板块三启智培优·破译高考板块四模拟演练·提能增分板块一板块三板块二高考一轮总复习·数学[文]（经典版）板块四第8章平面解析几何第3讲圆的方程板块一知识梳理·自主学习板块二典例探究·考向突破板块一板块三板块二高考一轮总复习·数学[文]（经典版）板块四
[必备知识]
考点1圆的定义、方程
1.在平面内到的距离等于的点的轨迹叫做圆．
2.确定一个圆的基本要素是：和．
3.圆的标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．
定点
定长
圆心
半径
4.圆的一般方程
(1)一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0；
(2)方程表示圆的充要条件为：；
(3)圆心坐标，半径r＝.
D2＋E2－4F>0
考点2点与圆的位置关系
1.理论依据
与的距离与半径的大小关系．
2.三个结论
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)，d为圆心到点M的距离．
(1)点在圆上d＝r；
(2)点在圆外d>r；
(3)点在圆内d
点
圆心
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
(x0－a)2＋(y0－b)2>r2
(x0－a)2＋(y0－b)2
[必会结论]
1.圆心在任一弦的中垂线上．
2.两个圆系方程
具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫圆系方程．
(1)同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中a，b为定值，r是参数；
(2)半径相等的圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中r为定值，a，b是参数．
3.圆的直径端点是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
[考点自测]
1.判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．()
(2)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(tR)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆．()
(3)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆．()
(4)方程x2＋Bxy＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是B＝0，D2＋E2－4F>0.()
(5)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0.()
√
×
×
√
√
2.[教材习题改编]圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是()
A.(2,3)B．(－2,3)
C.(－2，－3)D．(2，－3)
解析由(x－2)2＋(y＋3)2＝13，知圆心坐标为(2，－3).
3.圆心在y轴上且通过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是()
A.x2＋y2＋10y＝0B．x2＋y2－10y＝0
C.x2＋y2＋10x＝0D．x2＋y2－10x＝0
解析设圆心为(0，b)，半径为r，则r＝|b|，
圆的方程为x2＋(y－b)2＝b2.
点(3,1)在圆上，
9＋(1－b)2＝b2，解得b＝5.
圆的方程为x2＋y2－10y＝0.
4.[2016·北京高考]圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为()
A.1B．2C.D．2
解析由题知圆心坐标为(－1,0)，将直线y＝x＋3化成一般形式为x－y＋3＝0，故圆心到直线的距离d＝＝.故选C.
5.[课本改编]方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是()
A.1
C.m1
解析由(4m)2＋4－4×5m>0，得m<或m>1.
6.已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为____________________．
(x－2)2＋y2＝10
解析依题意设所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2，把所给两点坐标代入方程，得
解得所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝10.
考向确定圆的方程
例1(1)[2018·承德模拟]圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程为___________________________________________________________________________．
(x＋1)2＋(y＋2)2＝10
解析设点C为圆心，因为点C在直线x－2y－3＝0上，所以可设点C的坐标为(2a＋3，a)．
又该圆经过A，B两点，所以|CA|＝|CB|，
即
＝，解得a＝－2，
所以圆心C的坐标为(－1，－2)，半径r＝.
所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
(2)[2016·天津高考]已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为_______________________．
(x－2)2＋y2＝9
解析设圆C的方程为(x－a)2＋y2＝r2(a>0)，由题意可得解得所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.
触类旁通
1.用待定系数法求圆的方程的一般步骤
(1)选用圆的方程两种形式中的一种(若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标轴间的关系，通常选用标准方程)；
(2)根据所给条件，列出关于D，E，F或a，b，r的方程组；
(3)解方程组，求出D，E，F或a，b，r的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程．
2.用几何法求圆的方程
利用圆的几何性质求方程，可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用.
【变式训练1】[2015·全国卷]过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝()
A.2B．8C．4D．10
解析设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将点A，B，C代入，得解得
则圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.
令x＝0，得y2＋4y－20＝0，设M(0，y1)，N(0，y2)，
则y1，y2是方程y2＋4y－20＝0的两根，
由根与系数的关系，得y1＋y2＝－4，y1y2＝－20，
故|MN|＝|y1－y2|＝＝＝4.
考向与圆有关的对称问题
命题角度1两圆相互对称
例2圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为________________________．
(x－2)2＋y2＝5
解析因为所求圆的圆心与圆(x＋2)2＋y2＝5的圆心(－2,0)关于原点(0,0)对称，所以所求圆的圆心为(2,0)，半径为，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝5.
命题角度2圆自身对称
例3若圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9上的相异两点P，Q关于直线kx＋2y－4＝0对称，则k的值为________．
2
解析圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．已知圆的圆心为(－1,3)，由题设知，直线kx＋2y－4＝0过圆心，则k×(－1)＋2×3－4＝0，解得k＝2.
