《高中物理思维方法集解》参考系列
高考物理题中的临界问题
山东平原一中魏德田
当物体由一种物理状态变为另一种物理状态时，可能存在一个过渡的转折点，这时物体所处的状态通常称为临界状态，与之相关的物理条件则称为临界条件。
????解答临界问题的关键是找临界条件。许多临界问题，题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”……等词语对临界状态给出了明确的暗示，审题时，一定要抓住这些特定的词语发掘内含规律，找出临界条件。
1．如图3—25所示，一个质量为的物体固定在劲度系数为的轻弹簧右端，轻弹簧的左端固定在竖直墙上，水平向左的外力推物体把弹簧压缩，使弹簧长度被压缩了，弹性势能为E。已知弹簧被拉长（或者压缩）x时的弹性势能的大小，求在下述两种情况下，撤去外力后物体能够达到的最大速度？
（1）地面光滑。
（2）物体与地面的动摩擦因数为。
3．如图（a）所示，光滑的平行长直金属导轨置于水平面内，间距为L、导轨左端接有阻值为R的电阻，质量为m的导体棒垂直跨接在导轨上。
导轨和导体棒的电阻均不计，且接触良好。在导轨平面上有一矩形区域内存在着竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。开始时，导体棒静止于磁场区域的右端，当磁场以速度v1匀速向右移动时，导体棒随之开始运动，同时受到水平向左、大小为f的恒定阻力，并很快达到恒定速度，此时导体棒仍处于磁场区域内，求导体棒所达到的恒定速度v2；
4如图所示，一根长L=1.5m的光滑绝缘细直杆MN，竖直固定在场强为E==1.0×105N/C、与水平方向成θ＝300角的倾斜向上的匀强电场中。杆的下端M固定一个带电小球A，电荷量Q＝+4.5×10－6C；另一带电小球B穿在杆上可自由滑动，电荷量q＝+1.0×10一6C，质量m＝1.0×10一2kg。现将小球B从杆的上端N静止释放，小球B开始运动。（静电力常量k＝9.0×109N·m2／C2，取g=l0m/s2)。求小球B的速度最大时，距M端的高度h1为多大？
6．一竖直绝缘杆MN上套有一带正电，质量为的小铜环，环与杆之间的动摩擦因数为，杆处于水平匀强电场和水平匀强磁场共存的空间，如图3—4—45所示，电场强度为，磁感应强度为，电场和磁场方向垂直。当自由释放小铜环后，它就从静止开始运动，设场区足够大，杆足够长，求环在运动中的最大加速度和最大速度。
7．如图所示，一质量为m的带电小球，用长为l的绝缘细线悬挂在水平向右的匀强电场中，静止时悬线与竖直方向成θ角（<45o）如图，水平向左的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场相互垂直。在电磁场区域中，有竖直放置的，半径为R的光滑绝缘圆环，环上套有一个带正电的小球。已知小球所受电场力与重力大小相等。现将小球从环的顶端A点由静止释放。当小球运动的圆弧长为圆周长的几分之几时，小球所受的磁场力最大？
A．1/8B．3/8
C．1/4D．1/2
9．真空中存在空间范围足够大的、水平向右的匀强电场。在电场中，若将一个质量为m、带正电的小球由静止释放，运动中小球速度与竖直方向夹角为37o（取sin37°＝0.6，cos37°=0.8）。现将该小球从电场中某点以初速度v0竖直向上抛出。求运动过程中
（1）小球受到的电场力的大小及方向。
（2）小球的最小动量的大小及方向。
二、刚好运动到静止某一点的临界条件：物体末速度等于零
10．如图3—28所示，两个金属板水平放置，两板间距离d=2.0cm，并分别与一直流电源的两极相连接，上面的金属板中心有一小孔。带电油滴的质量m=4.0×10－10kg，带电量大小q=8.0×10－13C，油滴从A点自由下落高度h=0.40m后进入平行金属板之间，刚好达到下极板。ｇ取10ｍ／ｓ２。问液滴带正电还是负电？两极板间的电势差多大？
11．如图3—53所示，平行板电容器两极板M、N水平放置，距离为d=1.0cm，，上极板M与地连接，且中央有一小孔A，开始时两极板不带电。一个装满油的容器置于小孔A正上方，带电油滴一滴一滴地，从容器下的小孔无初速滴下，正好掉入小孔。油滴下落高度处，带电量，质量，设油滴落在N板后把全部电量传给N板，N板上积存的油可以不考虑，g取10m/s2，求：
第几滴油滴在板间作匀速直线运动？
能够到达N板的油滴数量最多为多少？
12．一小圆盘静止在桌布上，位于一方桌的水平桌面的中央。桌布的一边与桌的AB边重合，如图。已知盘与桌布间的动摩擦因数为，盘与桌面间的动摩擦因数为。现突然以恒定加速度a将桌布抽离桌面，加速度的方向是水平的且垂直于AB边。若圆盘最后未从桌面掉下，则加速度a满足的条件是什么？(以g表示重力加速度)
