板块三启智培优·破译高考板块四模拟演练·提能增分板块一板块三板块二高考一轮总复习·数学[文]（经典版）板块四第8章平面解析几何第1讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程板块一知识梳理·自主学习板块二典例探究·考向突破板块一板块三板块二高考一轮总复习·数学[文]（经典版）板块四
[必备知识]
考点1直线的倾斜角与斜率
1.直线的倾斜角
(1)定义：x轴与直线的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
(2)倾斜角的范围为.
正向
向上
0°≤α<180°
2.直线的斜率
(1)定义：一条直线的倾斜角α的叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝，倾斜角是90°的直线斜率不存在．
(2)过两点的直线的斜率公式
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.
正切值
tanα
考点2直线方程的几种形式
[必会结论]
直线的斜率k与倾斜角θ之间的关系牢记口诀：
“斜率变化分两段，90°是分界线；
遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．
[考点自测]
1.判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线的倾斜角越大，其斜率越大．()
(2)斜率公式k＝，不适用于垂直于x轴和平行于x轴的直线．()
(3)当直线的斜率不存在时，其倾斜角存在．()
×
×
√
(4)过点P(x1，y1)的直线方程一定可设为y－y1＝k(x－x1)．()
(5)直线方程的截距式＋＝1中，a，b均应大于0.()
×
×
2.[课本改编]过点M(－1，m)，N(m＋1,4)的直线的斜率等于1，则m的值为()
A.1B.
C．2D.
解析由＝1，得m＝1.故选A.
3.[课本改编]倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是()
A.x－y＋1＝0B．x－y－1＝0
C.x＋y－1＝0D．x＋y＋1＝0
解析直线的斜率为k＝tan135°＝－1，所以直线方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0.
4.[课本改编]过两点(0,3)，(2,1)的直线方程为()
A.x－y－3＝0B．x＋y－3＝0
C.x＋y＋3＝0D．x－y＋3＝0
解析所求直线的斜率k＝＝－1，又过点(0,3)，所以直线方程为y－3＝－x，即x＋y－3＝0.
5.已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是()
A.1B．－1
C.－2或－1D．－2或1
解析由题意可知a≠0.当x＝0时，y＝a＋2；当y＝0时，x＝，＝a＋2，解得a＝－2或a＝1.
6.[2018·长春模拟]直线l：(a－2)x＋(a＋1)y＋6＝0，则直线l恒过定点______________．
(2，－2)
解析直线l的方程变形为a(x＋y)－2x＋y＋6＝0，
由解得x＝2，y＝－2，
所以直线l恒过定点(2，－2).
考向直线的倾斜角与斜率
例1直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为______________________________．
(－∞，－][1，＋∞)
解析如图，
∵kAP＝＝1,kBP＝＝－，k∈(－∞，－][1，＋∞).
若将题中P(1,0)改为P(－1,0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围．
解P(－1,0)，A(2,1)，B(0，)，kAP＝＝，kBP＝＝.
如图可知，直线l斜率的取值范围为.
若将题中条件改为“经过P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点”，求直线l的倾斜角α的范围．
解如图所示，kPA＝＝－1，kPB＝＝1，由图可观察出：直线l倾斜角α的范围是.
触类旁通
直线的斜率与倾斜角的区别与联系
【变式训练1】(1)[2018·重庆巴蜀中学诊断]直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是()
A.B.
C.∪ D.∪
解析依题意，直线的斜率k＝－[－1,0)，因此其倾斜角的取值范围是.
(2)若经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为，则y等于()
A.－1B．－3C．0D．2
解析由k＝＝tan＝－1，得－4－2y＝2，所以y＝－3.
考向求直线的方程
例2根据所给条件求直线的方程：
(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为；
(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；
(3)与直线3x－4y－5＝0关于y轴对称．
解(1)由题设知该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sinα＝(0<α<π)，
从而cosα＝±，则k＝tanα＝±，
故所求直线方程为y＝±(x＋4)，
即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.
(2)由题设知截距不为0，设直线方程为＋＝1，又直线过点(－3,4)，从而＋＝1，解得a＝－4或a＝9.
故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.
(3)直线3x－4y－5＝0与y轴的交点为A，所求直线过A，且斜率k＝－，所求直线方程为y＝－x－，即3x＋4y＋5＝0.
