§9.9圆锥曲线的综合问题第2课时范围、最值问题内容索引题型分类深度剖析课时作业题型分类深度剖析题型一范围问题例1(2015·天
津)已知椭圆＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－c,0)，离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2＋y2＝截得的
线段的长为c，|FM|＝.(1)求直线FM的斜率；解答几何画板展示又由a2＝b2＋c2，可得a2＝3c2，b2＝2c2.设直线F
M的斜率为k(k＞0)，F(－c,0)，则直线FM的方程为y＝k(x＋c).(2)求椭圆的方程；解答几何画板展示(3)设动点P在椭
圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围.解答几何画板展示设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t
，②当x∈(－1,0)时，有y＝t(x＋1)＞0.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式
构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3
)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函
数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.思维升华跟踪训练1(2016·黄冈模拟)已知椭圆C
：＝1(a>b>0)与双曲线－y2＝1的离心率互为倒数，且直线x－y－2＝0经过椭圆的右顶点.(1)求椭圆C的标准方程；解答
又∵直线x－y－2＝0经过椭圆的右顶点，(2)设不过原点O的直线与椭圆C交于M，N两点，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列
，求△OMN面积的取值范围.解答由题意可设直线的方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2).消去y，
并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，于是y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x
2)＋m2.又直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，又由Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1)＝16(4k2－m2＋
1)>0，得0矛盾).设原点O到直线的距离为d，故由m的取值范围可得△OMN面积的取值范围为(0,1).命题点1利用三角函数有界性求最值例2
(2016·锦州模拟)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则|AF|·|BF|的最小值是答案解析
几何画板展示题型二最值问题命题点2数形结合利用几何性质求最值例3(2015·江苏)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2
－y2＝1右支上的一个动点.若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为____.答案解析几何画板展示命题点3
转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值例4(2016·山东)如图，已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的长轴长为4，焦距为2
.(1)求椭圆C的方程；解答设椭圆的半焦距为c.证明设P(x0，y0)(x0＞0，y0＞0).由M(0，m)，可得P(x0,
2m)，Q(x0，－2m).②求直线AB的斜率的最小值.解答设A(x1，y1)，B(x2，y2).直线PA的方程为y＝kx＋m.直
线QB的方程为y＝－3kx＋m.整理得(2k2＋1)x2＋4mkx＋2m2－4＝0，由m＞0，x0＞0，可知k＞0，处理圆锥曲线最
值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质
以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利
用函数方法、不等式方法等进行求解.思维升华跟踪训练2(2017·开封月考)已知圆(x－a)2＋(y＋1－r)2＝r2(r>0)过
点F(0,1)，圆心M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；解答几何画板展示依题意，由圆过定点F可知轨迹C的方程为x2＝4y.(2)设
P为直线l：x－y－2＝0上的点，过点P作曲线C的两条切线PA，PB，当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；解
答几何画板展示同理可得切线PB的方程为x2x－2y－2y2＝0.因为切线PA，PB均过点P(x0，y0)，所以x1x0－2y0－2
y1＝0，x2x0－2y0－2y2＝0，所以(x1，y1)，(x2，y2)为方程x0x－2y0－2y＝0的两组解.所以直线AB的方
程为x0x－2y－2y0＝0.(3)当点P在直线l上移动时，求|AF|·|BF|的最小值.解答由抛物线定义可知|AF|＝y1＋1，
|BF|＝y2＋1，所以|AF|·|BF|＝(y1＋1)(y2＋1)＝y1y2＋(y1＋y2)＋1，又点P(x0，y0)在直线l上
，所以x0＝y0＋2，课时作业1.(2016·昆明两区七校调研)过抛物线y2＝x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，且直线l的倾
