|□2|+|□3|+……+|□n||□|-|○|≤|□±○|≤|□|+|○|2.形：1.数：注：去绝对值符号常见的方法：①零点分段法⑤几何意义——距离数法形法②平方法④⊿不等式法③换元法⑥函数图像——翻折……(零点分段法的基础)几何意义——距离(实数,复数,向量)绝对值的概念2.|□|-|○|≤|□±○|≤|□|+|○|注1.放缩换序增减号特例消元求最值注2.拍扁三角取等号同号异号是关键“=”成立的条件：①中间“＋”时,右侧取“=”的条件是“□○≥0”②中间“－”时,右侧取“=”的条条件是“□○≤0”左侧取“=”的条件是“□○≤0且|□|≥|○|”左侧取“=”的条件是“□○≥0且|□|≥|○|”1.|□·○|=|□|·|○||○||□|○□=|□|=□2；；绝对值的性质13柯西不等式i：一般式ii：向量式方和积≥积方和14排序不等式反序和≤乱序和≤顺序和15伯努利不等式参课本P：51～52ⅰ:若x＞-1,且α≤0或α≥1，则ⅱ:若x＞-1,且0≤α≤1，则(当且仅当n=1时等号成立)如果x是实数,且x＞-1,x≠0,且n为大于1的自然数,则注：伯努利不等式常见的推论：ⅲ:若xi＞-1,则糖水不等式(调日术，插值定理)若,a,b,c,d,m,n＞0,则特例2：若,a,b,m＞0,则特例1：若,a,b,m＞0,则用化学溶液的浓度：解释此不等式，是显然成立的①设f(x)是(a,b)内的凸函数,则对于(a,b)内任意的n个实数琴生(Jensen)不等式,有当且仅当时取等号②设f(x)是(a,b)内的凹函数,则对于(a,b)内任意的n个实数,有当且仅当时取等号数法：形法：①比较法②分析法③综合法④反证法⑤数归法⑥放缩法⑦函数法⑧……法证明不等式常用的方法数法：形法：函数图象最值定理（均值不等式）线性规划函数法（导数法）求最值常用的方法二元不等式一元不等式抽象不等式含参不等式整式不等式分式不等式不等式组绝对值不等式根式不等式连不等式指数不等式对数不等式三角不等式线性规划四成立……解不等式常见的题型①常见题型②常见解法①常见题型形法数法“纯”不等式法函数法函数图象线性规划其他图象解不等式③一般的，不等式解集的端点值是方程的根数法形法解绝对值不等式常用的方法①几何意义法②辅助函数图象法③公式法④零点分段法⑤平方法⑥换元法⑦增号法去号法解绝对值不等式的两个基本题型|f(x)|g(x)型|k1x+b1|±|k2x+b2|常数型|f(x)|＞g(x)f(x)＜-g(x)或f(x)＞g(x)?|f(x)|＜g(x)-g(x)＜f(x)＜g(x)?①②①零点分段法②函数图象法③绝对值几何意义法§288含参等式及其含参不等式(一)二、含参不等式：<1>.按问法分类：<2>.按参量分类：<3>.按知识分类：1.常见题型：2.常用思想及方法：<1>.数形结合思想：<2>.分类讨论思想：<3>.参量分离法：<4>.变换主元法：一、含参等式：(含参函数与值域)(含参不等式四成立)①若对,有恒成立②若,使得成立已知定义在D1上的函数f1(x)的值域为I1定义在D2上的函数f2(x)的值域为I2则等价于：则等价于：③若对,使得成立④若对,使得成立则等价于：则等价于：一、含参等式(含参函数与值域)：(任意对任意，值域相等)(任意对存在，任意是子集)(存在对存在，交集非空)(任意对存在，任意是子集)(1)(2011年湖南)已知函数若有则b的取值范围为A．B．C.[1,3]D.(1,3)【B】法2：由题意得：两函数值域的交集非空法1：由答案的提示性，可小作：特值法……只需解得解：由题意知练习1.含参等式：(1)(2011年湖南)已知函数若有则b的取值范围为A．B．C.[1,3]D.(1,3)【B】法3：由f(x)、g(x)的图像易得……-1(2，1)f(a)=g(b)=t(1)(2011年湖南)已知函数若有则b的取值范围为A．B．C.[1,3]D.(1,3)注1：此类题，还可以将：变式为,等形式……(2)已知函数f(x)=alnx－x+2(a≠0)，若对任意的x1∈[1，e]，总存在x2∈[1，e]使得f(x1)＋f(x2)=4，求实数a值析1：由f(x1)＋f(x2)=4得f(x1)=4－f(x2)析2：设g(x)=4－f(x)即有f(a)=g(b)……析3：从而得：f(x)的值域是g(x)值域的子集……【B】a=e+1(1)(2011年湖南)已知函数若有则b的取值范围为注1：此类题，还可以将：变式为,等形式……注2：此类题，还要注意关键词的变化：引起的值域的“缩小”，即只取“单值区间”……存在唯一的x1∈I……(3)若对任意的,总存在唯一的使得成立，则a∈A.B.C.D.【A】(1)(2011年湖南)已知函数若有则b的取值范围为注1：此类题，还可以将：变式为,等形式……注2：此类题，还要注意关键词的变化：引起的值域的“缩小”，即只取“单值区间”……存在唯一的x1∈I……注3：此类题，还要注意问题的变化：数形结合，设f(a)=g(b)=t∈I……求a－b的取值范围……则a－b=h(t)(t∈I……)即求函数h(t)的“人为”值域……(4)(洛阳市2018年高三第二次统考)由导数法…可得【C】析：画出f(x)、g(x)的简图，设f(a)=g(b)=t＞0则a=lnt+1,b=2e故b－a=h(t)=2e－lnt－1(t＞0)注3：此类题，还要注意问题的变化：求a－b的取值范围……二、含参不等式：<1>.按问法分类：<2>.按参量分类：<3>.按知识分类：1.常见题型：③求最值①解不等式②证不等式①单参型②双参型③多参型导数不等式，数列不等式……二、含参不等式：1.常见题型：2.常用思想及方法：<1>.数形结合思想：<2>.分类讨论思想：<3>.参量分离法：<4>.变换主元法：(含参不等式四成立)①可以看出：此类问题，描述方式繁多、解法多样且灵活所以，高考的压轴题中，该类问题是频繁出现②但其基础是：含参不等式四成立 (a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2
当且仅当bi＝0或存在一个数k，使ai＝kbi时等号成立
已知≤≤≤…≤,≤≤≤…≤
若…,是…,的任意一个排列,
则称为乱序和
称为反序和
称为顺序和
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