二、作用：三、策略：§292柯西不等式的应用一、用途：解证不等求最值放缩升降幂换序变结构消元求最值取等成比例常见变形要知晓配凑技巧拆添换不等式概述1.性质是基础概念性质应用解不等式证不等式求最值2.多多益善十四条文字背诵是关键2.形：1.数：注：去绝对值符号常见的方法：①零点分段法⑤几何意义——距离数法形法②平方法④⊿不等式法③换元法⑥函数图像——翻折……(零点分段法的基础)几何意义——距离(实数,复数,向量)绝对值的概念2.|□|-|○|≤|□±○|≤|□|+|○|注1.放缩换序增减号特例消元求最值注2.拍扁三角取等号同号异号是关键“=”成立的条件：①中间“＋”时,右侧取“=”的条件是“□○≥0”②中间“－”时,右侧取“=”的条条件是“□○≤0”左侧取“=”的条件是“□○≤0且|□|≥|○|”左侧取“=”的条件是“□○≥0且|□|≥|○|”1.|□·○|=|□|·|○||○||□|○□=|□|=□2；；绝对值的性质数法形法解绝对值不等式常用的方法①几何意义法②辅助函数图象法③公式法④零点分段法⑤平方法⑥换元法⑦增号法去号法解绝对值不等式的两个基本题型|f(x)|g(x)型|k1x+b1|±|k2x+b2|常数型|f(x)|＞g(x)f(x)＜-g(x)或f(x)＞g(x)?|f(x)|＜g(x)-g(x)＜f(x)＜g(x)?①②①零点分段法②函数图象法③绝对值几何意义法①若对,有恒成立②若,使得成立已知定义在D1上的函数f1(x)的值域为I1定义在D2上的函数f2(x)的值域为I2则等价于：则等价于：③若对,使得成立④若对,使得成立则等价于：则等价于：含参等式(含参函数与值域)(任意对任意，值域相等)(任意对存在，任意是子集)(存在对存在，交集非空)(任意对存在，任意是子集)含参等式注①：除了上述的“含参函数与值域”常规解法个别题，可能形法更简捷注②：此类题，还可以将：变式为,等形式……注③：此类题，还要注意关键词的变化：引起的值域的“缩小”，即只取“单值区间”……存在唯一的x1∈I……注④：此类题，还要注意问题的变化：一般的，采取：数形结合，设f(a)=g(b)=t∈I……求a－b的取值范围……则a－b=h(t)(t∈I……)即求函数h(t)的“人为”值域……形法数法(1)通法特法(2)最值法子集法变换主元法分离参量法先猜后证法含参不等式常成立注1.描述方式繁多引申变式多样含参不等式恒成立含参不等式恰成立含参不等式能成立注3.解法灵活多样技巧性极强注2.常成立是基础恒成立是重点分类讨论含参不等式——四成立1.含参不等式常成立——分类讨论：(1)实质：——具体问题具体分析化复杂为简单，化陌生为熟练，化大为小；是根据研究对象的共同性和差异性将其分为不同种类的思想方法(2)作用：①分类标准要统一(3)原则：②分类讨论时，要不重不漏③分类讨论要逐级进行，建议尽量书写序号⑤能避免分类标准，要尽量避免之④先分后合，能合必合2.含参不等式恰成立:1.含参不等式常成立——分类讨论：小作：一般的，不等式解集的端点值是方程的根大作：回归到含参不等式常成立最值法子集法变换主元法分离参量法先猜后证法通法特法3.含参不等式恒成立：形法数法(2)(1)4.含参不等式能成立——回归到恒成立用最值法，求与含参不等式恒成立“相反”的最值即可含参不等式常见的解法最值法子集法变换主元法分离参量法先猜后证法通法特法形法数法(2)(1)双参型含参不等式的常用解法依次将双参中的x1、x2看成是x双参型就回归到单参型了……二、作用：三、策略：§292柯西不等式的应用一、用途：解证不等求最值放缩升降幂换序变结构消元求最值取等成比例常见变形要知晓配凑技巧拆添换一、用途：解证不等求最值1.求最值：2.证不等式(等式)：3.解不等式(等式)：二、作用：放缩升降幂换序变结构消元求最值取等成比例三、策略：常见变形要知晓配凑技巧拆添换练习1.熟记模型①代数式(一般式……)方和积≥积和方(①2＋②2＋③2)≥(①＋②＋③)2②局部式:(①+②+③)≥(①+②+③)2若，○≥0，则i和积≥积开和方③权方和不等式(分数式):若，○≥0，则i①③②≥①＋②＋③表述方式虽多但有个共同点：“3串串因式”构成练习1.熟记模型牢记作用放缩升降幂换序变结构消元求最值取等成比例①放缩③交换加法、乘法、乘方的运算顺序②升降幂④消元⑥取“＝”的条件，隐含了方程═＞特例求最值⑤变结构明暗柯西不等式常见的作用═＞练习1.═＞直接应用熟记模型牢记作用,且则的最小值为_______(1)(2014年陕西)设析：由柯西不等式得而故即所以的最小值为(2)(2017年全国II)已知证：由柯西不等式得证明：当且仅当即时，取“＝”降幂＋消元练习2.“缺啥补啥”创造条件配凑“因式”①变形法⑥联用法常见变形要知晓配凑技巧拆添换④换元法⑤换序法②拆项(数)法③添项(数)法练习2.“缺啥补啥”创造条件配凑“因式”①变形法：一般的，目标不等式的表述形式与柯西不等式的结构特征差距较大需要将目标不等式变形“扒去外包装”，使其“露出真面目”便于应用柯西不等式(3)(2014年浙江)设正数a，b，c，满足abc＝a+b+c求证：ab+4bc+9ac≥36，并给出等号成立条件析：初看，似乎无法使用柯西不等式但将条件：abc＝a+b+c改为问题就比较明朗化了(3)(2014年浙江)设正数a，b，c，满足abc＝a+b+c求证：ab+4bc+9ac≥36，并给出等号成立条件证：由题意得由柯西不等式得ab+4bc+9ac当且仅当即a＝2,b＝3,c＝1时，取“＝”练习2.“缺啥补啥”创造条件配凑“因式”②拆项(数)法与添项(数)法一般的，目标不等式往往只提供了一个或两个“因式”需要去配凑创造“因式”使其便于应用柯西不等式常用的手法有：拆项(数)法与添项(数)法(4)课本P：39例1证：由柯西不等式得故即已知都是实数求证：n个12引：(算术平均值≤幂平均值)变形法＋拆项(数)法(5)课本P：40例2证：由柯西不等式得又因a,b,c,d是不全相等的正数，故不成立即故另法：排序不等式更简捷……变形法＋添项(数)法已知是不全相等的正数
证明：
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