斜角θ≥，点A在x轴上方，则|FA|的取值范围是答案解析√123456789123456789答案解析√123456789根据勾
股定理，求|MP|的最小值可以转化为求|OP|的最小值，当|OP|取得最小值时，点P的位置为双曲线的顶点(±3,0)，而双曲线的渐
近线为4x±3y＝0，1234567893.已知F1，F2分别是双曲线＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，对于左支上任意一点P都
有|PF2|2＝8a|PF1|(a为实半轴长)，则此双曲线的离心率e的取值范围是答案解析A.(1，＋∞) B.(2,3] C.(1
,3] D.(1,2]√123456789由P是双曲线左支上任意一点及双曲线的定义，所以|PF1|＝2a，|PF2|＝4a，
在△PF1F2中，|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|，又e>1，所以1检)若点O和点F分别为椭圆＝1的中点和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最小值为_____.6答案解析12345678912
3456789123456789答案解析123456789∴由条件知m＋2＋n＝m－n，则n＝－1，123456789123456
7896.已知双曲线C的两个焦点分别为F1(－2，0)，F2(2,0)，双曲线C上一点P到F1，F2的距离差的绝对值等于2.(1)
求双曲线C的标准方程；解答依题意，得双曲线C的实半轴长为a＝1，又其焦点在x轴上，所以双曲线C的标准方程为123456789(2)
经过点M(2,1)作直线l交双曲线C的右支于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程；解答123456789设A，B的坐标分别
为(x1，y1)，(x2，y2)，两式相减，得3(x1－x2)(x1＋x2)－(y1－y2)(y1＋y2)＝0.因为M(2,1)为
AB的中点，所以12(x1－x2)－2(y1－y2)＝0，123456789故AB所在直线l的方程为y－1＝6(x－2)，即6x－
y－11＝0.123456789(3)已知定点G(1,2)，点D是双曲线C右支上的动点，求|DF1|＋|DG|的最小值.解答123
456789由已知，得|DF1|－|DF2|＝2，即|DF1|＝|DF2|＋2，所以|DF1|＋|DG|＝|DF2|＋|DG|＋2
≥|GF2|＋2，当且仅当G，D，F2三点共线时取等号，1234567897.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点
为(，0).(1)求双曲线C的方程；解答又a2＋b2＝c2，得b2＝1，123456789(2)若直线：y＝kx＋m(k≠0，m≠
0)与双曲线C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过点A(0，－1)，求实数m的取值范围.解答123456789整理得(1
－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0.∵直线与双曲线有两个不同的交点，123456789设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
MN的中点为B(x0，y0)，由题意，AB⊥MN，123456789整理得3k2＝4m＋1，②将②代入①，得m2－4m>0，∴m
<0或m>4.123456789解答(1)求椭圆C1的方程；123456789(2)设点P在抛物线C2：y＝x2＋h(h∈R)上，
C2在点P处的切线与C1交于点M，N.当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值.解答123456789如图，设M(
x1，y1)，N(x2，y2)，P(t，t2＋h)，直线MN的方程为y＝2tx－t2＋h.将上式代入椭圆C1的方程中，得4x2＋(
2tx－t2＋h)2－4＝0，即4(1＋t2)x2－4t(t2－h)x＋(t2－h)2－4＝0.①因为直线MN与椭圆C1有两个不同
的交点，123456789所以①式中的Δ1＝16[－t4＋2(h＋2)t2－h2＋4]>0.②设线段MN的中点的横坐标是x3，由
题意，得x3＝x4，即t2＋(1＋h)t＋1＝0.③由③式中的Δ2＝(1＋h)2－4≥0，得h≥1或h≤－3.12345678
9当h≤－3时，h＋2<0,4－h2<0，则不等式②不成立，所以h≥1.当h＝1时，代入方程③得t＝－1，将h＝1，t＝－1代入不
等式②，检验成立.所以，h的最小值为1.123456789(1)求C1，C2的方程；解答123456789123456789(2)
过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值.解答12345
6789因为AB不垂直于y轴，且过点F1(－1,0)，故可设直线AB的方程为x＝my－1.易知此方程的判别式大于0.设A(x1，y
1)，B(x2，y2)，则y1，y2是上述方程的两个实根，123456789即mx＋2y＝0.123456789设点A到直线PQ的
距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，123456789因为点A，B在直线mx＋2y＝0的异侧，所以(mx1＋2y1)(mx2＋
2y2)<0，于是|mx1＋2y1|＋|mx2＋2y2|＝|mx1＋2y1－mx2－2y2|，123456789而0<2－m2≤2
，故当m＝0时，S取得最小值2.综上所述，四边形APBQ面积的最小值为2.123456789本课结束更多精彩内容请登录：www.9
1taoke.com＋由已知，有＝，解得k＝.由已知，有2＋2＝2，由(1)得椭圆方程为＋＝1，直线FM的方程为y＝(x＋c)，两
个方程联立，消去y，整理得3x2＋2cx－5c2＝0，解得x＝－c或x＝c.解得c＝1，所以椭圆的方程为＋＝1.由|FM|＝＝.