13．如图所示的电路中，两平行金属板A、B水平放置，两板间的距离d=40cm。电源电动势E=24V,内电阻r=1Ω，电阻R=15Ω。闭合开关S，待电路稳定后，将一带正电的小球从B板小孔以初速度v0=4m/s竖直向上射入板间。若小球带电量为q=1×10-2C,质量为m=2×10-2kg,不考虑空气阻力。那么，滑动变阻器接入电路的阻值为多大时，小球恰能到达A板?此时，电源的输出功率是多大？(取g=10m/s2)
三、刚好滑出（滑不出）小车或运动物体的临界条件：两物体速度相等
14．如图所示，质量是M的木板静止在光滑水平面上，木板长为l0，一个质量为m的小滑块以初速度v0从左端滑上木板，由于滑块与木板间摩擦作用，木板也开始向右滑动，滑块恰好没有从木板上滑出，求：
（1）二者相对静止时共同速度为多少？
（2）此过程中有多少热量生成？
（3）滑块与木板间的滑动摩擦因数有多大？
15．如图所示，水平光滑的地面上停放着一辆小车，左侧靠在竖直墙壁上，小车的四分之一圆弧轨道AB是光滑的，在最低点B与水平轨道BC相切，BC的长度是圆弧半径的10倍，整个轨道处于同一竖直平面内。可视为质点的物块从A点正上方某处无初速度下落，恰好落入小车圆弧轨道滑动，然后沿水平轨道滑行至轨道末端C处恰好没有滑出。已知物块到达圆弧轨道最低点B时对轨道的压力是物块重力的9倍，小车的质量是物块的3倍，不考虑空气阻力和物块落入圆弧轨道时的能量损失。求
（1）物块开始下落的位置距水平轨道BC的竖直高度是圆弧半径的几倍？
（2）物块与水平轨道BC间的动摩擦因数μ
16．如图3—30所示，一质量为M、长为L的长方形木板B放在光滑水平地面上，在其右端放一质量为的小木块A，。现以地面为参照系给A、B以大小相等、方向相反的初速度，使A开始向左运动、B开始向右运动，最后A刚好没有滑离B板。求：
⑴它们最后速度的大小和方向。
⑵小木块A向左运动到达的最远处（从地面上看）离出发点的距离。
17．如图所示，在一光滑的水平面上有两块相同的木板B和C.重物A（视为质点）位于B的右端，A、B、C的质量相等。现A和B以同一速度滑向静止的C，B与C发生正碰。碰后B和C粘在一起运动，A在C上滑行，A与C有摩擦力.已知A滑到C的右端而未掉下.试问：从B、C发生正碰到A刚移动到C右端期间，C所走过的距离是C板长度的多少倍？
四、刚好通过最高点的临界条件：v大于或等于
18．如图所示，位于竖直平面内的光滑轨道，由一段斜的直轨道与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R。一质量为m的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动。要求物块能通过圆形轨道最高点，且在该最高点与轨道间的压力不能超过5mg（g为重力加速度）。求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度h的取值范围。
19．如图3—31所示，长度为L的轻绳的一端系在天花板上的O点，另一端系一个质量为m的小球，将小球拉至水平位置无初速释放。在O点正下方的P点钉一个很细的钉子。小球摆到竖直位置时，绳碰到钉子后将沿半径较小的圆弧运动。为使小球能绕钉做完整的圆运动，P与O点的最小距离是多少？
20．如图所示,在竖直向下的匀强电场中有一绝缘的光滑离心轨道，一个带负电的小球从斜轨道上的A点由静止释放，沿轨道滑下，已知小球的质量为m，电量大小为-q，匀强电场的场强大小为E，斜轨道的倾角为α(小球的重力大于所受的电场力)。
（1）求小球沿斜轨道下滑的加速度的大小；
（2）若使小球通过半径为R的圆轨道顶端的B点时不落下来，求A点距水平地面的高度h至少应为多大？
五、两个物体刚好分离的临界条件:两物体相互接触但没有相互作用力
21．如图3—32所示，将倾角为的足够长的光滑斜面放置在一个范围足够大的磁感应强度为、磁场方向垂直纸面向里的匀强磁场中，一个质量为，带电量为-的带电物体置于斜面上由静止开始下滑。求物体在斜面上滑行的距离。
22．如图3—34所示，在水平面的左端立着一堵竖直的墙A，把一根劲度系数为的弹簧的左端固定在墙上，在弹簧右端系一个质量为的物体1。紧靠着1放置一个质量也是的物体2，两个物体与水平地面的动摩擦因数都是，用水平外力F推物体２压缩弹簧（在弹性限度内），使弹簧从原长（端点在O）压缩了，这时弹簧的弹性势能为，物体1和2都处于静止状态。然后撤去外力，由于弹簧的作用，两物体开始向右滑动。当物体2与1分离时，物体2的速率是多大？物体2与1分离后能滑行多大距离?设弹簧的质量以及物体1和2的宽度都可忽略不计。
23．如图所示，托盘A托着质量为m的重物B，B挂在劲度系数为k的弹簧下端，弹簧上端吊于O点．开始时弹簧竖直且为原长．今让托盘A竖直向下做初速为零的匀加速直线运动，其加速度为a．求经多少时间t，A与B开始分离．
24．如图3—4—46所示，一个轻弹簧竖直地固定在水平地面上，质量M=1.0kg的木板B固定在弹簧的上端，处于水平状态，质量=1.0kg的物体A放在木板B上。竖直向下的力作用在A上，将弹簧压缩（在弹性限度内）至比原长短8.0cm，弹簧的弹性势能为32J。当突然撤去时，A和B被向上推起，求物体A与B分离后上升的最大高度。
