力学数声风笛离亭晚，我想潇湘君想秦！第三章动量与角动量3.1冲量与动量定理3.2动量守恒定律3.3质心与质心运动定理3.4角
动量与角动量定理3.5角动量守恒定律3.1冲量与动量定理平均冲力动量定理的应用：冲床（很短时间内使动量发生很大改变以获得巨大的
平均冲力）。??将牛顿运动定律写为如下形式对上式两边积分可得定义冲量为?动量定理：物体动量的增量等于它所受合外力的冲量，即动量定理
的应用——帆船逆风而行?航向?风??动量定理：牛顿第三定律：帆????3.2动量守恒定律?单个质点：根据牛顿第二定律当质点不受力
，即的时候两个质点：假设两个质点之间有相互作用力与，同时质点1和2分别受到受外力与的作用，则根据牛顿第三定律，故上面两式相加可得如
果合外力，则?N个质点：根据牛顿第三定律，故上面N式相加可得如果合外力，则动量守恒定律：当一质点系所受合外力为零时，这一质点系的总
动量保持不变。说明：当外力比内力小很多的时候（例如碰撞、爆炸）动量守恒定律近似成立。当质点系在某一方向上的合外力为零时总动量在该方
向上的分量守恒。我们这里所说的动量守恒定律只适用于惯性系。例如图质量的木块垂直静止悬挂，现有质量为的子弹沿水平方向以速度射入木块
并停留其中，求子弹刚停在木块内时木块的速度。?解：设最终子弹与木块一起运动的速度为,因为在水平方向无外力，所以子弹与木块组成的系统
在该方向动量守恒求得???例如图一个半径为的圆弧滑槽的达物体的质量为停在光滑水平面上，另一质量的物体自圆弧顶点由静止滑下。求小物
体滑到圆弧底端时大物体在水平面移动的距离。解：如图所示，与组成的系统在x方向所受合外力为零，故动量守恒也即从0到t对上式积分，由用
与分别表示与在水平方向移动的距离，则所以????x??又根据运动的相对性最后可得动量守恒定律的应用——火箭原理时刻??时刻????
????时刻的动量：时刻的动量又,故根据动量守恒定律?忽略二阶小量得两边同时积分可得即火箭速率的增加与喷气速率成正比，与始末质量之
比的自然对数正比。以表示到时间段内喷出气体对火箭的平均推力，根据动量定理所以即火箭推力与喷气速率以及燃料燃烧速率成正比。Tsiol
kovskyrocketequation??提高火箭末速度的途径：给火箭一个较大的初始速度。但是火箭初始时在稠密的大气中飞行，
速度越大，阻力越大，在目前的技术水平下这种方法不可取。不过现在有人设想通过电磁弹射助推发射火箭。另外，在低纬度地区地球自转线速度更
大，火箭可以借助该速度。增加喷出气体的速度。目前的火箭都使用化学燃料，很难获得很大的。但是采用强电场可以将带电粒子加速到接近光速，
所以将来或许会采用“离子”推进。（目前离子引擎已经在航天器姿态控制、位置保持等方面有一定的应用。）增加初末质量比。主要的方法是“多
级火箭”，将“无效”的质量及时甩掉。但是如果级数太多，则技术可靠性会降低，所以目前一般采用三级。地球是人类的摇篮，但人类不可能永远
被束缚在摇篮里.——康斯坦丁·齐奥尔科夫斯基康斯坦丁·齐奥尔科夫斯基1857.9.17～1935.9.19现代航天学和火箭理论的奠
基人1rublecommemorativecoin,1987ThefinalmannedSaturnV,AS-5
12,beforethelaunchof?Apollo17?inDecember1972.AllSaturnV
launches,1967–19733.3质心与质心运动定理?质心——质量中心在直角坐标系中表示为?连续物体的质心直角坐标系中
表示为质量均匀的物体的质心位于其几何中心。?例一段均匀铁丝弯成半径为的半圆形，求其质心位置。y解：如图所示建立坐标系，根据对称性
质心位于y轴上，设铁丝线密度为则质心位置根据以及,可得又铁丝总质量所以????x质心不一定位于物体上?质心运动定理?对质心求导，可
得质心运动的速度为上式变形为即质点系的总动量等于总质量乘以质心的运动速度，此乘积也称为质心的动量。质心运动的加速度满足再考虑到推导