因为点M在第一象限，可得M的坐标为.得t＝，即直线FP的方程为y＝t(x＋1)(x≠－1)，与椭圆方程联立，解得－＜x＜－1或－1
＜x＜0.又由已知，得t＝＞，消去y，整理得2x2＋3t2(x＋1)2＝6，设直线OP的斜率为m，得m＝，因此m＜0，于是m＝－
，因此m＞0，于是m＝，得m∈.①当x∈时，有y＝t(x＋1)＜0，即y＝mx(x≠0)，与椭圆方程联立，整理得m2＝－.得m
∈.综上，直线OP的斜率的取值范围是∪.∴椭圆方程为＋y2＝1.＋∴右顶点为(2,0)，即a＝2，c＝，b＝1，∴椭圆的离心率e＝
＝.∵双曲线的离心率为，联立则x1＋x2＝－，x1x2＝，故·＝＝k2?－＋m2＝0.由m≠0得k2＝，解得k＝±.则S△OMN＝
|MN|d＝.＝···|x1－x2|＝|m|A.2B.C.4D.2设直线AB的倾斜角为θ，可得|AF|＝，|BF|＝，则
|AF|·|BF|＝×＝≥4.双曲线x2－y2＝1的渐近线为x±y＝0，直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0平行，故两平行线的距离
d＝＝.由点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，得c≤，故c的最大值为.所以椭圆C的方程为＋＝1.＋所以a＝2，b＝＝.由题
意知2a＝4,2c＝2.(2)过动点M(0，m)(m＞0)的直线交x轴于点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点
.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B.①设直线PM、QM的斜率分别为k、k′，证明为定值；所以直线PM的斜率k＝
＝.此时＝－3.所以为定值－3.直线QM的斜率k′＝＝－.联立由x0x1＝，可得x1＝，所以y1＝kx1＋m＝＋m.＝，所以x2－
x1＝－同理x2＝，y2＝＋m.y2－y1＝＋m－－m所以6k＋≥2，当且仅当k＝时取“＝”.所以kAB＝＝＝，＝，因为P(x0,
2m)在椭圆＋＝1上，所以直线AB的斜率的最小值为.即m＝，符合题意.所以x0＝，故此时＝，抛物线C的方程为x2＝4y，即y＝x2
，求导得y′＝x.即y＝x－＋y1，即x1x－2y－2y1＝0.所以切线PA的方程为y－y1＝(x－x1)，则切线PA，PB的斜率
分别为x1，x2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中y1＝，y2＝)，联立方程消去x整理得y2＋(2y0－x)y＋y＝0，
所以当y0＝－时，|AF|·|BF|取得最小值，且最小值为.所以y＋x－2y0＋1＝2y＋2y0＋5＝2(y0＋)2＋，所以|AF
|·|BF|＝y1y2＋(y1＋y2)＋1＝y＋x－2y0＋1.由一元二次方程根与系数的关系可得y1＋y2＝x－2y0，y1y2＝
y，A.(，1]B.(，＋∞)C.(，＋∞)D.(，1＋]记点A的横坐标是x1，则有|AF|＝x1＋＝(＋|AF|cos
θ)＋＝＋|AF|cosθ，即|AF|的取值范围是(，1＋].由≤θ<π得－1≤＝1＋，|AF|(1－cosθ)＝，|AF|＝.2.已知P为双曲线C：－＝1上的点，点M满足||＝1，且·＝0，则当||取得最
小值时点P到双曲线C的渐近线的距离为A.B.C.4D.5由·＝0，得OM⊥PM，∴所求的距离d＝，故选B.－得|PF2|＝
2a＋|PF1|，所以＝|PF1|＋＋4a＝8a，即2a＋4a≥2c，所以e＝≤3.·＋∵－3≤x≤3，∴≤x＋≤，点P为椭圆＋＝
1上的任意一点，＝·2＋.∴·＝x(x＋1)＋y2＝x2＋x＋依题意得左焦点F(－1,0)，∴＝(x，y)，＝(x＋1，y)，设P
(x，y)(－3≤x≤3，－2≤y≤2)，∴≤2≤，即6≤·≤12.故最小值为6.∴6≤·2＋≤12，∴≤2≤，5.(2017·郑
州质检)已知椭圆C1：－＝1与双曲线C2：＋＝1有相同的焦点，则椭圆C1的离心率e1的取值范围为________.(，1)∵椭圆C
1：－＝1，∴a＝m，b＝－n，c＝m－n，∵双曲线C2：＋＝1，e＝＝1＋.∴a＝m＋2，b＝－n，c＝m＋2＋n，∴e＝1－.
∴1－>，即e>，而00得m＋2>2，<，－>－，半焦距c＝2，所以其虚半轴长b＝＝.x2－＝1.
则所以即kAB＝＝6，因为|GF2|＝＝，故|DF1|＋|DG|的最小值为＋2.所以|DF2|＋|DG|＋2≥|GF2|＋2＝＋2
，设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0).∴双曲线C的方程为－y2＝1.由已知得a＝，c＝2，联立可得m2>3k2－1且k2≠
，①∴则x1＋x2＝，∴x0＝＝，∴kAB＝＝－(k≠0，m≠0).∴y0＝kx0＋m＝.又3k2＝4m＋1>0(k≠0)，即m
>－.∴m的取值范围是∪(4，＋∞).由题意，得从而8.已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的右顶点为A(1,0)，过C1的焦点且垂
直长轴的弦长为1.因此，所求的椭圆C1的方程为＋x2＝1.则抛物线C2在点P处的切线斜率为y′.则x3＝＝.设线段PA的中点的横坐标是x4，则x4＝.9.如图，O为坐标原点，椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：－＝1的左，右焦点分别为F3，F4，离心率为e2.已知e1e2＝，且|F2F4|＝－1.因为e1e2＝，所以·＝，即a4－b4＝a4，因此a2＝2b2，从而F2(b,0)，F4(b,0)，于是b－b＝|F2F4|＝－1，所以b＝1，a2＝2.故C1，C2的方程分别为＋y2＝1，－y2＝1.由得(m2＋2)y2－2my－1＝0.所以y1＋y2＝，y1y2＝.因此x1＋x2＝m(y1＋y2)－2＝，由得(2－m2)x2＝4，故直线PQ的斜率为－，PQ的方程为y＝－x，于是AB的中点为M(，)，所以2－m2>0，且x2＝，y2＝，所以2d＝.从而|PQ|＝2＝2.从而2d＝.＝，又因为|y1－y2|＝所以2d＝.＝＝2·.故四边形APBQ的面积S＝|PQ|·2d |
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