触类旁通
对称圆的半径不变，圆的对称问题实际上是点的对称问题，求解过程中最重要的就是确定圆心．
掌握对称圆的几何特性对于解决圆的对称问题非常重要，此类问题往往与直线的位置关系综合命题.
考向与圆有关的最值
命题角度1距离型最值
例4[2018·沈阳模拟]已知x，y满足x＋2y－5＝0，则(x－1)2＋(y－1)2的最小值为()
A.B.C.D.
解析(x－1)2＋(y－1)2表示点P(x，y)到点Q(1,1)的距离的平方．由已知可得点P在直线l：x＋2y－5＝0上，所以|PQ|的最小值为点Q到直线l的距离，
即d＝＝，所以(x－1)2＋(y－1)2的最小值为d2＝.故选A.
命题角度2建立目标函数求最值问题
例5已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)(m>0)．若圆C上存在点P，使得APB＝90°，则m的最大值为()
A.7B．6C．5D．4
解析解法一：由(x－3)2＋(y－4)2＝1，知圆上点P(x0，y0)可化为
APB＝90°，即·＝0，(x0＋m)(x0－m)＋y＝0，
m2＝x＋y＝26＋6cosθ＋8sinθ
＝26＋10sin(θ＋φ)≤36，
0
解法二：在RtAPB中，原点O为斜边中点，|AB|＝2m(m>0)，
m＝|OP|≤|OC|＋r，
C(3,4)，r＝1，|OP|≤6，即m≤6.故选B.
触类旁通
与圆有关的最值问题的求解方法
(1)借助几何性质求最值
形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；
形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；
形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
(2)建立函数关系式求最值
根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常用的.
考向与圆有关的轨迹问题
例6已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
解(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．
因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点为N(x，y)．
在RtPBQ中，|PN|＝|BN|.
设O为坐标原点，连接ON，则ONPQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
触类旁通
与圆有关的轨迹问题的求法
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程；
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程；
(3)代入法(相关点法)：找到要求点与已知点的关系代入已知点满足的关系式．
注：本章第8讲有详细讲解.
【变式训练2】[全国卷]已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
(1)求M的轨迹方程；
(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及POM的面积．
解(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0,4)，半径为4.
设M(x，y)，则＝(x，y－4)，＝(2－x,2－y)．
由题设知·＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.
所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.
(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，为半径的圆．由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ONPM.
因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－，
故l的方程为y＝－x＋.
又|OM|＝|OP|＝2，O到l的距离为，|PM|＝，所以POM的面积为.
核心规律
1.确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式，定参数”是求圆的方程的基本方法，即根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数．
2.解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算．
满分策略
1.求圆的方程需要三个独立条件，因此不论选用哪种形式的圆的方程都要列出三个独立的关系式．
2.解答与圆有关的最值问题一般要结合代数式的几何意义进行，注意数形结合，充分运用圆的性质．
3.解决与圆有关的轨迹问题，一定要看清要求，是求轨迹方程还是求轨迹．
创新交汇系列6——圆与线性规划的交汇问题
如果点P在平面区域上，点Q在圆x2＋(y＋2)2＝1上，那么|PQ|的最小值为________．
解题视点此类题目是线性规划与圆结合的问题，关键是画好区域理解问题的几何意义，运用数形结合思想．
－1
解析由点P在平面区域
上，画出点P所在的平面区域，如图中阴影部分所示；由点Q在圆x2＋(y＋2)2＝1上，再画出点Q所在的圆，如图所示．
由题意得|PQ|的最小值为圆心(0，－2)到平面区域的最小距离减去半径长．
又圆心(0，－2)到直线x－2y＋1＝0的距离为＝，此时垂足(－1,0)在满足条件的平面区域内，故|PQ|的最小值为－1.
答题启示本题考查线性规划及圆、点到直线的距离等知识，并考查考生综合应用知识解决问题的能力.本题的突出特点就是将圆与线性规划问题有机地结合起来，为我们展现了数学知识相互交汇的新天地，求解时既要注意使用线性规划的基本思想，又要利用圆上各点的特殊性.实际上是对数形结合思想的提升，即利用线性或非线性函数的几何意义，通过作图来解决最值问题.
跟踪训练
[2016·四川高考]设p：实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2≤2，q：实数x，y满足则p是q的()
A.必要不充分条件B．充分不必要条件
C.充要条件D．既不充分也不必要条件
解析如图作出p，q表示的区域，其中M及其内部为p表示的区域，ABC及其内部(阴影部分)为q表示的区域，故p是q的必要不充分条件.
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