动量守恒定律时推导得出合力与总动量的关系，可得上式即质心运动定理的数学表达式。?例如图所示，水平桌面上铺有一张纸，纸上放一材质均
匀的质量为的小球，将纸向右拉动时小球与纸面间的摩擦力为。求经过时间后球心相对桌面移动的距离。?x??解：均匀材质小球的质心即为其球
心，小球在水平方向只受到摩擦力，所以应用质心运动定理，质心加速度根据运动学知识，经过时间后球心相对桌面移动的距离为?例光滑的冰面
站有两名科考队员，二人之间有一条保险绳相连。现静止的二人欲通过拉动保险绳来会合，请问汇合点在什么位置？x????解：如图所示建立坐
标系，在水平方向由安全绳连接的两人不受外力，又初始时二人都静止，所以整个过程中系统的质心位置不动，两人将在质心处会合，即会合处的坐
标为其中以及分别为二人的质量以及初始位置坐标。3.4角动量与角动量定理力矩：力对参考点的力矩定义为从参考点到力的作用点的矢径和该
力的矢量积，即力矩的大小为???????对力矩的定义做如下的变形即仿照,我们定义质点对固定点的角动量则有??角动量定理：质点所受合
外力矩等于其角动量的时间变化率?两点注意：力矩（）与功（）的量纲相同，但是二者时完全不同的物理量，不可以相加减或者比较大小。力矩与
角动量的大小与参考点的选取有关，所以在讨论力矩以及角动量的时候一定要指明所选取的参考点。以为参考点合外力的力矩小球角动量方向竖直向
上。?????以为参考点合外力的力矩小球角动量方向时刻在变化。?????3.4角动量守恒定律?角动量守恒定律：如果对于某一固定点
，质点所受合外力矩为零，则此质点对该固定点的角动量保持不变，即，则质点所受合外力为零时角动量守恒。例求自由粒子做匀速直线直线运动
时任意时刻对某一固定点的角动量守恒。y??解：如图所示，设例子沿图中的红线做匀速直线运动，我们选取固定点为坐标原点，设某时刻粒子位
于点，则其相对原点的角动量方向垂直纸面向外（即z方向）。即角动量是一个常矢量，不随时间变化。我们知道粒子做匀速直线运动时合外力为零
，相应的合外力矩也为零，质点的角动量守恒。我们这里得出的结论符合该规律。??x???如果位矢与力的方向平行或者反平行时（有心力），
力矩也为零，，这时角动量也守恒。?例如图所示，一质量为小球系在细绳的一端，绳子另一端穿过桌面上的小孔。初始时用手拉住绳子，质点
在桌面上绕小孔做匀速圆周运动。现慢慢拉下绳子，使桌面上绳子的长度逐渐变小，试问这一过程中质点绕小孔的角速度如何随半径变化？解：在这
个物理过程中小球受到的时一个有心力，所以角动量守恒，设为，则又线速度与角速度的关系为所以由此可得角速度与半径的关系为????角动量
守恒定律可以推广到质点系。例如图所示，长度为的轻杆一端固定但可以自由转动，另一端连接一个质量为M的小球。现有另外一个质量为m小球
以水平方向的速度与轻杆在杆的中部碰撞，然后粘连在一起运动。求碰撞后轻杆的角速度。??解：如图，选取M小球，轻杆，m小球为研究系统，
以点为参考点。在碰撞瞬间，重力、点的弹力都通过参考点，所以合外力矩为零，系统的角动量守恒，设碰撞后角速度为，则由此可以解得?m?M
水平方向动量守恒否？为什么？力学数声风笛离亭晚，我想潇湘君想秦！4.1功4.2保守力与势能4.3动能定理4.4机械能守恒定
律4.5碰撞问题4.6守恒定律的意义第四章功和能4.1功??若质点在力的作用下发生无限小的位移（元位移），则定义
元功功是标量，无方向，有正负，力与位移“同向”时做正功，“反向”时做负功。???一般情况下的功通过对元功进行积分得到，如果质点在恒
力作用下沿直线运动则其中为从A到B的位移，为力与位移的夹角。?BL?A?例从高度处竖直上抛一个质量为的小球，小球最终落地，求该
过程中重力所做的功。?解:整个运动过程中小球沿直线运动，所受重力为恒定力，且于运动直线平行，所以该过程重力做功仅与始末位置有关，
与路径无关。?注意功的定义中是位移不是路程例质量为的小木块在粗糙水平面上沿图中的曲线从A运动到B，已知曲线长度为求摩擦力做的功。