25．如图所示，物体B和物体C用劲度系数为k的轻弹簧连接并竖直地静置于水平地面上。将一个物体A从物体B的正上方距离B的高度为H0处由静止释放，下落后与物体B碰撞，碰撞后A与B粘合在一起并立刻向下运动，在以后的运动中A、B不再分离。已知物体A、B、C的质量均为M，重力加速度为g，忽略空气阻力。
（1）求A与B碰撞后瞬间的速度大小。
（2）A和B一起运动达到最大速度时，物体C对水平地面的压力为多大？
（3）开始时，物体A从距B多大的高度自由落下时，在以后的运动中才能使物体C恰好离开地面？
26．如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上有两个用轻质弹簧相连的物块A、B，它们的质量分别为mA、mB，弹簧的劲度系数为k，C为一固定挡板。系统处于静止状态。现开始用一恒力F沿斜面方向拉物块A使之向上运动，求物块B刚要离开C时物块A的加速度a和从开始到此时物块A的位移d。重力加速度g。
27．物体的质量为25kg，放在静止的升降机的底板上，物体的上端与一根轻弹簧相连，弹簧的另一端吊在一个支架上，如图3—57所示。测得物体对升降机底板的压力是200N。当升降机在竖直方向上如何运动时，物体离开升降机的底板？（取1Om/s2）
六、全反射现象中的临界问题：入射角大于等于临界角
光从光密介质射入光疏介质时，增大入射角θ，当θ＝arcsin时，即发生突变产生全反射现象。这时θ即arcsin称之为介质的临界角，它是刚发生全反射临界状态的临界条件。当λ射角大于临界角，发生全反射现象，光不能从介面射出。当入射角小于临界角时，不会发生全反射现象，光会从介面射出。
28、如图1所示，abc为全面反射棱镜，他的主截面是等腰直角三角形，一束白光垂直射入到ac面上，在ab面上发生全反射，若光线入射点O的位置保持不便，改变光线的入射方向，则（）
A、使入射光按图中顺时针偏转，如果有色光射出ab面，则红光首先射出
B、使入射光按图中顺时针偏转，如果有色光射出ab面，则紫光首先射出
C、使入射光按图中逆时针偏转，如果有色光射出ab面，则红光首先射出
D、使入射光按图中逆时针偏转，如果有色光射出ab面，则紫光首先射出
反射现象，光会从介面射出。
七、光电效应中的临界问题：入射光频率大于等于极限频率
光照射到金属表面时，增大λ射光频率υ1当υ＝υ极限时，发生突变产生光电效应现象。这时的υ极限称为金属的极限频率，它是刚发生光电效应这种临界状态的临界条件。当υ＞υ极限时，金属会发生光电效应；当υ＜υ极限时，金属不会发生光电效应。
29、已知一束可见光a是由m、n、p三种单色光组成的，检测发现三种单色光中，n、p两种色光的频率都大于m色光；n色光能使金属发生光电效应，而p色光不能使金属发生光电效应。那么，光束a通过三棱镜的情况是：（）
八、光路中的临界问题
光束在传播过程中的临界问题关键是做出光路图，找到临界（边界）光线，这样整个光束的传播情况就清楚了。
30、如图，宽为a的平行光束，从空气斜向入射到两面平行的玻璃板上表面，入射角45o。光束中包含两种波长的光，玻璃对这两种波长光的折射率分别为n1＝1.5，n2＝（1）求每种波长的光射入上表面层的折射角。
（2）为使光束从玻璃板下表面出射时能分成不交叠的两束，玻璃板的厚度d至少为多少？
参考答案：
1．（1）（2）
3．v2＝v1－4．
6．，7．8．B
9．（1）电场力水平向右，（2），与电场方向夹角为37°，斜向上。
10．11．（1）（2）。
12．a≥ 13.，P出=I2(R+R滑)=23W
14．（1）v共=mv0/(M+m)（2）Q共=Mmv20/M+m（3）μ=Mv20/(M+m)gl
15．（1）（2）16．⑴（方向向右）（2）17．18．2.5R≤h≤5R19．
20．（1）a=(mg－qE)（2）h=21．
22．，23．24．h=1.52m
25．（1）v2=（2）N′=3Mg（3）
26．，。
27．升降机以大于8m/s2的加速度向下加速运动或者减速向上运动
28. A29.A
30.（1）r1＝arcsinr2＝arcsin（2）d＝
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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图3—25
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图3—34
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图11
A
A
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图3—57
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