板块三启智培优·破译高考板块四模拟演练·提能增分板块一板块三板块二高考一轮总复习·数学[文]（经典版）板块四第7章立体几何第1讲空间几何体的结构及其三视图和直观图板块一知识梳理·自主学习板块二典例探究·考向突破板块一板块三板块二高考一轮总复习·数学[文]（经典版）板块四
[必备知识]
考点1简单几何体
1．简单旋转体的结构特征
(1)圆柱可以由绕其任一边旋转得到；
(2)圆锥可以由直角三角形绕其旋转得到；
(3)圆台可以由直角梯形绕或等腰梯形绕旋转得到，也可由的平面截圆锥得到；
(4)球可以由半圆或圆绕旋转得到．
矩形
直角边
直角腰
上下底中点连线
平行于圆锥底面
直径
2．简单多面体的结构特征
(1)棱柱的侧棱都，上下底面是的多边形；
(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个的三角形；
(3)棱台可由的平面截棱锥得到，其上下底面是多边形．
平行且相等
全等
公共点
平行于棱锥底面
相似
考点2直观图
1．画法：常用．
2．规则
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面．
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度，平行于y轴的线段长度在直观图中．
斜二测画法
垂直
平行于坐标轴
不变
变为原来的一半
考点3三视图
1．几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的方、方、方观察几何体画出的轮廓线．
说明：正视图也称主视图，侧视图也称左视图．
2．三视图的画法
(1)基本要求：，，．
(2)画法规则：一样高，一样长，一样宽；看不到的线画线．
正前
正左
正上
长对正
高平齐
宽相等
正侧
正俯
侧俯
虚
[必会结论]
1．斜二测画法中的“三变”与“三不变”
“三变”
“三不变”
2．直观图与原图形面积的关系
S直观图＝S原图形(或S原图形＝2S直观图)．
[考点自测]
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)球的任何截面都是圆．()
(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．()
(3)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱．()
×
×
×
(4)上下底面是两个平行的圆面的旋转体是圆台．()
(5)在用斜二测画法画水平放置的A时，若A的两边分别平行于x轴和y轴，且A＝90°，则在直观图中A＝45°.()
×
×
2．[2018·山西模拟]如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()
A.三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱
解析由题知，该几何体的三视图为一个三角形，两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱．故选B.
3．[课本改编]如图，直观图所表示的平面图形是()
A.正三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．直角三角形
解析由直观图中，A′C′y′轴，B′C′x′轴，还原后如图ACy轴，BCx轴．所以ABC是直角三角形．故选D.
4．[2018·沈阳模拟]一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是()
解析若俯视图为选项C，侧视图的宽应为俯视图中三角形的高，所以俯视图不可能是选项C.
5．[2018·宁德质检]如图是正方体截去阴影部分所得的几何体，则该几何体的侧视图是()
解析此几何体侧视图是从左边向右边看，故选C.
考向空间几何体的结构特征
例1下列说法正确的是()
A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形
C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点
解析A错，如图1；B正确，如图2，其中底面ABCD是矩形，可证明PAB，PCB都是直角，这样四个侧面都是直角三角形；C错，如图3；D错，由棱台的定义知，其侧棱必相交于同一点．
触类旁通
解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧
(1)熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．
(2)通过反例对结构特征进行辨析，要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．
【变式训练1】以下命题：
以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；
以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．
其中正确命题的个数为()
A．0B．1C．2D．3
解析命题错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥；命题错，因为这条腰必须是垂直于两底的腰；命题错，因为圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；命题错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以．故选A.
考向空间几何体的三视图
命题角度1由空间几何体的直观图识别三视图
例2[2018·临沂模拟]如图甲，将一个正三棱柱ABC－DEF截去一个三棱锥A－BCD，得到几何体BCDEF，如图乙，则该几何体的正视图(主视图)是()
解析由于三棱柱为正三棱柱，故平面ADEB平面DEF，DEF是等边三角形，所以CD在后侧面上的投影为AB的中点与D的连线，CD的投影与底面不垂直．故选C.
命题角度2由空间几何体的三视图还原直观图
例3[2017·浙江高考]某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()
A.＋1B.＋3C.＋1D.＋3
解析由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长是的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，
该几何体的体积
V＝×π×12×3＋××××3＝＋1.
故选A.
命题角度3由两个视图补画第三个视图
例4[2016·天津高考]将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为()
解析由几何体的正视图、俯视图以及题意可画出几何体的直观图，如图所示．
从左侧观察直观图，可知截面体现为从左上到右下的虚线．故选B.
触类旁通
三视图问题的常见类型及求解策略
(1)在分析空间几何体的三视图时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果．
(2)在由三视图还原空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．
考向空间几何体的直观图
例5[2018·桂林模拟]已知正三角形ABC的边长为a，那么ABC的平面直观图A′B′C′的面积为()
A.a2B.a2C.a2D.a2
解析如图、所示的平面图形和直观图．
由可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a，在图中作C′D′A′B′于D′，则C′D′＝O′C′＝a.
S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×a×a＝a2.
若本例改为“A1B1C1是边长为a的正三角形，且A1B1C1是ABC的直观图”，则ABC的面积为多少？
解
在A1D1C1中，由正弦定理＝，得x＝a，S△ABC＝×a×a＝a2.
【变式训练2】如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝2，则原图形OABC的面积为()
A．24B．12
C．48D．20
解析由题意知原图形OABC是平行四边形，且OA＝BC＝6，设平行四边形OABC的高为OE，则OE××＝O′C′，O′C′＝2，OE＝4，S?OABC＝6×4＝24.故选A.
核心规律
1.掌握棱柱、棱锥的结构特征．
2.旋转体要抓住“旋转”的特点，弄清底面、侧面及其展开图的形状．
3.三视图的画法：(1)分界线和可见轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线；(2)理解“长对正、高平齐、宽相等”．
满分策略
1.台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱(母线)延长后必交于一点．
2.空间几何体不同放置时其三视图不一定相同．
3.对于简单组合体，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，易忽视实虚线的画法.
易错警示系列9——三视图识图不准致误
[2014·湖北高考]在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为、、、的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()
A．和 B．和
C．和 D．和
错因分析本题易出现的错误：(1)不能由点的坐标确定点在空间直角坐标系中的位置．(2)不能借助于正方体，由空间几何体的直观图得到它的三视图．(3)受思维定势的影响，直观感觉正视图为三角形，而无法作出选择．
解析在空间直角坐标系中构建棱长为2的正方体，设A(0，0,2)，B(2,2,0)，C(1,2,1)，D(2，2,2)，则ABCD即为满足条件的四面体，得出正视图和俯视图分别为和.故选D.
答题启示在三视图中，正视图、侧视图的高就是空间几何体的高，正视图、俯视图中的长就是空间几何体的最大长度，侧视图、俯视图中的宽就是空间几何体的最大宽度.在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来.
跟踪训练
一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为()
解析在空间直角坐标系中，易知O(0,0,0)，A(1,0,1)，B(1，1,0)，C(0,1,1)恰为单位正方体的四个顶点，棱BC在zOx平面的投影是看得见的，而OA的投影即它本身，在投影面中是看不见的．故选A.
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