解：摩檫力的方向总是阻碍物体运动的方向，所以对于任意的元位移对上式积分，整个过程中摩檫力做功?BA??例如图水平放置弹性系数为的
弹簧，一端固定，另一端连接一小球。求弹簧的身长都从变化到过程中弹力对小球所做的功。?解：弹力做功只与弹簧的始末状态有关，与中间过程
无关。???4.2保守力与势能保守力：做功与路径无关，只与系统的初末状态有关的力，例如重力与弹簧弹力。非保守力：做功与路径有关的
力，例如摩擦力。对应于保守力做功的问题，可以引入一个系统的状态函数来对问题进行简化，该状态函数通常称只为势能（或位能）。重力势能质
量为物体高度为时的重力势能定义为物体的高度从变化到重力做功重力做的功等于物体重力势能的减小量。??弹性势能弹性系数伸长量为的弹簧的
弹性势能定义为弹簧伸长量从变化到时弹力做功弹力做的功等于弹簧弹性势能的减小量。?引力势能的验证假设两个质点在引力作用下做直线运动，
则在它们的距离从变化到做功引力势能两个相距质量分为和的质点之间的万有引力大小为二者组成的系统引力势能为二者间的距离从变化到做功??
势能与保守力的关系保守力等于势能的负梯度关于势能的几点说明：只有对应于保守力才能引入势能的概念，且规定保守力所做的功等于系统势能的
减小。势能的具体数值的确定需要预先选定系统的某一状态为势能零点，该零点的选取具有任意性。势能的具体数值并不重要，重要的是不同状态之
间的势能差值。势能属于通过保守力相互作用的系统的整体。通常所说的“小球的重力势能”，实际上是“小球与地球组成的系统的重力势能”或者
“小球在重力场中的重力势能”。系统的势能与参考系无关。4.3动能定理?将牛顿第二定律代入元功的定义由于故定义动能则有两边沿路径从
A到B积分则有?动能定理：合外力对质点所做的功等于质点动能的改变量，即?????????初始时刻末时刻?初始时刻末时刻动量守恒定律
：当一质点系所受合外力为零时，这一质点系的总动量保持不变。动能守恒定律对于一个质点系，以质点于某惯性系的速度，以表示该质点相对于质
心参考系（质心在其中静止的参考系）的速度，设质心在前述惯性系中的运动速度为，则于是质心系的总动能其中这里表示质心在质心参考系的位矢
，0，故上式为零。最后质点系的动能为：?柯尼希定理：一个质点系相对于某一惯性系的总动能等于该质点系的轨道动能于内动能之和??例一
个质量为的珠子系在线的一端，线的另一端绑在墙上的钉子上，线长为。先拉动珠子使线水平静止，然后松手使珠子下落。求线摆下角度时珠子的速
率。解：如图在摆动角从变化到过程中合外力所做元功对整个摆动过程积分，可得合外力做功根据动能定理（初始速度,末速度为）所以线摆下角度
时珠子的速率?????????4.4机械能守恒定律动能定理：合外力对质点所做的功等于质点动能的改变量。保守力做功?势能的改变
量。机械能：系统的总动能和势能之和。?机械能守恒定律：质点系在运动过程中，它所受的外力的功与系统内非保守力的功的总和等于它的机械能
的增量，保守系统：系统内力只有保守力的系统。对于保守系统,,所以有孤立系统：没有外力做功。对于孤立保守系统，机械能守恒??例
一个质量为的珠子系在线的一端，线的另一端绑在墙上的钉子上，线长为。先拉动珠子使线水平静止，然后松手使珠子下落。求线摆下角度时珠子的
速率。?解：如图，取珠子和地球为研究系统。以悬挂点所在高度为重力势能的零点，在珠子下落过程中，线的拉力总是垂直于珠子运动速度，不做
功。故系统是一个孤立保守系统，机械能守恒。初始时刻，系统的重力势能为零，动能为零，机械能末时刻，系统的机械能由机械能守恒可得所以线
摆下角度时珠子的速率????????例在地面上以速度竖直向上发射一炮弹，忽略大气的作用，求炮弹在地球引力作用下能到达的最大高度。
解：如图所示，以炮弹和地球为研究系统，该系统中没有非保守的内力（忽略空气的阻力），也不受外力，所以根据机械能守恒有（最高点处的重力