触类旁通
求直线方程的两种方法
(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论．
(2)待定系数法，即设定含有参数的直线方程，由条件列出方程(组)，再求出参数，最后将其代入直线方程.
【变式训练2】已知ABC的三个顶点分别为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：
(1)BC边所在直线的方程；
(2)BC边上中线AD所在直线的方程；
(3)BC边的垂直平分线DE的方程．
解(1)因为直线BC经过B(2,1)和C(－2,3)两点，由两点式得BC的方程为＝，即x＋2y－4＝0.
(2)设BC边的中点D的坐标为(x，y)，
则x＝＝0，y＝＝2.
BC边的中线AD过点A(－3,0)，D(0,2)两点，由截距式得AD所在直线方程为＋＝1，即2x－3y＋6＝0.
(3)由(1)知直线BC的斜率k1＝－，
则直线BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2.
由(2)知点D的坐标为(0,2)．
可求出直线的点斜式方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.
考向直线方程的应用
例3[2018·无锡检测]已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(kR)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
解(1)证明：直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1，故无论k取何值，直线l总过定点(－2,1)．
(2)直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，则解得k的取值范围是[0，＋∞)．
(3)依题意，直线l在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，
A，B(0,1＋2k)．
又－<0且1＋2k>0，
k>0.故S＝|OA||OB|＝××(1＋2k)＝≥(4＋4)＝4，
当且仅当4k＝，即k＝时，取等号．故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.
触类旁通
直线方程综合问题的两大类型及解法
(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决．
(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决.
【变式训练3】已知直线l过点M(1,1)，且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点．求：
(1)当|OA|＋|OB|取得最小值时，直线l的方程；
(2)当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，直线l的方程．
解(1)设A(a,0)，B(0，b)(a>0，b>0)．
设直线l的方程为＋＝1，则＋＝1，
所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当“a＝b＝2”时取等号，此时直线l的方程为x＋y－2＝0.
(2)设直线l的斜率为k，则k<0，
直线l的方程为y－1＝k(x－1)，
则A，B(0,1－k)，
所以|MA|2＋|MB|2＝2＋12＋12＋(1－1＋k)2＝2＋k2＋≥2＋2＝4.
当且仅当k2＝，即k＝－1时取等号，此时直线l的方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.
核心规律
1.明确直线方程各种形式的适用条件
点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x、y轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．
2.求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系数法．
满分策略
1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．
2.根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性．
3.截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0，这是解题时容易忽略的一点．
易错警示系列10——都是漏掉“过原点”情况惹的祸
[2018·济南检测]求经过点P(2,3)，并且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程．
错因分析利用截距式方程求解时，忘记过原点的情况，而漏掉直线方程3x－2y＝0.
解解法一：(1)当截距为0时，直线l过点(0,0)，(2,3)，则直线l的斜率为k＝＝，
因此，直线l的方程为y＝x，即3x－2y＝0.
(2)当截距不为0时，可设直线l的方程为＋＝1.
直线l过点P(2,3)，＋＝1，a＝5，
直线l的方程为x＋y－5＝0.
综上可知，直线l的方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.
解法二：由题意可知所求直线斜率存在，
则可设y－3＝k(x－2)，且k≠0.
令x＝0，得y＝－2k＋3.
令y＝0，得x＝－＋2.
于是－2k＋3＝－＋2，解得k＝或－1.
则直线l的方程为y－3＝(x－2)或y－3＝－(x－2)，
即直线l的方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.
答题启示在选用直线方程时，常易忽视的情况有：?1?选用截距式方程时忽视与坐标轴垂直和过原点的直线；,?2?选用点斜式与斜截式时忽视斜率不存在的情况；,?3?选用两点式方程时忽视与x轴垂直的情况及与y轴垂直的情况.
跟踪训练
过点(5,2)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线方程是()
A.2x＋y－12＝0
B.2x＋y－12＝0或2x－5y＝0
C.x－2y－1＝0
D.x＋2y－9＝0或2x－5y＝0
解析当直线经过坐标原点时，直线方程为y＝x，即2x－5y＝0；当直线不经过坐标原点时，设直线方程为＋＝1，则＋＝1，解得b＝，故所求的直线方程是＋＝1，即x＋2y－9＝0.
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