势能=地面上时的动能+重力势能）解该方程可得炮弹可以达到的最大高度为y?????例如图所示时一个摆长可变的单摆。设初始时
单摆在摆角处由静止释放，然后单摆以摆长自由摆动到最低点（1?2）。在最低点再迅速将摆长由调整到（,2?3）。最后单摆以摆
长自由摆动至最高点（3?4）。设最高点的摆角，试比较与的大小。?????4解：在1?2的过程中只有重力做功，机械能守恒，设
最低点速度为则在2?3的过程中以为参考点合外力矩为零，角动量守恒，设3时刻速度为则最后在3?4的过程中机械能守恒由上述各式
可得所以。?312?思考：说明单摆摆到了更高的位置，能量从何处来？4.6碰撞问题碰撞：物体在运动中相互靠近，或发生接触时，在相
对较短的时间内发生强烈相互作用的过程。碰撞过程：一般内力极大，满足动量守恒定律。弹性碰撞——弹性力（保守力），机械能守恒。非弹性碰
撞——机械能不守恒。完全非弹性碰撞——两个物体碰撞后不再分开。例两个质量分别为与的小球发生对心完全非弹性碰撞，碰撞前二者速度分别
为，求碰撞过程损失的动能。?其中为碰撞前总动能，为轨道动能。根据柯尼希定理，损失的动能为系统的内动能（相对质心参考系的动能）??
解：设碰撞后的速度为，根据动量守恒定律得所以碰撞过程损失的动能为例两个质量分别为与的小球沿着水平方向运动，速度分别为和。求二者发
生对心弹性碰撞后的速度。?碰撞后碰撞前m1m1m2m2????解：由于两个小球在水平方向不受外力，根据动量守恒有又由于时弹性碰撞，
所以机械能守恒求解可得?碰撞后碰撞前m1m1m2m2??????两小球质量相等则即碰撞的结果是两个小球彼此交换了速度。打台球时如
果白球快速碰撞静止的目标球，则结果就是目标球获得速度开始运动，白球静止在了发生碰撞的位置。?两小球质量悬殊且则即质量小的小球反向
，质量大的小球依然保持静止。打篮球（篮球-地球），乒乓球（乒乓球-球桌）就属于这种情况。例引力助推。如图探测器以速度靠近行星，在
行星引力作用下最终以速度离开。设行星的速度为，试求。????旅行者2号与海王星解：引力助推可以看作无接触的碰撞问题，所以又探测器的
质量远比行星的质量要小，即,所以所以可以利用行星对探测器进行加速或者减速。?旅行者2号相对太阳的速度和其与太阳距离的关系图。图中四
次速度的突变对应于经过木星、土星、天王星时的三次引力助推加速以及为了观察海卫一在经过海王星的一次引力助推减速。思考：图中旅行者2号
速度平滑减小的原因时什么？4.6守恒定律的意义动量守恒角动量守恒机械能守恒守恒定律的特点与优点：不究过程细节而能对系统的状态做出
一些有用的结论。守恒律VS对称性（诺特定理）：每一条守恒律都有一种系统的对称性与之相对应。动量守恒——空间平移对称性角动量守恒
——空间旋转对称性EmmyNoether，1882－1935机械能守恒——时间平移对称性力学数声风笛离亭晚，我想潇湘君想秦！第五
章刚体的定轴转动5.1刚体转动的描述5.2刚体的角动量与转动定律5.3转动惯量的计算5.4角动量守恒5.1刚体转动的
描述刚体：受力时不改变形状和体积的物体。（理性模型——球形奶牛??）刚体既可以平动也可以转动。yxz沿x方向的水平运动绕z轴的定轴
转动一个非定轴转动的例子（平面平行运动）：定点转动?刚体定轴转动的特点:刚体上各点绕转轴做半径不同的圆周运动。各转动平面垂直与转轴
。刚体上各点的角速度、角加速度相同。刚体上距离转轴的点的线速度切向加速度法向加速度???角速度实际上是矢量，方向沿转轴，与转向成右
手螺旋。角加速度也是矢量，在定轴转动时，与可以当作标量来处理。?5.2刚体的角动量与转动定律?质点角动量定理：质点所受合外力矩
等于其角动量的时间变化率?将单个质点的角动量动量定理进行推广??定义刚体对转轴的转动惯量则有?刚体定轴转动角动量?????转动
定律：定轴转动的刚体所受合外力矩等于刚体的转动惯量和其角加速度的乘积5.3转动惯量的计算?例求半径为质量为细圆环绕垂直环平面通
过圆心转轴的转动惯量。?根据转动惯量的定义对于质量连续分布的刚体其转动惯量为?解：如图，环上各质元到轴垂直距离相等，故即???例
求半径为，面密度为的薄圆盘绕垂直盘面通过圆心的转轴的转动惯量。??解：对于图中半径为,宽度的细圆环，其转动惯量对上式积分得整个圆
盘的转动惯量???例计算如图所示的质量为的均匀细棒对y轴的转动惯量。?y?x???解：假设细棒的线密度为，则如图所示位于坐标长度
为的线元对y轴的转动惯量根据定义为对上式从左端点到右端点积分即可得整个细棒对y轴的转动惯量又因为所以细棒对y轴的转动惯量为?y?x
???y轴位于细棒的中央，即（为棒长）时y轴位于细棒的左端，即时（此时，为棒长）Y轴位于右端时亦然。???平行轴定理：设刚体绕通过
质心的某转轴的转动惯量为，则绕平行于该轴距离为的转轴的转动惯量为几种常见均匀刚体的转动惯量刚体形状图示转动惯量细杆（长度）细杆（长
度）细圆环（半径）圆盘（半径）刚体形状图示转动惯量正交轴定理几种常见均匀刚体的转动惯量刚体形状图示转动惯量实心圆柱（半径,高）薄球
壳（半径）实心球（半径）刚体形状图示转动惯量更多内容请访问：https://en.wikipedia.org/wiki/Lis
t_of_moments_of_inertiaListofmomentsofinertia?例阿特伍德机：用一细绳跨过定
滑轮，在其两端各悬挂质量为和的重物（设）。设绳不可伸长，质量可忽略，与滑轮无相对滑动，滑轮半径为,质量为且分布均匀。求两重物各自的
加速度，以及绳两端的张力。解：对于两重物对于滑轮，外力矩为,转动惯量为,故有又由于绳子不可伸长且与滑轮无相对滑动，即解方程可得??
?????5.4角动量守恒?转动定律：定轴转动的刚体所受合外力矩等于刚体的转动惯量和其角加速度的乘积?角动量守恒：刚体定轴转动过
程中如果所受合外力矩为零，即，则刚体的角动量保持不变?例如图所示，长度为质量为的杆，一端固定且可以绕点自由转动。现有一个质量为m
小球以水平方向的速度与杆在杆的中部碰撞，然后粘连在一起运动。求碰撞后瞬间杆的角速度。?解：如图，选取杆，小球为研究系统，以点为参考
点。在碰撞瞬间，重力、点的弹力都通过参考点，所以合外力矩为零，系统的角动量守恒，设碰撞后角速度为，则由此可以解得?m?动量守恒否？
为什么？?例一个质量为,半径为的水平均匀圆盘可绕着通过中心的光滑竖直轴自由转动。在盘边缘上站着一个质量为人，初始时刻二者都相对地
面静止。当人在盘上沿着盘缘走一周时，盘对地面转过的角度有多大？?解：人和圆盘组成的系统所受外力矩为零，根据角动量守恒以与分别表示人
和盘对地面的角位移，则所以对上式两边乘以积分，有即?????所以人相对于盘面走一周时盘转过的角度为地球的运动——公转、自转、进动、章动计十九年而有七闰，古历十九年为一章，以其闰馀尽故也。?Rotation,precession,andnutationinobliquityofaplanet.Carretera83(VíaCorta)Zaragoza-Victoria,km27+800.OfallcrossingsoftheTropicofCancerwithMexicanfederalhighways,thisistheonlyplacewherethelatitudeismarkedwithprecisionandwheretheannualdriftbetweentheyears2005and2010canbeappreciated.谢谢！如有错误之处，望不吝指正！如果觉得还算不错，可以赞赏一下作者。谢谢鼓励！联系方式：qinjieli@126.com本作品采用https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/知识共享署名-非商业性使用4.0国际许可协议进行许可。 |
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